Гідродинамічні рівняння

Міністерство освіти і науки України Рівненський державний гуманітарний університет Кафедра фізики Курсова робота на тему: «Гідродинамічні рівняння»

Виконала:

Сінчук Алеся Михайлівна Науковий керівник:

Волошин О.М.

Рівне 2007

Зміст Вступ Розділ 1. Загальні поняття про рідини

1.1 Об'ємні сили

1.2 Поверхневі сили Розділ 2. Основні рівняння гідродинаміки

2.1 Рівняння нерозривності рідини

2.2 Рівняння руху рідини

2.3 Рівняння стану рідини (газу)

2.4 Рівняння припливу тепла Висновок Бібліографія

Вступ У даній курсовій роботі розкриті загальні поняття про рідини, поділивши їх на краплинні і газоподібні. Виведено основні рівняння гідродинаміки: рівняння нерозривності рідини у формі Ейлера, рівняння руху рідини, враховуючи сили інерції, рівняння стану рідини та рівняння припливу тепла.

Основна мета полягає в тому, щоб розвинути ясну уяву про фізичну сутність величин, рівнянь і методів, якими користується сучасна гідродинаміка: об'ємні та поверхневі сили, гідростатичний (у нерухомій рідині) та гідродинамічний (у рухомій рідині) тиск, рівняння нерозривності у формі Ейлера — рівняння руху ідеальної рідини — основне рівняння гідродинаміки у формі Фрідмана — рівняння Гельмгольца — та його дуже важливі теореми, рівняння руху в’язкої рідини (рівняння Нав'є—Стокса) — рівняння стану для нестисливої рідини — рівняння стану для реального газу (формула Ван-дер-Ваальса) — рівняння припливу тепла — та різні їх види.

З метою полегшення розуміння і глибшого осмислення фізичних і математичних закономірностей у ряді випадків спрощуються викладки і методи їх доведення, намагаючись ні в якому разі не знизити науково-теоретичного рівня висвітлення відібраного матеріалу.

Розділ 1. Загальні поняття про рідини гідродинаміка рівняння газ ейлер Слабкий зв’язок між частинками рідини, а також між частинками і твердими стінками посудин дав привід гідродинаміці розглядати рідини як тіло з повною рухомістю своїх частинок при відсутності між ними щеплення і тертя. Така уявна рідина називається ідеальною. У реальних рідинах повної рухомості всіх частинок немає і діючі між ними сили зчеплення і тертя обумовлюють, так звану в’язкість або внутрішнє тертя. Сили, які виражають внутрішнє тертя у рідині, відносяться до внутрішніх сил. Багато теоретичних висновків, одержаних для ідеальної рідини, застосовується при розв’язанні чисто практичних задач, в яких в’язкістю можна нехтувати.

Розрізняють краплинні і газоподібні рідини. Краплинні рідини відрізняються своєю нестисливістю, тобто вони не пружні. Газоподібні рідини, навпаки, — стисливі, тобто вони пружні і намагаються завжди поширюватися.

Звичайно гідродинаміка розглядає такі рухи рідин, при яких у середині потоків не утворюється пустота, тобто не спостерігається розриву струмин рідини. Такий рух називають нерозривним або неперервним. Система матеріальних точок називається суцільним середовищем, якщо вони суцільно заповнюють деякий об'єм.

При вивченні руху або рівноваги суцільного середовища не звертають уваги на її молекулярну структуру, так само, як і у загальній механіці. Зауважимо, що різні суцільні середовища неоднаково реагують на дію прикладених до них зовнішніх сил. Ця різниця виявляється настільки істотньою, що класифікацію суцільних середовищ за їх фізичними властивостями зручніше всього провести з точки зору тих змін, які викликають у них прикладені зовнішні сили. Всяка зовнішня сила, яка діє на суцільне середовище, завжди відноситься до однієї з двох категорій: об'ємних (масових) або поверхневих сил. [1]

