Алгебраїчні вирази та їх перетворення

Основні поняття та формули

В алгебрі вивчаються дії з числовими та буквеними величинами, а також розв’язання рівнянь, пов’язаних із цими діями. При цьому буквеним величинам можуть надаватися конкретні числові значення.

Одночленом називається добуток кількох співмножників, що є числами або буквами.

Окремі числа і букви також вважаються одночленами. Наприклад, 2bху, -3х2z5, 6, у — одночлени.

Многочленом називається сума одночленів. Наприклад, 2bху + + 7×2 + 3 — многочлен.

Основу всіх алгебраїчних дій становлять такі закони додавання і множення:

Переставний закон:

а + b = b + а, аb = bа.

Сполучний закон:

(а + b) + c = а + (b + с), (аb)c = а (bс).

Розподільний закон:

(а + b) c = аc + bс.

При виконанні перетворень алгебраїчних виразів використовуються такі підходи:

• 1. Зведення подібних членів. Якщо кілька доданків мають однакові буквені частини, то їхні числові коефіцієнти додаються, а буквена частина зберігається. Наприклад, 9а2b — 3а2b — 4а2b = (9 — - 3 — 4) a2b = 2a2b.
• 2. Винесення множника за дужки здійснюється на основі розподільного закону і правил дій зі степенями. Наприклад, 4ax2y + + 3а2bху2 — 2abx2 = ax (4xy + 3aby2 — 2bx2).
• 3. Розкриття дужок також здійснюється за допомогою розподільного закону. Необхідно пам’ятати, якщо множник перед дужками має від'ємний знак, то при їхньому розкритті змінюються знаки всіх доданків. Приклади:
• 2mn2(mx — 3уn3 + 5) = 2m2n2x — 6mn5у + 10mn2;
• -ab (3a — 2b + 4) = -3a2b + 2ab2 — 4ab.
• 4. Формули скороченого множення:
  • (а + b)2 = а2 + 2аb + b2,
  • (а — b)2 = а2 — 2аb + b2,
  • (а — b)(а + b) = а2 — b2,
  • (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3аb2 + b3,
  • (а — b)3 = а3 — 3а2b + 3аb2 — b3,
  • (а + b)(а2 — ab + b2) = а3 + b3,
  • (а — b)(а2 + ab + b2) = а3 — b3.