Теорія механізмів і машин

Міністерство освіти i науки, молоді та спорту України Національний університет кораблебудування

імені адмірала Макарова

Ю.М. КІПРЄЄВ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

З ТЕОРІЇ МЕХАНІЗМІВ І МАШИН

Затверджено на засіданні кафедри механіки і конструювання машин Протокол № 1 від30 серпня 2010 р.

Миколаїв, 2010

ББК 34.42

К-42

УДК 531.8

Кіпрєєв Ю. М. Конспект лекцій з теорії механізмів та машин: Навчальний посібник. — Миколаїв: НУК, 2010. — 69c.

Викладено питання проектування схем і кінематичного дослідження плоских важільних механізмів, планетарних та диференціальних механізмів, динамічного дослідження машинних агрегатів. Посібник призначено для студентів машинобудівних, електротехнічних та інших спеціальностей, які вивчають курси прикладної механіки, технічної механіки та теорії механізмів і машин.

ВВЕДЕННЯ З історії розвитку механіки.

Механіка є одною з найдавніших наук, виникнення якої було обумовлено практичними проблемами суспільства.

Розвиток механіки тісно зв’язаний із розвитком землеробства, ростом міст, будовою крупних споруд, розвиток ремесел та мореплавства. Відомі випадки застосування простих механічних пристроїв. Наприклад, під час побудови єгипетських пірамід використовувались важелі, блоки, нахилені поверхні тощо.

Але в ті часи ще не існувало розподілу науки за галузями знань і тому механіка була складовою частиною єдиної науки о природі і суспільстві. Виділення окремих наук із загального природознавства розпочалась після Аристотеля (384 — 322 рр. до н.е.).

Засновником механіки як науки був знаменитий вчений древності Архімед (287 — 212 рр. до н.е.) він дав точне розв’язання задачі про рівновагу сил, що прикладені до важеля, сформулював закон про гідростатичний тиск рідини на тіло, що в неї заглиблено (занурено).

Швидкий та успішний розвиток механіки як науки розпочався лише з епохи Відродження, коли було створено умови для розвитку науки і техніки, в суспільстві з’явилась неухильна потреба в найскорішому розв’язанні складних проблем його існування.

З епохою Відродження починається наступний етап розвитку механіки, який потребує досліджень законів руху тіл. У ці часи створюються основи динаміки — науки про загальні закони руху матеріальних тіл.

Яскравим представником епохи Відродження був геніальний італійський художник, фізик і інженер Леонардо да Вінчі (1451 — 1519).

Інший геніальний італійський вченій Галілео Галілей (1564 — 1642) створив основи динаміки, виконав перші дослідження міцності консольних стрижнів. Англієць Ісаак Ньютон (1643 — 1727) у систематичному вигляді виклав основні закони так званої класичної механіки. У ті ж самі часи інший знаменитий англієць Роберт Гук (1635 — 1703), який був не тільки талановитим винахідником (відомі його конструкції повітряного насосу, пружинного приводу годинників, шарніра Гука, який використовується у конструкції вала Кардана, тощо) і експериментатором, але не менш відомим вченим. Він висловив добре відомий закон пружності, який на його честь названо законом Гука. З цього закону розпочалася історія розвитку механіки пружного тіла, — опору матеріалів. Ще до відкриття І. Ньютоном в 1681 році закону всесвітнього тяжіння він провів серію експериментів у 1671 році, після проведення яких висловив головну думку цього закону. Після довгих суперечок І. Ньютон був змушений зробити примітку у книзі «Принципіа»: «Зворотний закон тяжіння має місто в усіх небесних рухах, і він був незалежно відкритий моїми співвітчизниками Реном, Гуком і Галеєм». Але окремо відмітити Гука він не хотів.

Розвиток науки у Російський імперії, до якого належала частина України, розпочався за ініціативою Петра 1 у 1725 році після заснування Російської Академії наук. Великий вплив на розвиток механіки оказали праці видатного російського вченого М. В. Ломоносова (1711 — 1765), а також швейцарського вченого Леонарда Ейлера (1707 — 1783), який біля 30 років працював у Росії.

Велику роль у розвитку технічної механіки відіграють труди вітчизняних вчених XIX і XX віків: М. В Остроградського (1801 — 1861), П. Л Чебишова (1821 — 1891), Л. В. Асура (1878 — 1920), І.В. Мещерського (1859 — 1935), О. М. Крилова тощо. Видатний радянський вчений І.І. Артоболевський (1905 — 1977) є засновником теорії машин і механізмів. Праці видатного українського вченого С. П. Тимошенко стали класичними у теоріях пружності, механіки твердого тіла, опору матеріалів тощо.

Роль теорії механізмів та машин у процесі виробництва рухомих конструкцій. У одноборстві з природою людина навчилася долати водяні перешкоди і використовувати багатства рік, морів і океанів. Першим засобом пересування по воді стала колода чи їх зв’язка (пліт), яки цілком підкорялися течії. Потім за допомогою шматка дерева в руці людина навчилася прискорювати хід і керувати цією колодою чи плотом. Пізніше, закріпивши рухливо на кормі і по бортах подібні пристрої, подовживши їх рукоятки, люди створили найпростіші важільні механізми — весла і поворотні рули. Їхня конструкція добре знайома по річкових і морських прогулянках на гребних та моторних човнах, яхтах.

Прагнучи зробити судно більш морехіднім, міцним і комфортабельним, люди перешли від створення простих човнів, виготовлених з одного дерева, і плотів до збірних судів. Спочатку для оброблення дерев на дошки застосовувалися клини, а для їхньої доставки до місць будівлі - ковзанки і коловороти. Поступово ці найпростіші технологічні пристосування видозмінювалися, праця ставала більш продуктивною. Але в цілому, у процесі свого розвитку корпусна частина судна не перетерпіла принципових змін, у корпусних роботах до середини XX століття переважала ручна праця. Дешевина експлуатації водяних шляхів дозволяла водяному транспорту успішно конкурувати з наземними видами транспорту. Але бурхливий розвиток техніки, що почався наприкінці XIX — початку XX століття, призвів до росту швидкостей, виникненню авіації.