1.1 Об'ємні сили Об'ємні сили діють на всі точки суцільного середовища, незалежно від того, лежать ці точки на поверхні, що охоплює середовище, чи знаходяться у середині нього. Такі сили відносяться до одиниці маси. Прикладом їх може бути сила тяжіння. [1]

Якщо позначити силу, яка діє на одиницю маси суцільного середовища через, а її складові по координатним осям — через, У, то об'ємна сила, що діє на елементарний об'єм суцільного середовища, очевидно, визначиться виразом, а її складові - де густина вважається приблизно сталою величиною для всіх точок елементарного об'єму (якщо рідина нестислива).

У загальному випадку (коли рідина стислива) густина суцільного середовища

(1.1)

розглядається як функція від координат і часу, тобто

(1.2)

Головний вектор об'ємних сил, які діють на скінченний об'єм суцільного середовища, виражається потрійним інтегралом по цьому об'єму

(1.3)

(1.4)

Розмірність об'ємної сили, віднесеної до одиниці маси, однакова з розмірністю прискорення, тобто, а в об'ємної сили яка діє на елементарний об'єм, розмірність дорівнює [2]

1.2 Поверхневі сили Поверхневі сили — це сили, які діють лише на точки суцільного середовища, що розташовані на поверхні, яка охоплює це середовище. [1]

Поверхневі сили відносяться до одиниці поверхні. Якщо таку силу позначити через, а її складові по координатах — через тоді поверхнева сила, що діє на елементарну площину визначиться як, а її складові - через Вектор залежить від орієнтації площини тобто від напряму зовнішньої нормалі до неї. Головний вектор поверхневих сил, який діє на скінченну поверхню, виражається у вигляді подвійного інтеграла, взятому по всій поверхні, тобто або в його складових

(1.5)

Прикладом поверхневої сили може бути атмосферний тиск, що діє на точки вільної поверхні рідини, налитої у посудину. Розмірність поверхневої сили, віднесеної до одиниці площини, є

Тепер дамо точне поняття тиску у даній точці рідини. Для цього виділимо у рідині досить малу площинку і визначимо силу, з якою діють частинки рідини на одну з боків цієї площинки. Взявши відношення величини сили до величини площинки, знаходимо середнє значення сили, з якою частинки діють на площинку. Переходячи далі до границі цього відношення при зменшенні площинки до нуля, знаходимо нову величину, яка називається тиском у даній точці рідини, тобто

(1.6)

Тиск, який спостерігається в окремих точках нерухомої рідини, називається гідростатичним, а у рухомій рідині — гідродинамічним. 5]

Гідродинамічний тиск є функція від координат і часу, тобто

(1.7)

Розділ 2. Основні рівняння гідродинаміки

2.1 Рівняння нерозривності рідини При вивченні руху рідини розподіл швидкостей у ній не можна розглядати ізольовано від розподілу мас. Через це при описуванні миттєвого стану руху рідини можна користуватися двома векторними полями — швидкості та питомої кількості ручу. Умови матеріальності і суцільності середовища, не обмежуючи загальності цих векторних полів, приводять до основного зв’язку їх з масою. Оскільки відбувається переміщення змінюваних мас, суцільно заповнюючих об'єм, то значення миттєвого поля руху рідини містить у собі і значення наступного поля маси. Ці положення приводять до внутрішнього зв’язку між швидкостями частинок рідини та її густиною, математичний вираз якого називається рівнянням нерозривності. Рівняння нерозривності являє собою частинну, спеціалізовану для суцільного середовища, форму всезагального закону природи — закону збереження маси.

