Розділ 2. Узагальнення поняття інтеграла. 
Інтеграл Стілтьєса

Поняття інтеграла Стілтьєса. Суми Дарбу-Стілтьєса та їх властивості

Інтеграл Стілтьєса являється безпосереднім узагальненням звичайного визначеного інтеграла Рімана. Визначається він наступним чином.

Нехай на проміжку [a, b] задані дві обмежені функції f (x) і g (x). Поділимо точками.

а=x₀<�х₁<�х₂<�…х_n=b (2.1).

сегмент [a, b] на n частин і позначимо л=max?x_i. Вибравши в кожній із частин [x_і, x_і+1] (і=0,1,…, n-1) точку о_і обчислимо значення (о_і) функції f (x) і помножимо її на відповідний проміжку [x_і, x_і+1] приріст функції g (x).

? g (x_і)= g (x_і+1) — g (x_і).

Нарешті складемо суму всіх таких рівнянь:

Ця сума носить назву інтегральної суми Стілтьєса.

Кінцева границя суми Стілтьєса при прямуванні л=max?x_i до нуля називається інтегралом Стілтьєса функції f (x) по функції g (x) і позначається символом:

Для того щоб очевидніше підкреслити, що інтеграл розглядається в розумінні Стілтьєса використовують позначення:

Границя тут розуміється в тому ж розумінні, що і у випадку звичайного визначеного інтеграла. Точніше говорячи, число І називається інтегралом Стілтьєса, якщо для любого числа е>0 існує таке число д>0, що якщо проміжок [a, b] розбитий на частини так, що л>д, то виконується нерівність.

як би ми не вибирали точки о_і на відповідних проміжках.

При існуванні інтеграла (2.3) говорять також, що функція f (x) на проміжку [a, b] інтегровна по функції g (x).

Як видно з попередніх записів, що єдина, але вагома відмінність інтеграла Стілтьєса від інтеграла Рімана полягає в тому, що (о_і) домножується не на приріст ?x_i незалежної змінної, а на приріст ?g (x_i) другої функції. Таким чином, інтеграл Рімана є частинним випадком інтеграла Стілтьєса, коли в якості функції g (x) взята сама незалежна змінна x:

g (x)=x.

Встановимо загальні умови існування інтеграла Стілтьєса, але обмежимося припущенням, що функція g (x) монотонно зростає.

Звідси слідує, що при a_i)>0, на подобі того, як раніше було? x_i>0. Тепер заміняючи? x_iна ?g (x_i) отримаємо інтеграл Стілтьєса і можемо утворити суми Дарбу:

Де і означають верхню і нижню точні границі функції f (x) в і-му проміжку [x_і, x_і+1]. Ці суми ми будемо називати нижньою і верхньою сумами Дарбу-Стілтьєса.

Насамперед ясно, що (при одному і тому ж розбитті)

причому і служать точними границями для Стілтьєсових сум .

Властивості сум Дарбу-Стілтьєса.

• 1. Якщо до уже наявних точок поділу добавити нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса через це може лише зрости, а верхня сума — зменшитися.
• 2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перевищує кожної верхньої суми.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса :

то виявляється, що