Судна з традиційною формою корпуса і вертикальним способом завантаження, досягши до п’ятидесятих років нашого століття порівняно великих швидкостей ходу, втрачали 40−60% часу свого рейса на завантаження-розвантаження і ставали менш вигідними порівняно з іншими видами транспорту. Це призвело до необхідності будівництва судів так названого «відкритого» типу, що зажадали більш продуктивних вантажних механізмів і пристроїв. Ці судна практично не мають просторів під палубами — «кишень» через велику площу розкриття трюмів. Дерев’яні люкові закриття були замінені надійними, міцними, водонепроникними металевими з механічним приводом.

Для прискорення вантажних операцій за останні 45−55 років були спроектовані і побудовані судна з укрупненням вантажних місць (пакетовози і контейнеровози) і судна з горизонтальним способом завантаження і розвантаження. На цих судах почали використовуватись різні спеціальні механізми, а при проектуванні судів з горизонтальним способом розвантаження довелося навіть відмовитися від традиційної форми корпуса і зробити його рознімним. На судні такого типу (рис.1) вантажі можуть переміщуватися з однієї палуби на іншу по пандусах 1, що опускаються, чи за допомогою гідравлічних підйомників 4. Для розвантаження і завантаження частина корми чи носа (апарель) 2 піднімається, а на пірс опускається спеціальний настил 3, по якому відбувається перевезення вантажів. Такі конструктивні зміни корпуса і набору судна зажадали розробки складних вантажопідйомних механізмів і пристроїв.

Рис. 1.

Дослідження Світового океану зажадало створення спеціальних глибоководних апаратів. Ці апарати обладнані найрізноманітнішими механізмами і пристроями, виготовленими на рівні сучасних вимог. За допомогою таких апаратів можна доставити зразки ґрунтів і вивчати життя глибоководних мешканців на недосяжних раніше глибинах. Крім того, з їхньою допомогою удалося знайти і підняти з дна Середземного моря водневу бомбу біля берегів Іспанії, загублену американським льотчиком; знайти залишки затонулого атомного підвідного човна США «Трешер» тощо. У 2001 році за допомогою сучасної техніки було проведено унікальну операцію по підйому російського атомного човна «Курск», який загинув у Баренцовому морі внаслідок вибуху на його борті.

Енергетична криза і порушення екологічної рівноваги призвели до необхідності пошуку «чистих» видів енергії. Вже зараз відроджуються вітрильні судна, створюються типи судів і пристроїв, що використовують енергію вітру, підводних течій і сонця. Їхня експлуатація зажадає розробки нових механізмів і пристроїв, що полегшують працю людини і дозволяють цим судам успішно конкурувати зі звичайними видами транспорту.

Прогрес у науці і техніці не обійшов стороною і технологію суднобудування. Велика частка ручної праці в корпусному і зварювальному виробництві раніше гальмувала темпи будівлі судів. На сучасних суднобудівних підприємствах вже рідко можна бачити робітників, вручну за допомогою традиційного молота виконуючих виправлення сталевих листів, припасування частин корпуса. У корпусно обробних цехах їх заміняють керованими цифровою обчислювальною машиною правлячими вальцями, гільйотинами, гідравлічними пресами і нагрівальними печами. На величезних рихтованих плитах автоматично формуються викрутки для гребних валів, штевні й інші профільні деталі.

У зварювальному виробництві стали усе ширше застосовуватися автомати і напівавтомати, а використання нових матеріалів призвело до корінної зміни технології зварювального виробництва. У деяких випадках зварювання виробляється за допомогою спеціальних маніпуляторів.

Короткий огляд досягнень сучасного суднобудування дозволяє зробити висновок про необхідність ознайомлення майбутніх інженерів-кораблебудівників з основами теорії машин і механізмів. Надалі ці знання допоможуть у розв’язку складних комплексних проблем створення нових досконалих судів, пристроїв і апаратів.

Проектування, виготовлення та правильна експлуатація машинних агрегатів, які являють собою комплекси взаємно зв’язаних машин і механізмів, передбачають знання фізичних процесів, що протікають у них, принципів конструювання й методів розрахунку машин, механізмів та їх деталей. З цією метою вивчається прикладна механіка, що містить питання дослідження руху і напруженого стану реальних технічних об'єктів — механізмів, машин, робототехнічних систем тощо.

Знання та розуміння задач прикладної механіки вимагаються від усіх спеціалістів, які беруть участь у розробці будь-якої нової машини, незалежно від їх фахової належності. І, навпаки, незнання особливостей роботи створюваних об'єктів або нехтування ними призводить проектувальників до значних помилок і прорахунків, що може мати непоправні наслідки при подальшій експлуатації машинних агрегатів.

Особливості взаємодії складових частин машинних агрегатів повинні враховуватися вже на первісній стадії проектувального розрахунку. Ці особливості можна умовно поділити на такі етапи:

1. Вибір кінематичних схем машин і механізмів, які дозволяють здійснити потрібний рух веденої ланки при заданому законі руху ведучої.

2. Синтез кінематичних схем, тобто визначення основних розмірів ланок і координат нерухомих шарнірів і напрямних.

3. Кінематичне дослідження спроектованих схем механізмів і визначення всіх характеристик їх руху.

4. Вибір фізичних характеристик ланок, зокрема, форми й розміру перерізу ланки, марки матеріалу, визначення маси, моменту інерції та координат центра ваги ланки.

5. Силове дослідження кінематичних схем механізмів, за допомогою якого обчислюються навантаження, що діють на ланки. З умов міцності уточнюються розміри і конструктивні відтворення ланок і кінематичних пар. Згідно з уточненими характеристиками ланок повторюється їхній силовий розрахунок, а також розрахунок на міцність. В результаті попереднього проектування складаються конструктивні схеми машин і механізмів, що мають потрібну міцність, яка відповідає заданим умовам робочих процесів.