Розглянемо рух газу, вважаючи його стисливою рідиною. У цьому випадку густина газу буде функцією від координат точки і часу, тобто

(2.1)

Рух стисливого середовища можна охарактеризувати завданням поля вектора швидкості як функції від координат точки і часу, тобто

(2.2)

Нехай нерухома поверхня охоплює у середині рухомої рідини довільно взятий об'єм Виділимо у середині цього об'єму елементарний об'єм Маса рідини що вміщується у цей об'єм, визначається у вигляді

(2.3)

Маса рідини що знаходиться в об'ємі визначиться інтегралом, взятим по всьому цьому об'єму, тобто

(2.4)

Якщо густина є функція від часу, то за час вона зміниться на Відповідно до цієї зміни густина маси рідини М одержить приріст

(2.5)

Але зміна маси рідини може відбутися лише за рахунок того, що будь-яка рідина надходить до об'єму проходячи скрізь поверхню яка охоплює цей об'єм. Однак за час через елемент поверхні із зовнішньою нормаллю п витече назовні об'єм рідини з. масою, що дорівнює Через цю ж поверхню за час витече

(2.6)

де — нормальна складова швидкості. Тому що зменшення кількості рідини у середині об'єму повинно дорівнювати кількості рідини, яка протікає за той же час через поверхню, то, прирівнюючи два одержані вирази для зміни маси що знаходиться у середині нерухомої поверхні, одержуємо

(2.7)

Ураховуючи, що за формулою Остроградського-Гаусса

(2.8)

(2.9)

Через те що об'єм — довільний, то необхідно, щоб

(2.10)

або, розкриваючи вираз для дивергенції швидкості, одержуємо

(2.11)

Рівняння (2.10) і (2.11), які пов’язують дві функції від координат і часу та, називаються рівнянням нерозривності у формі Ейлера. [7]

Ця форма рівняння нерозривності найбільш часто використовується у теоретичних дослідженнях. Запишемо рівняння (2.10) в іншій формі, більш зручнішій для подальших висновків.

Якщо врахувати векторну тотожність

(2.12)

то рівняння (2.10) можна записати у вигляді

(2.13)

Ураховуючи співвідношення, яке пов’язує повний диференціал з частинною похідною,

(2.14)

попередня форма рівняння нерозривності набуває вигляду

(2.15)

Ця форма рівняння нерозривності і використовується у магнітній гідродинаміці. Якщо рідина нестислива (краплинна), то

і (2.16)

тоді рівняння нерозривності набуває вигляду

або (2.17)

З цього рівняння видно, що для нестислої рідини можливий не будь-який її рух, а такий, при якому швидкості частинок рідини задовольняють умові, що виражає рівняння (2.17).

При застосуванні рівняння нерозривності до пружньої рідини — газу треба замість скористуватися рівнянням Менделєєва-Клапейрона у формі

(2.18)

де — універсальна газова стала, яка не залежить від природи газу; - молекулярна маса газу і Т — температура газу.

Якщо ж рух нестисливої рідини має потенціал швидкості, тобто

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Таким чином, при русі нестисливої рідини потенціал швидкості задовольняє рівнянню Лапласа. [11]

2.2 Рівняння руху рідини Обмежимося розглядом руху рідини, тобто без урахування сил тертя як зовнішніх, так і внутрішніх. Проте при характеристиці реальних рідин будемо вводити деякі члени, оскільки реальні рідини рухаються лише з наявністю більшої чи меншої в’язкості. [1]

Відрізняють такі сили, що діють на елемент рідини, яка рухається в полі сил тяжіння:

а) масові сили, пропорційні елементові об'єму;

б) сили тиску, пропорційні елементам поверхні;

в) сили інерції, пропорційні прискоренню .

Сукупність цих сил задовольняє другому закону Ньютона

(2.22)

Розглянемо довільний об'єм рухомої ідеальної рідини, охоплений поверхнею яка всіма своїми точками лежить у тій же рідині.

