Головна » Реферати » Реферати 1 РєСѓСЂСЃ » Вища математика

Збірник теорії: аналітична геометрія, графіки та їх властивості, функції та їх властивості



Правило Лопіталя – відношення двох нескінченно малих величин або двох нескінченно великих величин дорівнює границі відношення похідних цих величин.

Розкриття невизначеностей за допомогою правила Лопіталя – границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо

ця границя існує.

Існує 7 типів невизначеностей:

Дослідження функції однієї змінної

Функція y=f(x) називають зростаючою на проміжку [a;b], якщо більшому значенню аргументу на цьому проміжку відповідає більше значення функції.

Функція y=f(x) називають спадаючою на проміжку [a;b], якщо більшому значенню аргументу на цьому проміжку відповідає менше значення функції.

Монотонна функція – зростаюча або спадаюча функції.

Алгоритм дослідження спадання (зростання) за допомогою похідних:

1) знаходимо похідну функції f(x);

2) знаходимо корені рівняння f/(x)=0;

3) визначити знак похідної f/(x) в кожному з інтервалів, на які поділяється область існування функції f(x) за знайденими коренями рівняння;

4) за одержаними знаками похідної треба зробити висновок: на якому інтервалі функція спадає, а на якому зростає.

Достатні умови зростання або спадання функції:

1) Якщо функція f(x) диференційована на інтервалі [a;b] і похідна цієї функції на цьому інтервалі більше нуля, то функція на цьому інтервалі зростає.

2) Якщо функція f(x) диференційована на інтервалі [a;b] і похідна цієї функції на цьому інтервалі менше нуля, то функція на цьому інтервалі спадає.

Екстремум завжди має локальний характер і не залежить від поведінки функції в точках, що віддалені від екстремуму.

Точка екстремуму дотична до графіка функції, паралельна осі Ох, тому її кутовий коефіцієнт дорівнює нулю.

Необхідна умова існування екстремуму: рівність f/(x)=0.

Критичні точки І-го роду – точки, в яких f/(x)=0 або в яких f/(x) не існує.

Достатні умови існування екстремуму: якщо функція f(x) диференційована в околі критичної точки І-го роду х=х0 і її похідна:

1) зліва від цієї точки додатна, а справа від’ємна, то в точці х0 функція має максимум;

2) якщо зліва від’ємна, а справа додатна, то в точці х0 функція має мінімум;

3) зліва та справа від точки х0 має однаковий знак, то в точці х0 функція не має екстремуму.

Найбільше та найменше значення функції на відрізку (глобальний екстремум)

Функція, яка неперервна на відрізку [a;b] досягає на цьому відрізку свого найбільшого або найменшого значення або на одному з кінців відрізка або в критичних точках, які належать відрізку

Випуклість та вогнутість графіка функції. Точки перегину.

Крива y=f(x) називається випуклою (вогнутою) на інтервалі (a;b), якщо всі точки графіка функції лежать нижче (вище) її дотичних на цьому інтервалі.

Якщо в досить малому околі точки дотику с крива зліва від цієї точки лежить по один бік дотичної, а справа – з іншого боку дотичної, то таку точку с називають точкою перегину.

Якщо у всіх точках інтервалу (a;b) друга похідна більше нуля f//(x)>0, крива, то крива на цьому інтервалі є вогнутою. Якщо ж друга похідна f//(x)випуклою.

Точка х=х0 називається точкою перегину кривої y=f(x), якщо:

1) 2-га похідна функції в цій точці дорівнює нулю, f//(x)=0;

2) знаки 2-ї похідної зліва і справа від цієї точки х0 є різними.

Асимптоти графіка функції

Асимптотою графіка функції називається пряма, відстань від якої до точки, яка лежить на цій кривій, прямує до нуля при необмеженому віддаленні цієї точки вздовж кривої від початку координат.

Існує 3 види асимптот: вертикальні, горизонтальні, похилі.

Пряма х=х0 називається вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x), якщо хоча б одна з граничних значень справа або зліва дорівнює .

Пряма х=х0 не може бути вертикальною асимптотою, якщо функція в цій точці є неперервною.

Вертикальні асимптоти слід шукати в точках розриву функції y=f(x) або в точках, які співпадають з кінцями її області визначення.

Пряма y=а називається горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x) при , якщо виконується рівняння .

Якщо існують скінченні границі, а саме: і , то пряма y=kx+b є похилою асимптотою графіка функції y=f(x).

Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка

Побудову графіка функції можна здійснювати за характерним саме для цієї функції:

І. Використання виду заданої функції.

1) Знаходимо ОДЗ функції. Знайти точки розриву, інтервали неперервності функції;

2) Досліджуємо парність, непарність функції, періодичність;

3) Точки перетину графіка функції з осями координат;

4) Знайти асимптоти графіка функції.

