Двійкова система числення

Офіційне «народження» двійкової системи числення (в її алфавіті два символи: 0 і 1) пов’язують з ім'ям Готфріда Вільгельма Лейбніца. В 1703 р. він опублікував статтю, в якій були розглянуті всі правила виконання арифметичних дій над двійковими числами.

Переваги:

1. Для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами:

­ є струм — немає струму;

­ намагнічено — не намагнічено.

• 2. Представлення інформації за допомогою лише двох станів є надійним та завадостійким.
• 3. Можливо застосування апарату бульової алгебри для виконання логічних перетворень інформації.
• 4. Двійкова арифметика набагато простіша за десяткову.

Недолік: швидкий ріст кількості розрядів, необхідних для запису чисел.

Переведення чисел (8) > (2), (16) > (2).

Переведення вісімкових і шістнадцяткових чисел у двійкову систему: кожну цифру замінити еквівалентною їй двійковою тріадою (трійкою цифр) або тетрадою (четвіркою цифр).

Приклади:

• 5371₈ = 101 011 111 001₂;
• 5 3 71
• 1A3F₁₆ = 1 1010 0011 1111₂
• 1 A3 F

Завдання для самостійного виконання Переведіть:

• 1. 3754₈ > X₂
• 2. 2ED₁₆ > X₂

Переведення чисел (2) > (8), (2) > (16).

Щоб перевести число з двійкової системи у вісімкову або шістнадцяткову, його потрібно розбити вліво і вправо від коми на тріади (для вісімкової) або тетради (для шістнадцяткової) та кожну таку групу замінити відповідною вісімковою (шістнадцятковою) цифрою.

Приклади:

• 1 101 010 000 111₂ = 1 5 2 0 7₈;
• 1 101 010 111
• 110 111 000 001 101₂ =6E0D₁₆
• 11 011 100 000 1101

Завдання для самостійного виконання Переведіть:

• 1. 1 011 111 010 101 100₂ > X₈
• 2. 1 011 010 100 000 110₂ > X₁₆

Переведення чисел (q) > (10).

Запис числа в розгорнутій формі та розрахунок отриманого виразу в десятковій системі.

Приклади:

• 1. 110 110₂ = 1•2⁵ + 1•2⁴ + 0•2³ + 1•2² + 1•2¹ + 0•2⁰ = 54₁₀;
• 2. 237₈ = 2•8² + 3•8¹ + 7•8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159₁₀;
• 3. 3FA₁₆ = 3•16² + 15•16¹ + 10•16⁰ = 768 + 240 + 10 = 1018₁₀.

Завдання для самостійного виконання Переведіть:

• 1.1 100 011 010 ₂ > X₁₀
• 2.162 ₈ > X₁₀
• 3. E2316 > X10

Переведення чисел (10) > (q).

Для переведення цілої частини числа виконують послідовне цілочисельне ділення десяткового числа на основу системи q, доки остання частка не стане меншою за дільник. Потім залишки від ділення записуються в зворотному порядку їх отримання.

Для переведення дробової частини числа необхідно виконати послідовний ряд множення дробової частини початкового числа X (p) на нову основу, відокремлюючи отримані цілу частину, послідовність яких відповідає значенню цифр дробової частини результативного числа. Множити треба до тих пір, доки не отримаємо в дробовій частині всіх нулей або не досягнемо задану точність (якщо число не переводиться точно).

Приклад: перевести десяткове число75,364₁₀ у двійкову систему числення. числення вимірювання десяткова інформація Ціла частина: Дробова частина:

• 75:2=37+1 0,364*2=0,728
• 37:2=18+1 0,728*2=1,456
• 18:2=9+0 0,456*2=0,912
• 9:2=4+1 0,912*2=1,824
• 4:2=2+0
• 2:2=1+0
• 1:2=0+1

Відповідь: 75,364₁₀=1 001 011, 0101₂

Завдання для самостійного виконання Переведіть:

• 1. 141₁₀ > X₂
• 2. 141₁₀ > X₈
• 3. 141₁₀ > X₁₆
• 4. 0,325₁₀ > X₂