Маса елемента об'єму дорівнює, а зовнішня сила, яка діє на елемент об'єму, дорівнює де зовнішня сила, віднесена до одиниці маси; - стала густина рідини в об'ємі Сила інерції буде дорівнювати добуткові маси частинки на прискорення взятому зі знаком мінус, тобто — де — прискорення, віднесене до одиниці маси рідини. Головний вектор усіх масових сил, прикладених до частинок рідини, що знаходиться в об'ємі, і всіх сил інерції визначиться рівністю

(2.23)

Але на частинки рідини, що знаходяться у середині поверхні, діють ще поверхневі сили, які теж є зовнішніми силами, що являють собою тиск на ці частинки зовнішньої маси рідини у відношенні до об'єму. Через те що на елемент поверхні діє сила тиску то головний вектор усіх поверхневих сил, прикладених до частинок рідини, які розташовані на поверхні, можна зобразити у вигляді інтеграла

(2.24)

де — тиск, віднесений до одиниці поверхні і направлений по внутрішній нормалі п до поверхні, а — одиничний вектор. Застосовуючи принцип Даламбера до системи всіх рідких частинок, що заповнюють об'єм, згідно з яким головний вектор всіх перелічених сил дорівнює нулю, одержимо

(2.25)

(2.26)

Застосовуючи до другого інтеграла цієї рівності перетворення, аналогічне формулі Остроградського-Гаусса, тобто ураховуючи, що

(2.27)

(2.28)

Об'єм довільний, тому підінтегральна функція дорівнює нулю у кожній точці рідини і у кожний момент часу, тобто

(2.29)

звідси знаходимо

(2.30)

Але тому що де — швидкість руху рідини, то рівняння (2.30) набуває вигляду

(2.31)

або у проекціях

(2.32)

Вирази (2.32) називають рівняннями руху ідеальної рідини у координатній формі. Це і є рівняння руху ідеальної рідини, яке часто називають неповним рівнянням гідродинаміки рідини у векторній формі.

Використовуючи співвідношення між повним диференціалом і частинною похідною (оператор Ейлера)

(2.33)

рівняння (2.31) набуває вигляду

(2.34)

(2.35)

У такому вигляді рівняння руху середовища звичайно і використовують у магнітній гідродинаміці. Проектуючи на координатні осі обидві частини рівняння руху ідеальної рідини у векторній формі, одержимо

(2.36)

Усі ці рівняння відомі під назвою рівняння руху ідеальної рідини у формі Ейлера і є фундаментом для теоретичного вивчення руху рідких і газоподібних середовищ. [2]

Якщо рідини знаходяться під дією масових сил, у яких є потенціал, тобто

(2.37)

(2.38)

рівняння (2.31) набуває вигляду

(2.39)

де — потенціальна енергія одиниці маси рідини.

Російський учений І.С. Громеко, вводячи у рівняння руху (2.35) складові вектора вихору, перетворив його до вигляду, зручного для дослідження найрізноманітніших явищ, що пов’язані з рухом рідини, а саме: диференціюючи швидкість руху рідини у складових, тобто

(2.40)

після відповідної підстановки цього результату у рівняння (2.32) і введенням компонентів вихору

(2.41)

одержимо

(2.42)

Ці рівняння відомі під назвою рівнянь руху ідеальної рідини у формі Громеко.

Очевидно, замість трьох скалярних рівнянь (2.42) можна одержати одне рівняння у векторній формі

(2.43)

Рівняння (2.43) також можна легко одержати перетворенням рівняння (2.35) за допомогою векторного співвідношення

(2.44)

Рівняння руху ідеальної рідини у формі Громеко (2.42) і (2.43) носять загальний характер, тому що при їх виведенні не робиться жодних припущень — ні відносно руху рідини, ні відносно самої рідини, за винятком лише припущення, що вона є ідеальна. Серед інших форм рівнянь руху ідеальної рідини поширене векторне рівняння руху у формі вихору. Рівняння (2.43) радянський учений О.О. Фрідман звів до вигляду, зручного для дослідження тих змін, які відбуваються у вихорів з часом, а саме: застосовуючи операцію до обох частин рівняння (2.43) та оператор Ейлера до вихрового вектора одержимо