6. Завершальним етапом проектувального розрахунку є динамічне дослідження машинного агрегату, протягом якого уточнюється закон руху ведучої ланки, остаточно вибирається тип електроприводу і забезпечуються умови роботи відповідно до потрібного закону руху.

Після виконання всіх наведених розрахунків і опрацювань провадиться конструювання, тобто подальша детальна розробка всіх вузлів у машині, яка дає змогу втілити принципову схему в реальну конструкцію.

1. Структурна класифікація механізмів

1.1 Загальні поняття і визначення Наукою, що вивчає види кінематичних схем, кінематику і динаміку машинних агрегатів у зв’язку з їхнім аналізом і синтезом, є теорія механізмів і машин (ТММ).

Дослідження або проектування будь-якої конструкції, що рухається, розпочинається із складання її кінематичної схеми. Така рухома конструкція у механіці зветься механізмом.

Головним об'єктом дослідження у ТММ є кінематична схема — умовне зображення механізму, на якому у спрощеному вигляді вказані елементи, що впливають на його кінематичні характеристики. Структурна схема рухомої конструкції, на відміну від кінематичної схеми, виконується довільно без дотримання масштабу. Таке зображення дає уявлення тільки за склад конструкції.

Пристрої, що ведуть до збільшення продуктивності праці, частково і цілком заміняють людину в її трудових і фізіологічних функціях, називаються машинами (наприклад, ДВЗ — двигун внутрішнього згоряння, ГТД — газотурбінний двигун, парові турбіни, електродвигуни, генератор струму, компресор, помпа, тощо).

Механізм — це система штучно створених тіл (твердих, рідких і газоподібних), яку призначено для перетворення руху одних тіл у потрібний рух інших тіл (лебідка, вантажопідйомний кран, механізми гідравлічних приводів, обробляючих верстатів, шпилі, брашпилі тощо). Головну увагу у ТММ приділяють механізмам, які складаються з твердих тіл.

Таким чином, роль механізму, на відміну від машини, зводиться лише до передачі руху і потоку енергії. У той же час механізм має ту ж структуру, що і машина, і в цьому відношенні між ними немає ніякого розходження. Механізм можна вважати машиною, якщо він в умовах руху переборює зовнішні опори, зв’язані безпосередньо з процесом виробництва чи транспорту. При роботі вхолосту машину можна розглядати як механізм у чистому вигляді.

Машина і механізми об'єднуються у машинні агрегати. Машинний агрегат — це комплекс взаємопов'язаних машин, механізмів, пристроїв, виконавчих органів тощо, призначений для виконання певних функцій.

Структурною одиницею будь-якої рухомої конструкції є ланка. Ланкою називають одну або групу деталей, жорстко з'єднаних між собою. Ланки бувають рухомими (поршень, шестірня, вал тощо) і нерухомими (станина, фундамент, циліндрова втулка тощо). Нерухомі ланки складаються з ряду жорстко зв’язаних тіл і називаються стійками. Будь-який механізм має тільки одну нерухому і декілька рухомих ланок.

Вхідною вважають ланку, закон руху якої заданий і перетворюється механізмом у потрібний закон інших ланок. Вона може співпадати або не співпадати з провідною ланкою, якою зветься ланка, що за допомогою рушійних навантажень надає рух усьому механізму. Веденою ланкою називають ланку, що здійснює рух, для виконання якого призначений механізм. Решту ланок механізму називають проміжними.

Ланки бувають прості і складні. Якщо ланка входить не більш, ніж у два рухомих з'єднання з іншими ланками (рис. 1.1,а, б), то вона є простою, в інших випадках (рис. 1.1, в) ланка зветься складною.

а б в Рис. 1.1. Прості (а, б) та складні (в) ланки механізмів На схемах ланки позначають арабськими цифрами, кінематичні пари — великими латинськими літерами. Нерухому ланку, яка входить до складу механізму, називають стояком або стійкою. На кінематичних схемах нерухомі ланки позначають штрихуванням. Рухому ланку, яка здійснює повний оберт, називають корбою. Ланки, які здійснюють коливний, плоскопаралельний і зворотно-поступальний рухи, відповідно називають коромислом, гонком і поковзнем. Рухому ланку, яка є напрямною для поковзня, називають кулісою. Поковзень, що рухається по кулісі, називають каменем куліси.

1.2 Класифікація кінематичних пар Кожен механізм складається з ланок. З'єднання двох дотичних ланок, яке дозволяє їхній відносний рух, називається кінематичною парою (рис. 1.2).

Між двома ланками може існувати тільки одне рухоме з'єднання або кінематична пара, незважаючи на те, що ці ланки можуть мати контакт в декількох місцях. Слід також відмітити, що в разі стикання в одному місці декількох ланок, вони створюють поміж собою загальну кількість пар, що на одиницю менша кількості ланок, яки збігаються у цьому місці.

Поверхні, лінії, або точки, якими одна ланка торкається іншої, називають елементами кінематичних пар.

Кінематичні пари класифікують за чотирма ознаками.

1. За числом зв’язків, тобто обмежень, які кінематична пара накладає на відносний рух ланок. За цією ознакою пари поділяються на п’ять класів. Клас кінематичної пари визначають за числом зв’язків, де — кількість ступенів вільності у відносному русі ланок, які утворюють пару.

2. За видом елементів контакту ланок у парі вони розділяються на вищі і нижчі. До вищих належать пари, у яких ланки дотикаються по поверхні (рис. 1.2, б, в, ж), нижчими — ланки, у яких елементами контакту є точки або лінії (рис. 1.2, г, д, є, з, і).

