Головна » 2010 » Липень » 7 » Фрактали

Фрактали

Математика,
якщо на неї правильно подивитися,
відображає не тільки істину,
але і незрівнянну красу.
Бертранд Рассел

Історія появи.

Перші ідеї фрактальної геометрії виникли в 19 столітті. Кантор за допомогою простої рекурсивної (що повторюється) процедури перетворив лінію в набір незв'язаних точок (так звана Пил Кантора). Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з рештою відрізками. Пеано намалював особливий вид лінії . Для її малювання Пеано використовував наступний алгоритм.

Побудова кривої Пеано 1,2,3, 4, ... 6 ітерації.

На першому кроці він брав пряму лінію і заміняв її на 9 відрізків довжиною в 3 рази меншою, ніж довжина вихідної лінії (Частина 1 і 2 рисунка 1). Далі він робив те ж саме з кожним відрізком вийшла лінії. І так до нескінченності. Її унікальність в тому, що вона заповнює всю площину. Доведено, що для кожної точки на площині можна знайти точку, що належить лінії Пеано. Крива Пеано і пил Кантора виходили за рамки звичайних геометричних об'єктів. Вони не мали чіткої розмірності. Пил Кантора будувалася начебто на підставі одномірної прямій, але складалася з точок (розмірність 0). А крива Пеано будувалася на підставі одномірної лінії, а в результаті виходила площину. У багатьох інших галузях науки з'являлися завдання, вирішення яких призводило до дивних результатів, на подобу описаних вище (Броунівський рух, ціни на акції).

Батько фракталів

Аж до 20 століття йшло накопичення даних про таких дивних об'єктах, без будь-якої спроби їх систематизувати. Так було, поки за них не взявся Бенуа Мандельброт - батько сучасної фрактальної геометрії та слова фрактал. Працюючи в IBM математичним аналітиком, він вивчав шуми в електронних схемах, які неможливо було описати за допомогою статистики. Поступово зіставивши факти, він прийшов до відкриття нового напряму в математиці - фрактальної геометрії.

Що ж таке фрактал? Сам Мандельброт вивів слово fractal від латинського слова fractus, що означає розбитий (поділений на частини). І одне з визначень фрактала - це геометрична фігура, що складається з частин і яка може бути поділена на частини, кожна з яких буде представляти зменшену копію цілого (принаймні, приблизно).

Щоб уявити собі фрактал понаглядней розглянемо приклад, наведений у книзі Б. Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ( "Фрактальна геометрія природи") став класичним - "Яка довжина берега Британії?". Відповідь на це питання не таке просте, як здається. Все залежить від довжини інструменту, яким ми будемо користуватися. Помірявши берег за допомогою кілометрової лінійки ми отримаємо якусь довжину. Однак ми пропустимо багато невеликих затоки і полуостровков, які за розміром набагато менше нашої лінійки. Зменшивши розмір лінійки до, скажімо, 1 метра - ми врахуємо ці деталі ландшафту, і, відповідно довжина берега стане більше. Підемо далі і виміряємо довжину берега за допомогою міліметрової лінійки, ми тут врахуємо деталі, які більше міліметра, довжина буде ще більше. У підсумку відповідь на таке, здавалося б, просте запитання може поставити в тупик кого завгодно - довжина берега Британії нескінченна.