(2.45)

Це рівняння і є рівнянням руху ідеальної рідини у формі виходу і часто називається основним рівнянням гідродинаміки у формі Фрідмана. Рівняння (2.45), взяте у загальному вигляді, дозволяє визначити ті зміни вихрового вектора поля з часом, які обумовлені відсутністю у масових сил потенціалу і бароклинності рідини. Коли у масової сили є потенціал, то

(2.46)

(2.47)

якщо ж рідина баротропна, то

і (2.48)

Звідси, за колінеарністю векторів і маємо

(2.49)

Ураховуючи (2.47) і (2.49), рівняння Фрідмана (2.45) набуває більш простого вигляду

(2.50)

Коли рідина нестислива, то рівняння (2.50) можна записати у вигляді

(2.51)

Це співвідношення вперше було одержане Гельмгольцем і називається рівнянням Гельмгольца. За допомогою рівняння (2.51) Гельмгольц довів дві дуже важливі теореми:

Якщо в ідеальній баротропній рідині, що рухається під дією потенціальних сил, деяка «рідинна» лінія у даний момент являє собою вихрову лінію, то ця «рідинна» лінія і в будь-який інший момент залишиться також вихровою лінією.

Якщо ідеальна баротропна рідина рухається під дією потенціальних сил, то інтенсивність вихрової трубки не змінюється на протязі всього руху. [8]

Виведення рівняння руху в’язкої рідини досить громіздке, тому тут даємо його без виведення.

Рівняння руху в’язкої рідини у векторній формі можна записати у вигляді

(2.52)

де — коефіцієнт кінематичної в’язкості,

а — коефіцієнт внутрішнього тертя, або коефіцієнт в’язкості. Розмірність

а (2.53)

Коефіцієнт в’язкості для різних рідин змінюється у широких межах. Так, для повітря (при), для ртуті - (при). У проекціях по координатах рівняння руху в’язкої рідини (2.52) набуває вигляду

(2.54)

де, а оператор Лапласа.

Рівняння (2.52) і (2.54) називаються рівняннями Нав'є-Стокса. [2]

Рівняння в’язкої рідини в напруженнях можна записати у вигляді

(2.55)

або в аналітичній формі

(2.56)

де

У рівняннях (2.56) координати і час є незалежні змінні, що відповідають довільності вибору місця і часу спостереження. Складові об'ємної сили задані, останні ж величини невідомі і повинні визначатися за рівнянням (2.55) як функції від координат і часу .

З диференціальних рівнянь (2.52) і (2.54) видно, що для визначення складових швидкості руху її густини і тиску як функції від координат і часу по заданих компонентах масової сили є лише три рівняння, і задача, таким чином, виявляється нерозв’язаною (є три рівняння, а невідомих п’ять). Отже, для того щоб система рівнянь була визначеною, необхідно ще скласти два рівняння.

Якщо рідина нестислива, то густина є величина стала і її можна вважати відомою. У цьому випадку, додаючи до одержаної системи рівнянь ще одне (четверте) рівняння нерозривності, число невідомих стає рівним числу рівнянь, і задача про визначення розв’язується до кінця при умові інтегровності рівнянь руху рідини. Коли ж рідина стислива, за п’яте рівняння Веруть рівняння стану рідини. [1]

2.3 Рівняння стану рідини (газу) У випадку ідеальної стиснутої рідини при визначенні з рівнянь руху рідини складових тиску і густини за п’яте рівняння беруть рівняння стану рідини. Це рівняння пов’язує тиск у рідині з її густиною, температурою Т та іншими величинами. 2]

Форма рівняння стану для різних рідин встановлюється експериментально. Найбільш просту форму рівняння стану набуває для нестисливої рідини, для якої густина є стала величина. [4]

Рівняння

(2.57)

і є рівняння стану для нестисливої рідини. Рідини, для яких густина залежить лише від тиску, тобто

(2.58)

називаються баротропними. Може бути виділений цілий клас баротропних рідин, для яких рівняння стану набуває різну форму. Так, при ізотермічних процесах рівняння стану можна записати у вигляді

(2.59)

де с — стала величина.