A б в г д є

ж з і

Рис. 1.2. Приклади різноманітних видів кінематичних пар:

а — незалежне або вільне тверде тіло (куля) з шістьма ступенями вільності; б — кінематична пара І класу «куля — площина»; в — кінематична пара ІІ класу «циліндр — площина»; г — кінематична пара ІІІ класу «плоске тіло — площина»; д — кінематична пара ІІІ класу, сферичний шарнір; є - кінематична пара ІV класу, контакт ланок по циліндричної поверхні; ж — кінематична пара ІV класу у контакті зубчастих коліс; з — поступальна кінематична пара V класу; і - обертальна кінематична пара V класу

3. За характером відносного руху ланок пари можуть бути плоскими (рис. 1.2, г, ж, з, і) і просторовими (рис. 1.2, б, в, д, є).

4. За умовами підтримки контакту ланок у парі вони розділяються на відкриті (рис. 1.2, б, в, г) і замкнені (рис. 1.2, д, є, ж, з, і). У відкритих ланках потрібне силове замикання контакту, в замкнених цей контакт забезпечується геометричне замикання, тобто за допомогою особливостей форми контактуючих поверхонь.

Системи ланок, які з'єднані між собою кінематичними парами, називають кінематичними ланцюгами.

1.3 Ступінь рухомості механізму Механізмом називають кінематичний ланцюг з нерухомою ланкою, у якому при заданому русі одної чи декількох ланок щодо будь-якого з них всі інші ланки роблять однозначно обумовлені рухи.

Кількість узагальнених координат, що цілком характеризують положення, а отже, і рух тіла чи механізму, прийнято називати числом ступенів вільності (ступенем рухомості) тіла чи механізму.

Характер руху механізму визначається розмірами ланок, послідовністю їх з`єднання, конструкцією кінематичних пар. Кількість ступенів свободи або ступінь рухомості механізму визначається за структурною формулою Сомова-Малишева

(1.1)

де — кількість рухомих ланок механізму; - номер класу кінематичної пари; - кількість кінематичних пар, належать до класу за номером .

Більша частина кінематичних схем механізмів має деяку кількість загальних, або співпадаючих умов зв’язку, тому підрахування ступеню рухомості повинно виконуватися за умовою їх віднімання з усіх коефіцієнтів наведеної залежності. Загальну структурну формулу з урахуванням загальних зв’язків вивів у 1943 році В.В. Добровольский

. (1.2)

Для плоских механізмів кількість співпадаючих умов зв’язку дорівнює трьом (), тому ступінь рухомості визначається за формулою П.Л.Чебишова

. (1.3)

де — кількість рухомих ланок; і - кількість кінематичних пар, відповідно IV і V класів.

1.4 Види механізмів Ступінь рухомості відповідає кількості узагальнених (незалежних) координат, які повністю характеризують будь-яке положення механізму. Найбільш розповсюджені в техніці механізми мають один ступінь рухомості. Найпростішим з механізмів є дволанковий (рис. 1.3). Дволанковий механізм (рис. 1.3,а) з обертальною парою (шарніром) застосовується як головний механізм у роторних машинах і приладах: турбінах усіх видів, електродвигунах і електрогенераторах, відцентрових насосах і вентиляторах, турбокомпресорах, гіроскопах тощо.

Дволанковий механізм із поступальною парою (рис. 1.3,б) зустрічається в парових насосах, дизель-компресорах, у пристроях поступального переміщення супортів.

а б Рис. 1.3. Дволанкові механізми із обертальною (а) та поступальною (б) кінематичними парами У більшості механізмів ланки роблять обертальний, зворотно-обертальний або зворотно-поступальний рух. Якщо всі точки ланок механізму рухаються у паралельних плоскостях, то механізм буде плоским, у всіх інших випадках — просторовим. Усі плоскі механізми можна розділити на механізми з нижчими і з вищими парами. У плоских механізмах, яки називаються важільними механізмами, ланки з'єднуються тільки нижчими парами, а в механізмах з вищими парами існує хоча б одна вища пара.

Триланкові механізми представлені групами клинових (рис. 1.4) і гвинтових (рис. 1.5) механізмів, що застосовуються в різного роду пресах, затисках, пристроях подачі деталей тощо.

Рис. 1.4. Клиновий механізм Рис. 1.5. Гвинтовий механізм Чотириланкові важільні механізми показані на рис. 1.6 і 1.7.

Шарнірні чотириланковики широко застосовують, коли потрібно здійснити безперервне обертання або зворотно-обертальний рух відомої ланки. Ці механізми зустрічаються в пресах і кувальних машинах, поперечно-стругальних і довбальних верстатах, механізмах люкових закриттів, гідравлічних підйомниках апарелів і пандусів, приладах і ін.

Шарнірні чотириланкові механізми (рис. 1.6) утворюються на базі кінематичного ланцюга з чотирьох ланок (рис. 1.6,а), послідовно з'єднаних обертальними парами п’ятого класу. Ці механізми, у залежності від дотримання умови прокручування ланок, поділені на три групи. Умова прокручування, яка має назву правила Грасгофа, може бути записана у вигляді нерівності, де — довжина самої короткої ланки механізму; - довжина його самої довгої ланки. Розміри шарнірного чотирикутника (рис. 1.6,а):; ;;. З урахуванням правила Грасгофа:

— механізм буде корбово-коромисловим, якщо його розміри задовольняють умови прокручування ланок і за стійку прийнята ланка, розташована поруч із самою короткою (рис. 1.6,б);

— механізм буде двокорбовим при недотриманні правила і за стійку прийнята сама коротша ланка (рис. 1.6,в);

— механізм буде двохкоромисловим при недотриманні правила або, коли сама коротша ланка є гонком (рис. 1.6,г).