ІІ. Використання першої похідної функції.

1) Знаходимо першу похідну функції;

2) Знаходимо критичні точки І-го роду;

3) Знаходимо інтервали спадання, зростання;

4) Точки екстремуму. Значення функції в точках екстремуму;

ІІІ. Використання другої похідної функції.

1) Знаходимо другу похідну функції;

2) Знаходимо критичні точки ІІ-го роду;

3) Знаходимо інтервали випуклості, вогнутості графіка функції;

4) Знаходимо точки перегину і значення в цих точках.

IV. Побудова графіку функції.

Схема дослідження:

1) знайти область існування функції;

2) знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з координатними осями;

3) дослідити функцію на періодичність, парність і непарність;

4) знайти точки розриву та дослідити їх;

5) знайти інтервали монотонності, точки екстремумів та значення функції у цих точках;

6) знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину;

7) знайти асимптоти графіка функції;

8) на основі проведеного дослідження побудувати графіка функції.

Інтегрування. Інтегральні числення функції однієї змінної.

Поняття первісною та невизначеності функції.

Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на деякому проміжку х, якщо для всіх значень з цього проміжку виконується співвідношення F/(x) = f(x).

Якщо функція F(x) – первісна для функції f(x) на деякому проміжку, то множина функцій F(x)+С, де С – константа, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на цьому проміжку і позначається

Функція f(x) називається підінтегральною функцією, - підінтегральний вираз, х – змінна інтегрування.

Властивості невизначеного інтегралу:

1) Похідна від невизначеного інтегралу дорівнює підінтегральній функції:

2) Диференціал від невизначеного інтегралу дорівнює підінтегральному виразу:

3) Невизначений інтеграл від похідної функції дорівнює сумі цієї функції та деякої сталої:

4) Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює сумі цієї функції та деякої сталої

5) Постійний множник можна виносити за знак інтеграла

6) Невизначений інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій

Основні методи інтегрування:

1) Метод безпосереднього інтегрування

2) Метод підстановки

3) Метод інтегрування частинами

Обчислення інтегралів безпосередньо за допомогою таблиці інтегралів та основних властивостей невизначеного інтегралу називається безпосереднім інтегруванням.

В багатьох випадках введення нової змінної дозволяє звести знаходження невизначеного інтегралу до визначення табличного, тобто перейти до безпосереднього інтегрування. Саме такий метод називається методом підстановки або методом заміни змінної.

Метод інтегрування частинами базується на використання формули диференціювання добутку двох функцій. І в основі цього методу лежить наступна формула: , де u, v – деякі функції.

Поняття визначеного інтегралу

Якщо існує скінчена границя інтегральної суми при λ→0, то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a;b].

Властивості визначеного інтегралу:

1) Якщо верхня і нижня межа визначеного інтегралу співпадають, то такий інтеграл дорівнює нулю.

2) Якщо межі інтегрування у визначеному інтегралі поміняти місцями, то знак визначеного інтегралу зміниться на протилежний

3) Для будь-яких чисел а, в, с буде справедлива наступна залежність: , якщо а

4) Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтегралу:

5) Визначений інтеграл від алгебраїчної суми функції дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів:

Інтеграл із змінною верхньою границею

Теорема. Похідна інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в точці, що дорівнює верхній межі.

Невласні інтеграли

Визначений інтеграл існує лише при виконанні двох умов:

1) Щоб відрізок інтегрування був скінченим;

2) Щоб підінтегральна функція f(x) була неперервною.

Якщо не виконується хоча б одна з цих двох умов, то визначений інтеграл називається невласним, причому, якщо не виконується перша умова, то такий інтеграл називається невласним інтегралом І-го роду, а якщо ж не виконується друга умова, то такий інтеграл є ІІ-го роду.

Дослідження невласних інтегралів приводять шляхом граничного переходу до визначеного інтегралу.

Якщо границі будуть існувати (дорівнюватимуть скінченому числу), то відповідні невласні інтеграли називається збіжними. Якщо ж границі не існують або дорівнюють нескінченності, то такі невласні інтеграли називаються розбіжними.

Функції багатьох змінних

Якщо змінна величина V залежить від n незалежних змінних х1, х2, …, хn, то таку величину називають функцією цих змінних. V= f(х1, х2, …, хn)

Функція z=f(x,y) називається функцією двох змінних х та y, якщо кожній парі х та y по відповідному правилу або закону відповідає одне або декілька значень z.

Сукупність пар цих чисел х, y, при яких функція z=f(x,y) приймає певні дійсні значення, називається областю визначення цієї функції.

Способи завдання функцій двох змінних: аналітичний, графічний, табличний, за допомогою лінійного рівняння.

Функція однієї змінної зображується на площині у вигляді лінії y=f(x). Функція двох змінних зображується у вигляді поверхні, яка визначається формулою z=f(x,y).