Для політропних процесів рівняння стану набуває вигляду

(2.60)

де — параметр, який називається показником політропи.

При адіабатичному процесі рівняння стану можна записати у вигляді

(2.61)

де — деяка стала величина;

— відношення теплоємності при сталому тиску до теплоємності при сталому об'ємі.

Очевидно, за допомогою рівняння стану (2.58) у випадку баротропної рідини з рівняння руху рідини можна виключити густину, і тим самим число величин, що відшукується, приводиться відповідно до числа рівнянь, і задача стає розв’язаною. У випадку бароклінної рідини, в якій густина залежить не лише від тиску, а й від інших факторів, наприклад від температури, рівняння стану набуває більш складної форми. Так, рівняння стану для реального газу виражається формулою Ван-дер-Ваальса.

(2.62)

де т — дана маса газу; - молекулярна маса, а

(2.63)

є універсальна газова стала. Сталі та залежить від хімічної природи газу і пов’язані з його критичними тиском та температурою співвідношеннями

і (2.64)

Проте додаванням рівняння стану бароклінної рідини до трьох рівнянь руху і рівняння нерозривності ще не досягається та мета, яка ставиться введенням до розгляду рівняння стану і яка полягає у зведенні числа величин, що відшукуються, відповідно до числа рівнянь, які їх пов’язують. Так, рівняння (2.62) вводить нову (шосту) невідому функцію (температуру Т) і, таким чином, доводиться вводити шосте рівняння, яким є рівняння припливу тепла. 7]

2.4 Рівняння припливу тепла Рівняння припливу тепла виведемо у загальній формі, виходячи із закону збереження енергії, який сформулюємо так: зміна кінетичної і внутрішньої енергії рідини дорівнює роботі об'ємних і поверхневих сил, що прикладені до рідини, cкладеній з припливом тепла. Розглянемо деякий скінченний об'єм рідини. Відносячи всі змінні до одиниці часу, сформульований вище закон збереження енергії можемо виразити рівністю

(2.65)

де — кінетична енергія об'єму

— внутрішня енергія цього об'єму;

— приплив тепла, віднесений до всього об'єму

Потрійний інтеграл тут виражає роботу всіх об'ємних сил в одиницю часу, а поверхневий інтеграл — роботу всіх поверхневих сил в одиницю часу.

Скористуємося рівнянням руху в’язкої рідини (2.55) і запишемо його у вигляді

(2.66)

Перемножуючи праві і ліві частини рівнянь (2.66) відповідно на додаючи їх та інтегруючи по всій масі рідини, яка займає об'єм одержимо вираз теореми про зміну кінетичної енергії

(2.67)

Знайшовши аналогічні співвідношення для осей і та помічаючи, що

(2.68)

теорему про зміну кінетичної енергії можемо записати у вигляді

(2.69)

Перетворюючи другий інтеграл правої частини у поверхневий, за теоремою Остроградського-Гаусса

(2.70)

і позначаючи підінтегральний вираз третього через, одержимо

(2.71)

У випадку в’язкої рідини робота сил, прикладених до рідини, не повністю іде на зміну кінетичної енергії системи, тому що частина її переходить у тепло. Віднімаючи (2.71) від (2.65), одержуємо

(2.72)

Це і є рівняння припливу тепла в інтегральній формі; воно показує, що зміна внутрішньої енергії рідини відбувається як за рахунок зовнішнього тепла, так і за рахунок перетворення механічної енергії у тепло. [6]

Перетворимо тепер інтегральну форму рівняння припливу тепла (2.72) в його диференціальну форму. Позичаючи через внутрішню енергію, віднесену до одиниці маси, а через — кількість тепла, яке одержує із зовні одиниця маси в одиницю часу, знайдемо