-

а б

в г

Рис. 1.6. Найпростіші шарнірні чотириланковики

а — простий замкнений кінематичний ланцюг з чотирьох ланок (шарнірний чотириланковик); б — корбово-коромисловий механізм; в — двокорбовий механізм; г — двохкоромисловий механізм В усіх важільних механізмах ланку, яка робить повний оборот навколо нерухомої осі і утворює обертальні пари з іншими ланками, називають корбою (рис. 1.6,б, в). Ланку 3, яка гойдається навколо нерухомої осі, називають коромислом (рис. 1.6,б). Ланку 3, яка утворює поступальну пару зі стойкою, називають поковзнем (рис. 1.7,а), а ланка 2, що утворює кінематичні обертальні пари тільки з рухомими ланками — гонком (рис. 1.6, рис. 1.7,а). У кулісних механізмах (рис. 1.7,б) кулісою називають рухому ланку 3, що утворить поступальну пару з іншою рухомою ланкою — каменем 2 куліси. Ланку 3, яка гойдається навколо нерухомої осі і утворює поступальну пару з іншою ланкою 2, називають хитним поковзнем (рис. 1.7,в).

а б

в г

Рис. 1.7. Важільні механізми з поступальними парами, а — корбово-поковзневий механізм; б — кулісний механізм; в — механізм з хитним поковзнем; г — кулісний механізм з каменем і поковзнем Крім представлених чотириланкових важільних механізмів широко застосовуються важільні механізми з більшим числом ланок.

Механізми з вищими парами (рис. 1.8), у залежності від призначення і умов роботи, можна поділити на види, з яких найбільше поширення одержали кулачкові механізми, фрикційні, зубчасті і черв’ячні передачі.

Кулачкові механізми (рис. 1.8,а) служать для відтворення необхідного закону руху відомої ланки-штовхача. Вища пара у них утворюється кулачком 1 і штовхачем 2. Форма вхідної ланки визначає закон руху вихідної ланки — штовхача 2. Завдяки простоті проектування і задля зменшення кількості ланок ці механізми одержали широке поширення у всіляких машинах і приладах, де потрібно автоматично робити погоджені рухи виконавчих ланок: у металообробних верстатах, теплових двигунах, зварювальних маніпуляторах, у лічильно-розв'язувальних пристроях тощо.

Зубчасті (рис. 1.8,в), черв’ячні (рис. 1.8,г) та фрикційні механізми (рис. 1.8,а) служать, головним чином, для передачі обертального руху між двома якими-небудь осями зі зміною кутової швидкості веденого вала. У зубчастих механізмах передача руху здійснюється за допомогою сил тиску у зоні контакту між елементами рухомих ланок — зубів (рис. 1.8,в).

a

б в

г д

Рис. 1.8. Триланкові механізми з вищими парами, а — фрикційна передача; б — кулачковий механізм; в — зубчаста передача; г — черв’ячна передача; д — мальтійський механізм Зубчасті і черв’ячні механізми застосовується в шпилях, брашпилях, вантажних лебідках і піднімальних пристроях, кранах, механізмах передач двигунів, верстатів тощо. Важче назвати машину або прилад, де б їх не було. Фрикційні механізми здійснюють передачу обертального руху між ланками, що входять у вищу пару, за допомогою тертя і часто використовуються в безступінчастих передачах і варіаторах, що дозволяють плавно змінювати не тільки кутову швидкість веденої ланки, але і напрямок обертання.

Крім перелічених механізмів, у суднових машинах і в різного виду технологічному устаткуванні застосовуються передачі з гнучкими зв’язками — штуртросові, пасові, ланцюгові, а також хвильові зубчасті редуктори, що містять гнучкі зубчасті колеса, храпові механізми тощо. На рис. 1.8, д зображено модель мальтійського механізму, який застосовується у верстатах і приладах.

1.5 Надлишкові (пасивні) зв’язки і зайві ступені вільності

Крім зв’язків, що активно впливають на характер руху механізмів, у них можуть зустрітися умови зв’язку і ступені вільності, що не роблять ніякого впливу на рух ланок механізму в цілому. Вилучення з механізмів ланок і кінематичних пар, яким ці ступені вільності і умови зв’язку належать, може бути зроблене без зміни загального характеру руху механізму в цілому. Такі зв’язки називаються надлишковими або пасивними зв’язками, а ступені вільностізайвими ступенями вільності.

Іноді зайвий зв`язок свідомо впроваджують до складу механізму для підвищення його жорсткості або для усунення невизначеності руху ланок в деяких положеннях. Включення до складу механізму таких ланок повинно відбуватися з виконанням додаткових умов. Наприклад, ланка 4 входить до складу шарнірного механізму при виконанні додаткових умов і (рис. 1.9, б). Дійсно, ступінь рухомості механізму з ланкою 4 згідно розрахунку дорівнює нулю. Цей результат відповідає дійсності тільки відносно статично визначеної ферми (рис. 1.9,а), яку побудовано без утримання згаданих умов. Але при виконанні додаткових умов і ланка 4 тільки дублює зв’язки ланки 2 і не створює перешкод руху інших ланок, тобто накладає на рух механізму умови зв’язку, що є надлишковими. З приводу цього при теоретичному дослідження вона повинна бути відкинута. Тільки вилучивши з механізму надлишкову ланку з двома кінематичними парами, отримаємо шарнірний паралелограм (рис. 1.9,в) з одним ступенем вільності, .

а б в Рис. 1.9. Багатоланкові шарнірні конструкції

а — статично визначена ферма; б — шарнірний паралелограм з пасивними зв’язками; в — шарнірний паралелограм Для плоского кулачкового механізму, (рис. 1.10,а), якщо вважати, що ролик 3 жорстко зв’язаний зі коромислом 2, то ступінь рухомості .

а б

в Рис. 1.10. Кулачковий механізм із зайвим ступенем рухомості (а), з двома ступенями (б) і з теоретичним профілем Але, якщо вважати ролик вільно обертовим, то формальний розрахунок приведе до наступного результату, тобто ролик вносить зайвий ступінь вільності і фактично при підрахунку ступеня рухомості механізму цей обертальний рух прийматися в увагу не повинен. Цей ступінь може бути реалізованим тільки у випадках, коли його форма не буде ідеальною круглою, або вісь обертальної пари не співпадатиме з центром кола (рис. 1.10,б).

При теоретичному дослідженні механізмів з зайвими ступенями вільності робочий профіль замінюється на теоретичний (рис. 1.10,в), який співпадає з траєкторією зворотного руху ролика 3 навколо нерухомого робочого профілю (вказано штрихпунктиром на рис. 1.10,а).