Лінії рівня – це множина всіх точок площини хОу, для яких функція z=f(x,y) приймає одне, стале значення.

По взаємному розташуванню ліній рівняння можна отримати інформацію про форму поверхні: там, де лінії рівня розташовані густіше, функція змінюється швидше і навпаки.

Границя функції двох змінних

Сукупність всіх точок площини, які знаходяться від точки М0 на відстані, менше ніж δ (дельта), тобто всередині кола з центром в точці х0 і радіусом δ називають δ-околом точки х0.

Число А називають границею функції f(x,y) при х→х0, у→у0, якщо для будь-якого додатного числа ε існує таке число δ, δ>0, що для всіх х та у, відмінних від точки х0, у0 і задовольняючих умові буде виконуватись нерівність |f(x,y) - A|

Точки, в яких неперервність функції порушується, називаються точками розриву функції. Вони можуть бути ізольовані, утворювати лінії розриву, поверхні розриву і т.д.

Неперервність функції двох змінних

Функція z=f(x,y) називається неперервною в точці х0, у0, якщо вона визначена в цій точці і незалежно від способу прямування точки (х, у) до точки (х0;у0).

Функція, яка неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області.

Властивості неперервних функцій:

1) Функція f(x,y), яка неперервна в замкненій області, приймає в цій області своє найбільше і найменше значення, тобто існують такі два числа м і М, що для всіх точок цієї області буде виконуватись нерівність

2) Функція f(x,y), яка неперервна в замкненій області, між будь-якими двома значеннями, приймає всі проміжні значення.

Частинні похідні

Частинна похідна функції двох змінних z=f(x,y) по змінній х представляє собою звичайну похідну функції однієї змінної х при фіксованому значенні у.

Диференційованість функції двох змінних

Диференціалом функції y=f(x) називається головна частина її приросту, лінійна щодо приросту аргументу

Функція диференційована в точці, якщо вона в цій точці має скінчену похідну.

Функція z=f(x,y) називається диференційованою в точці (x,y), якщо її повний приріст в цій точці можна представити у вигляді , де функції А і В на залежать від ∆х, ∆у, а α і β є нескінченно малі величини, коли ∆х і ∆у прямують до нуля.

Для функції однієї змінної було справедливо твердження: якщо функція диференційована в точці, то вона неперервна в цій точці і має в цій точці похідну. Справедливим було також і зворотне твердження: із існування похідної функції слідує диференційованість функції в цій точці.

Необхідні умови диференційованості:

1) якщо функція z=f(x,y) диференційована в точці (x,y), то вона неперервна в цій точці;

2) якщо функція z=f(x,y) диференційована в точці (x,y), то вона має в цій точці частинні похідні.

Зворотні твердження будуть у нас невірними, а саме: що із неперервності функції не слідує її диференційованість, із існування частинних похідних не слідують диференційованості.

Достатні умови: якщо в деякому околі точки (x,y) існують частині похідні по ∆х, по ∆у і ці похідні неперервні в самій точці (x,y), то функція f(x,y) диференційована в цій точці.

Диференціал функції двох змінних

Головна, лінійна відносно ∆х, ∆у частина повного приросту називається диференціалом функції двох змінних в даній точці.

- похідна складної функціїё

Похідна за напрямком

Границя відношення , коли точка М прямує до точки М1, називається похідною функції z=f(x,y) за напрямком вектора і позначається .

Градієнт функції

Градієнтом функції z=f(x,y) в т. М(х,у) називається вектор, координати якого дорівнюють відповідним частинним похідним і , обчисленим в т.М.

Градієнт функції z=f(x,y) в т.М (х,у) характеризує напрямок і величину максимальної швидкості зростання цієї функції в даній точці.

Диференціальні рівняння

Звичайними диференціальними рівняннями називають такі рівняння, що містять шукану функцію однієї змінної та її похідні.

Найвищий порядок похідної, що містить диференціальне рівняння, називають порядком цього диференціального рівняння.

Загальним розв’язком диференціального рівняння n-го порядку називають функцію у, яка залежить від аргументу х та n довільних сталих і при її підстановці у рівнянні перетворюється на тотожність.

у=φ (х, С1, С2, …, Сn)

Якщо в загальному розв’язку диференціального рівняння замість довільних сталих записати фіксовані числа, то одержаний розв’язок буде називатися частинним розв’язком цього рівняння.

Сумісне завдання диференціального рівняння та відповідної кількості початкових умов називають задачею Коші.

Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Диференціальне рівняння І-го порядку, яке має вигляд N(x)dx + M(y)dy =0 називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Загальний розв’язок рівняння з відокремленими змінними знаходять за формулою:

Якщо ми маємо рівняння вигляду P1(x)P2(y)dx + Q1(x)Q2(y)dy =0, то загальний розв’язок такого рівняння знаходять шляхом зведення цього рівняння до рівняння з відокремленими змінними, тобто до вигляду:

Однорідні диференціальні рівняння І-го порядку

Однорідними диференціальними рівняннями І-го порядку називають рівняння, яке можна звести до вигляду y/=f(x;y), де f(x;y) не змінюється при зміні х та у на λх та λу відповідно: f(x;y)= f(λx;λy)

Однорідні диференціальні рівняння І-го порядку шляхом підстановки t=y/x можна звести до диференціального рівняння з відокремленими змінними.

Лінійні диференціальні рівняння І-го порядку

Диференціальні рівняння виду y/ + P(x)*y=Q(x) називаються лінійними диференціальними рівняннями І-го порядку.

Загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння І-го порядку можна знайти за формулою

Диференціальна рівняння ІІ-го порядку

Рівняння виду F(x,y,y/,y//)=0 – диференціальне рівняння ІІ-го порядку.

Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами

Диференціальне рівняння ІІ-го порядку називається лінійним однорідним рівнянням з постійними коефіцієнтами, якщо воно має вигляд ау//+ву/+су=0.

Алгоритм знаходження загального розв’язку такого рівняння:

1) Скласти характеристичне рівняння

2) Розв’язати це рівняння і знайти значення для цього параметра С

3) Аналіз коренів рівняння

4) Загальний розвязок заданого диференціального рівняння

1) К1≠К2 у=С1еК1х+С2еК2

2) К1=К2=К у=еКх*(С1+С2х)

3) Рљ1=О±+С–ОІ Сѓ=РµО±С…(РЎ1*СЃos(ОІx)+C2sin(ОІx))

Рљ1=О±-С–ОІ

Р СЏРґРё

Вираз а1+а2+…+ аn +…+…називається нескінченим числовим рядом.

Щоб задати деякий числовий ряд, треба задати його загальний член аn у вигляді формули аn=f(n).

Частковою сумою числового ряду називають суму Sm перших м-членів числового ряду.

Сумою числового ряду називають його границю його часткової суми, коли м прямує до нескінченості.

Якщо границя часткової суми буде скінченим числом, то такий ряд називається збіжним.

Якщо ж границя часткової суми не існує або дорівнює нескінченості, то такий числовий ряд називається розбіжним.

1. Числовий ряд вигляду , де а і q – деякі числа, називається рядом геометричної прогресії.

Ряд геометричної прогресії збігається, якщо |q|

2. Числовий ряд називається узагальненим гармонічним рядом.

Властивості числових рядів:

Якщо в числовому ряді відкинути перші n-членів, то одержимо ряд, який буде називатися залишком числового ряду r і буде дорівнювати аn1+аn2+…+ аn+m +…+…

1) Якщо числовий ряд збігається, то збігається і його залишок і. навпаки, якщо збігається залишок, то збігається і весь числовий ряд.

Наслідок. Якщо в числовому ряді суму n-перших членів ряду відкинути, то це не вплине на збіжність або розбіжність всього числового ряду.

2) Якщо члени числового ряду , які є збіжними, помножити на деяке число С, то одержимо таж збіжний числовий ряд, сума якого множиться на це число С.

3) Якщо маємо два ряди і ,тоді повний числовий ряд, який утвориться внаслідок суми, теж буде збіжним, при умови їх збіжності.

Необхідна ознака збіжності числового ряду:

Якщо числовий ряд збігається, то його загальний член аn при дорівнює нулю. Якщо ця ознака не виконується, то числовий ряд розбігається.

Достатні ознаки збіжності числового ряду:

1) Ознака порівняння (1), аn>0

Візьмемо другий додатній числовий ряд, збіжність якого відома (2), n>0

Якщо ряд 2 збігається і, починаючи з деякого n>N, виконується співвідношення, що an≥bn, тоді ряд 1 теж розбігається.

2) Ознака д Аламбера

За цією ознакою вводиться деяка константа D, яка називається постійною д Аламбера.

D

D>1 - розбігається





Повна інформація про роботу

Характеристика роботи

конспект "Збірник теорії: аналітична геометрія, графіки та їх властивості, функції та їх властивості" з предмету "Вища математика". Робота є оригінальною та абсолютно унікальною, тобто знайти її на інших ресурсах мережі Інтернет просто неможливо. Дата та час публікації: 02.02.2010 в 19:46. Автором даного матеріалу є Serh. З моменту опублікування роботи її переглянуто 7261 та скачано 295 раз(ів). Для ознайомлення з відгуками щодо роботи натисніть [перейти до коментарів]. По п'ятибальній шкалі користувачі порталу оцінили роботу в "5.0" балів.

Коментар автора роботи

Serh...

Виконував дуже старанно, намагався детально розкрити всі пункти. Наш найвимогливіший викладач в університеті (Віктор Анатолійович) оцінив на 100 балів...