і (2.73)

Підставивши ці значення і у рівняння (2.72), одержимо

(2.74)

Через те що маса залишається сталою величиною, то у лівій частині рівності (2.74) можна змінити порядок математичних операцій, тобто виявляється справедливою рівність

(2.75)

Якщо перенести всі члени рівності (2.74) у ліву частину і взяти загальний знак інтегралу з урахуванням рівності (2.75), то знаходимо

(2.76)

Але об'єм довільний, тому рівняння (2.76) можна записати у вигляді

(2.77)

або у розгорнутій формі

(2.78)

Це і є загальна форма рівняння припливу тепла. Виходячи з гіпотези Стокса, що між компонентами напруження і компонентами швидкості деформації є лінійна залежність, можна записати

(2.79)

(2.80)

де — коефіцієнт динамічної в’язкості рідини, який залежить від фізичних властивостей рідини;

— гідродинамічний тиск ідеальної рідини. У рівняннях (2.79) знак мінус показує, що тиск направлений у середину даного об'єму рідини. Параметр, який залежить від молекулярної будови рідини, визначається для кожної рідини експериментально.

Вводячи у рівняння припливу тепла (2.78), замість напружень швидкості деформацій за формулами (2.79) і (2.80), після простих перетворень одержимо

(2.81)

Це і є остаточна диференціальна форма рівняння припливу тепла. З’ясуємо тепер фізичний зміст членів, які входять до рівняння (2.81). [9]

Якщо рідина ідеальна, то = 0, і рівняння припливу тепла (2.81) набуває вигляду

(2.82)

Але згідно з рівнянням нерозривності

(2.83)

(2.84)

Приймаючи до уваги, що для ідеального газу одержимо

(2.85)

де — питома теплоємність при сталому об'ємі;

Т — абсолютна температура.

У рівнянні припливу тепла (2.81) член відмінний від нуля лише для випадку ідеальної стисливої рідини. Отже, він виражає те тепло, яке іде на роботу розширення рідини, або тепло, яке виникає внаслідок стиснення цієї рідини. Усі інші члени цього рівняння пов’язані з в’язкістю і виражають кількість тепла, яке виникає в одиниці об'єму рідини за одиницю часу за рахунок перетворення механічної енергії у тепло. Сукупність усіх членів, що пов’язані з в’язкістю, виражає дисипацію (розсіювання) механічної енергії

(2.86)

Дисипація механічної енергії складається з двох частин: одна з них пов’язана зі стисливістю в’язкої рідини, а друга — з її деформацією. Часто стисливістю рідини нехтують, і тоді дисипація механічної енергії визначається за формулою

(2.87)

З цього рівняння видно, що дисипація механічної енергії є величина позитивна. При цьому завжди відбудеться приплив тепла, тобто перетворення механічної енергії у тепло. Приєднуючи дисипацію до рівності (2.85), рівняння припливу тепла можна записати у вигляді

(2.88)

Тому що рівняння (2.88) відноситься до рухомої частинки, то

(2.89)

При загальному розв’язанні задачі ураховуються такі форми передачі енергії у рідині:

1) дисипація механічної енергії у тепло, обумовлена в’язкістю рідини;

2) перенесення тепла адвекцією (по горизонталі) і конвекцією (по вертикалі);

3) теплопровідність;

4) поглинання променевої енергії і випромінювання;

5) перетворення енергії, яке пов’язане зі зміною фаз.