1.6 Структурна класифікація плоских механізмів

Існують різні види класифікації, наприклад:

1. Структурно-конструктивна, у якій механізми поєднуються за ознаками їхнього конструктивного оформлення.

2. За функціональним призначенням механізмів, наприклад, механізми поперечно-стругальних верстатів, пресів і т.д.

3. Структурна, в основу якої покладені особливості побудови механізмів.

У теорії механізмів і машин замість конструктивних креслень використовуються умовні зображення — кінематичні схеми, незалежні від функціональних особливостей механізмів, тому структурна класифікація покладена в основу утворення механізмів. Вона вперше була розроблена і запропонована російським вченим Л. В. Ассуром у 1914 році для класифікації важільних механізмів.

За цією класифікацією найпростіший однорухомий механізм, що складається з двох ланок — стояка і рухомої ланки, названо механізмом першого класу (рис. 1.3). У таких механізмах немає ведених ланок, тому немає передачі і перетворення руху. Це механізми роторних приладів і машин (гіроскопів, електродвигунів і генераторів, турбін, насосів, вентиляторів і ін.).

Механізм першого класу застосовується як початковий механізм для створення будь-якого більш складного механізму. Кількість початкових механізмів у складі кінематичного ланцюга дорівнює кількості ступенів вільності механізму. Основний принцип утворення механізмів за Ассуром виходить з того, що ступінь рухомості кінематичного ланцюга не змінюється від приєднання або видалення від нього іншого ланцюга з нульовою рухомістю. Цей ланцюг названо структурною групою, або групою Ассуру. Умова нульової рухомості групи ланок Ассуру визначається структурною формулою П. Л. Чебишова .

З умови забезпечення нульової рухомості випливає, що число ланок, що входять у групу, повинне бути парним, тому що, інакше число пар V класу буде дробовим.

Структурні групи поділяються на класи, види і порядки. Від числа ланок, що входять у групу і розподілу кінематичних пар у її складі, залежить її клас (див. табл.1.2).

Таблиця 1.2. Склад структурних груп за класом

Найпростіша структурна група, яка складається з двох ланок і трьох кінематичних пар, відноситься до груп другого класу (рис. 1.11).

а б

в г д

Рис. 1.11. Групи Ассуру другого класу різних видів: а) першого, б) другого, в) третього, г) четвертого, д) п’ятого Ці структурні групи приєднуються до основного механізму, або до стояка, двома вільними парами, одна пара з'єднує ланки між собою у групі. У залежності від класу кінематичних пар і їх розподілу на вільні та зайняті, структурні групи другого класу розділяються на п’ять видів (рис. 1.11).

Для груп з класом вище другого клас структурної групи визначається за найвищим класом замкнутого контуру, який входить до її складу.

Клас замкнутого контуру визначається за числом кінематичних пар, які його утворюють. Наприклад, до складу груп третього класу входять ланки, що створюють три кінематичні пари з іншими ланками (рис 1.2,а, б, в, г).

У групах четвертого класу створений внутрішній замкнутий контур з чотирьох ланок (рис. 1.12,д).

Порядок структурної групи визначається за кількістю вільних кінематичних пар, котрими група приєднається до механізму.

Структурні групи третього класу строгого поділу на види не мають. Незалежно від виду кінематичних пар у групах на рис. 1.2, а, б, в, г, всі вони є структурними групами третього класу, третього порядку.

а б

д в

г Рис. 1.12. Групи Ассуру третього (а, б, в, г) та четвертого (д) класів За кількістю вільних кінематичних пар структурна група (рис. 1.12, д) є групою четвертого класу другого порядку.

Процес приєднання структурних груп до початкового механізму і стояка називається структурним синтезом механізмів. Синтез механізмів ставить метою проектування механізму попередньо обраної структури по відомих динамічних і кінематичних умовах.

Склад механізму і послідовність приєднання до початкового механізму структурних груп визначають у вигляді формули будови механізму. У формулі будови римської цифрою позначається клас початкового або початкових механізмів (якщо ступінь рухомості більш одиниці). Арабськими цифрами позначають номери класів структурних груп, яки входять до механізму. Склад початкового механізму і структурних груп вказується відповідно у дужках нижнього індексу. Наприклад, для створення шарнірного чотириланковика до механізму першого класу приєднується структурна група другого класу першого виду. Формула будови має вигляд і проілюстрована на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Структурний синтез шарнірного чотириланковика Якщо до шарнірного чотириланковика додати структурну групу другого класу другого виду, то одержимо новий механізм, вихідна ланка якого рухається зворотно-поступально (рис. 1.14). Його формула будови має вже інший вигляд, .

Рис. 1.14. Структурний синтез механізму з поступальної вихідною ланкою Кожний важільний механізм має номер класу, який дорівнює найбільшому номеру структурної групи з його складу. У кожному з двох розглянутих прикладів механізм має другий клас. Наступний рисунок дає уяву про утворення механізму третього класу (рис. 1.15) за формулою будови .

Рис. 1.15. Структурний синтез механізму третього класу Механізми III, IV і інших вищих класів застосовуються рідше механізмів II класу, у підйомних пристроях апарелів, маніпуляторах підводних апаратів, спеціальних зварювальних пристроях, ливарних печах тощо.

Необхідність у визначенні класу механізмів пояснюється перш за все тим, належність механізму до того чи іншого клас визначає методи його кінематичного і силового досліджень. Тому перед проведенням відповідних досліджень наданого механізму визначається його клас. З цією метою виконується структурний аналіз. На відміну від структурного синтезу аналіз виконується у зворотному напрямку.

Структурну класифікацію важільних механізмів можна також застосовувати при класифікації плоских механізмів із вищими кінематичними парами. З цією метою у них вищі пари попередньо замінюються відповідними ланцюгами з парами V класу.