Якщо процес адіабатичний, тоді. Нехтуючи дисипацією енергії (D= 0), з (2.88) одержимо рівняння адіабати

(2.90)

або, ураховуючи рівняння Менделєєва-Клапейрона

(2.91)

одержимо

(2.92)

Можна також розглядати величину як задану функцію від координат точки і часу, а також компонентів швидкості. Якщо температура рідини змінюється від точки до точки, то перенесення здійснюється не лише адвекцією, але і теплопровідністю. Тому що остання являє собою безпосереднє перенесення енергії рухомими молекулами, яке ніяк не пов’язане з молярним рухом, то явище теплопровідності є і у нерухомій рідині. Потік тепла, обумовлений теплопровідністю, за формулою Ньютона, пропорційний зниженню температури, тобто градієнту температури з оберненим знаком

(2.93)

де — коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом теплопровідності. Якщо мало змінюється при зміні температури і тиску, то його можна вважати заданою константою, яка характеризує фізичні властивості рідини. [3]

Виділяючи у рідині елементарний паралелепіпед з гранями, паралельними координатним площинам, і розглядаючи потоки тепла, які витікають з нього, знаходимо, що кількість тепла, яке одержує одиниця маси за одиницю часу внаслідок теплопровідності дорівнює

(2.94)

З урахуванням (2.94) рівняння припливу тепла набуває вигляду

(2.95)

Розглянемо кілька окремих випадків:

а) якщо рідина ідеальна (), то

(2.96)

б) якщо рідина нестислива (), то

(2.97)

(2.98)

де — коефіцієнт температуропровідності;

в) якщо рідина нерухома, то можна одержати рівняння теплопровідності

(2.99)

Отже, рівняння припливу тепла при певних умовах перетворюється у рівняння теплопровідності;

г) для стисливої ідеальної рідини рівняння припливу тепла можна записати у більш строгій формі

(2.100)

При невеликих коливаннях тиску рідини рівняння теплопровідності набуває вигляду (2.99) лише з тією різницею, що до коефіцієнта температуропровідності входить замість

(2.101)

Це рівняння є приблизне і нехтувати членом не завжди можна. [1]

Висновок Дана курсова робота була написана для студентів, які цікавляться магнітною гідродинамікою. Адже у роботі, перш за все, було поставлено завдання сконцентрувати ті фізичні і гідродинамічні поняття, закономірності та їх рівняння, які покладені в основу магнітної гідродинаміки.

Дана курсова робота висвітлює загальні поняття про рідини, поділивши їх на краплинні і газоподібні. Виведено основні рівняння гідродинаміки: рівняння нерозривності рідини у формі Ейлера ;

рівняння руху рідини, враховуючи сили інерції, ;

рівняння стану рідини ;

та рівняння припливу тепла ;

.

Отже, основна мета написаного — дати лише попередню підготовку до більш глибокого вивчення сучасної магнітної гідродинаміки.

Бібліографія

1. Мішутін Д.А. Фізичні основи магнітної гідродинаміки. — К.: Видав КГУ, 1967.

2. Федорченко А. М. Теоретична фізика. Механіка. — К.: Вища школа, 1971.

3. Дущенко В. Л., Кучерук І.М. Загальна фізика. — К.: Вища школа, 1987.

4. Кантрович А. Р., Петчек Г. Е. Вводный обзор магнитной гидродинамики. — В сб.: Магнитная гидродинамика. М.: Автом — издат, 1958.

5. Каплан С. А., Станюкович К. П. Решение уравнений магнитогазодинамики для одномерного течения. ДАН СССР, 1954, т. 95, № 4.

6. Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М. Электродинамика сплошних сред. М.: Гостехиздат, 1957.

7. Коган М. Н. О сохранении вихрей и токов в магнитной гидродинамике. ДАН СССР, 1961, т. 139, № 1.

8. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика Т. 1. М.: Гостехиздат, 1955.

9. Ладиков Ю. П. Некоторые точные решения уравнений неустановившихся движений в магнитной гидродинамике. ДАН СССР, 1961, т. 137, № 2.

10. Кузнецов Д. С., Гидродинамика. Л.: Гидрометиздат, 1951.

11. Куликовская А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М.: ГИИЛ, 1962.

12. Сыроватский С. И. Магнитная гидродинамика. УФН, 1957, Т.62, № 3.