1.7 Заміна вищих кінематичних пар механізм кінематичний динамічний Для перенесення структурної класифікації важільних механізмів (ланки яких з'єднуються тільки нижчими парами) на механізми з вищими парами вдаються до заміни вищих пар нижчими. Для спрощення кінематичного і динамічного дослідження плоских механізмів у багатьох випадках доцільно замінити механізм із вищими парами IV класу еквівалентним механізмом з нижчими парами V класу. При подібній заміні кінематичний ланцюг з нижчими парами повинен бути структурно і кінематичне еквівалентний заміненій парі IV класу.

Умовою структурної еквівалентності є те, що умовний кінематичний ланцюг, що її замінює, повинен накладати на відносний рух ланок стільки умов зв’язку, скільки накладає вища пара IV класу. Кожна кінематична пара IV класу в плоскому механізмі накладає на відносний рух ланок одну умову зв’язку. Отже, і кінематичний ланцюг, що її замінює, складається з p5 пар V класу і n рухомих ланок і повинен накладати одну умову зв’язку, тобто. Звідси випливає, що співвідношення між числом пар V класу і числом ланок у заміненому ланцюзі, буде відповідати залежності

. (1.4)

Найменше число пар, яке відповідає цій умові, дорівнює двом при n = 1, отже найпростішою заміною вищої пари є ланка з двома парами V класу.

Умовою кінематичної еквівалентності буде збереження кінематичних характеристик відносного руху ланок (рис. 1.10). Для здійснення такої заміни вищої пари варто нагадати відому з диференціальної геометрії наступну властивість контактуючих кривих: коло кривини в точці дотику кривої і сама крива еквівалентні до похідних другого порядку включно.

Виходячи з обох умов, в центрах кривини контактуючих кривих O1 і O2 слід розмістити кінематичні пари V класу, з'єднавши їх між собою фіктивною ланкою 3 (рис. 1.16,а). Механізм (рис. 1.16,б), до складу якого входить ця фіктивна ланка, є миттєвим механізмом. Він має змінні розміри ланок, яки залежать від положення ланок механізму з вищою парою.

а б

Рис. 1.16. Заміна вищих кінематичних пар

Розглянемо приклади побудови миттєвих механізмів, яки замінюють різни типи кулачкових механізмів (рис. 1.17).

а б

в Рис. 1.17. Заміна кулачкових механізмів миттєвими важільними механізмами, а — перетворення механізму з тарілчастим штовхачем на синусний механізм; б — перетворення механізму із зворотно-поступовим штовхачем на корбово-поковзневий; в — перетворення механізму з роликовим коромислом на шарнірний чотириланковик

У випадку (рис. 1.17, а), коли профіль одного з елементів вищої пари IV класу буде прямою лінією (центр кривини його буде нескінченно віддалений) фіктивна ланка, що заміняє вищу пару, повинна входити в одну обертальну С і в одну поступальну, А пари. Поковзень 3, який є фіктивною ланкою, можна сумістить із обертальною парою С (рис. 1.17,а). А якщо одна контактуючих поверхонь згорнулася до точки, А (рис. 1.17,б), тоді ця точка буде центром кривини і в неї необхідно розмістити відповідний центр обертальної пари, А (рис. 1.17,б).

1.8 Структурний аналіз плоских механізмів Структурний аналіз плоских механізмів виконується у наступній послідовності.

1. Для наданої кінематичної схеми визначається загальна кількість ланок і кількість рухомих ланок .

2. Досліджуються з'єднання між ланками і визначається кількість кінематичних пар п’ятого і четвертого класів.

3. Розраховується ступінь рухомості механізму за формулою Чебишова .

4. При наявності ланок, що створюють пасивні зв’язки або надлишкові (зайві) ступені вільності, вказати їх і вилучити зі складу механізму при структурному аналізі.

5. Вищі кінематичні пари, якщо вони є, замінюються умовними ланками з відповідними нижчими парами.

6. Підраховується дійсний ступінь вільності миттєвого механізму, який побудовано на підставі зауважень у п. 4 і 5.

7. Якщо умовами задачі не позначена початкова ланка, слід призначити її (або їх при ступені рухомості більше однієї).

8. З кінематичної схеми механізму послідовно відділяються структурні групи. Цей процес починається з вилучення зі складу механізму крайній по відношенню до початкової ланки структурної групи.

9. Після кожного відділення структурної групи перевіряється за формулою Чебишова ступінь рухомості залишкового механізму. Він не повинен змінюватись.

10. Останнім залишається початковий механізм.

11. Визначаються класи всіх структурних груп і записується формула будови механізму.

12. За складом формули будови визначається клас механізму.

Задачі 41−60. Виконати структурний аналіз для заданого важільного механізму (табл. 1.3). Початкова ланка вказана на схемі стрілкою. Довести правильність відділення груп ланок. Визначити клас, вид и порядок структурних груп. Написати формулу будови, за якою визначити клас механізму.

2. КІНЕМАТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ МЕХАНІЗМІВ

2.1 Задачі і методи кінематичного дослідження Метою кінематичного дослідження є вивчення руху ланок механізму від діючих на них сил. При цьому приймаються наступні допущення:

1) ланки абсолютно тверді,

2) зазори в кінематичних парах відсутні.

При кінематичному дослідженні визначаються:

— положення механізму в різні моменти часу;

— траєкторії окремих точок ланок;

— лінійні швидкості та прискорення точок механізму, кутові швидкості і прискорення ланок;

— передаточні відношення.

Вихідними даними для визначення перерахованих характеристик механізму є: кінематична схема і розміри всіх ланок механізму, закони руху ведучих ланок.

Дослідження виконується в тій же послідовності, як і утворення структурної схеми, тобто спочатку виконується аналіз руху ведучих ланок, потім приєднаних до них ланок і т.д. Завершується дослідження аналізом руху останніх приєднаних ланок. Звичайно досліджується повний цикл руху, протягом якого ланки механізму послідовно проходять усі положення.

При кінематичному дослідженні механізмів використовуються аналітичні, графічні, графоаналітичні й експериментальні методи. Метод дослідження вибирається в залежності від структури механізму і необхідної точності розрахунку.

Аналітичні методи дозволяють проводити дослідження кінематики механізмів з будь-яким ступенем точності, але є досить громіздкими і трудомісткими. Найчастіше розрахунки складних кінематичних схем виконують на ЕОМ. У тих випадках, коли не потрібно високий ступінь точності, перевага віддається графічним і графоаналітичним методам.

До графічних методів відноситься метод кінематичних діаграм. Він використовується для наближеної побудови графічних залежностей переміщень, швидкостей і прискорень від часу, одержуваних графічним диференціюванням чи інтегруванням відомого закону руху чи точки ланки механізму. Недоліком цього методу є низька точність результатів дослідження, особливо при графічному диференціюванні.

Серед графоаналітичних методів найбільш відомий метод миттєвих центрів і метод планів. Застосування першого з цих методів часто буває утруднене тим, що миттєві центри швидкостей і прискорень виявляються поза кресленням і тому цей метод не одержав широкого поширення. Найбільш доступним і простим методом є метод планів, широко застосовуваний при кінематичному аналізі механізмів з нижчими кінематичними парами V класу.

Експериментальними методами звичайно проводять перевірку результатів аналітичних розрахунків і зроблених допущень при створенні розрахункової схеми. У деяких випадках експериментально визначається закон руху однієї з ланок механізму (наприклад, штовхача кулачкового механізму), а всі інші кінематичні характеристики визначаються графічними чи графоаналітичними методами. Експериментальні методи найчастіше використовуються для дослідження складних кінематичних схем тоді, коли застосування інших видів дослідження утруднено через складність розрахунків чи громіздкості побудов.

2.2 Метод планів Цей метод дозволяє визначити величини і напрямки швидкостей і прискорень досліджуваних точок, а також кутові швидкості і прискорення ланок механізму. Метод заснований на відомих теоремах теоретичної механіки, згідно яким плоский рух точки твердого тіла (ланки) можна представити як складне, що складається з переносного і відносного рухів.

Для кожної двоповідкової структурної групи чи окремої ланки можна скласти два векторних рівняння, що зв’язують швидкість досліджуваної точки з відомими швидкостями двох інших точок. Потім, щоб визначити швидкість точки, ці рівняння потрібно спільно вирішувати графічно побудовою планів швидкостей. Аналогічно вирішується задача визначення прискорень точки.

Планом швидкостей (прискорень) механізму називається фігура, утворена векторами швидкостей (прискорень) точок ланок при заданому положенні механізму.

При побудові планів варто пам’ятати, що ланка в складі структурної групи може робити наступні види плоского руху:

а) поступальний рух твердого тіла, характеризується тим, що будь-яка пряма, проведена в ланці, залишається при русі рівнобіжної самої собі (рис. II, а). У результаті всі її точки описують однакові траєкторії, тобто переміщаються зі швидкостями і прискореннями, рівними між собою в будь-який момент і однаково спрямованими. Прикладом ланки, яка здійснює поступальний рух, може служити поршень;

б) обертальний рух твердого тіла (наприклад, кривошипа) характеризує тіла описує дугу окружності з центром, що збігається з віссю обертання (рис. II, б). Отже, обертальний рух тіла навколо нерухомої вісі цілком визначається рухом однієї довільної його точки. Окружна швидкість будь-якої точки пропорційна відстані до вісі обертання і її вектор спрямований перпендикулярно радіусу обертання;

Абсолютна швидкість будь-якої точки ланки дорівнює геометричній сумі поступальної швидкості разом з довільно обраним полюсом і обертальною швидкістю цієї точки навколо полюса (рис.12):

де перпендикулярна AB; щ — кутова швидкість.

Рис 12.

2.2.1 Побудова планів положень механізмів У більшості випадків у важільних механізмах обертальний рух інших ланок чи навпаки. Наприклад, зворотно-поступальний рух поршнів двигуна внутрішнього згоряння, що переміщаються під дією газів у циліндрах, перетвориться в обертальний рух колінчастого вала. У той же час рух колінчастого вала поршневого компресора, що обертається електродвигуном, може перетворитися в поступальний рух поршнів, що нагнітають повітря в циліндрах компресора. В обох випадках кінематичні схеми механізмів можуть мати однакову структуру незалежно від призначення. При цьому ланка, що робить обертальний рух, має практично постійну кутову швидкість і може повертатися на повний оборот, тобто є кривошипом. Такий закон руху кривошипа характерний для багатьох важільних механізмів з обертовою ведучою ланкою незалежно від їхнього призначення. Тому як ведучу ланку зручно в цих випадках вважати кривошип. Ведучою ланкою називають ланку, закон руху якої вважається відомим при кінематичному дослідження механізму. Узагалі ж ведучою є така ланка, якої повідомляється рух, який перетворюється в необхідні рухи відомих ланок.

Кінематичне дослідження механізму доцільно починати з побудови плану механізму. Він являє собою зображення ряду послідовних положень механізму, що відповідають повному циклу руху. План механізму малюється в масштабі, який характеризується масштабним коефіцієнтом, який надалі будемо називати масштабом.

Масштабом довжин називається відношення дійсних величин відстаней між точками ланок механізму, виражених у метрах, до величин їхніх зображень на кресленні, де l — дійсний розмір, м; - масштабний розмір, мм.

Між масштабами, яки використовуються в машинобудівному кресленні, і масштабами довжин, прийнятими для зображення планів механізмів, існують наступні співвідношення, що представлені в табличній формі (табл. 1.2).

Таблиця 1.2.

Послідовність побудови плану механізму така. Спочатку наносять положення нерухомої ланки чи окремих її точок у масштабі (для кулісного механізму поперечно-стругального верстата, показаного на рис. 13, на схему наносять точки О1 і О2), потім на цій схемі зображують положення ведучої ланки і тільки після цього знаходять положення груп Ассура (у порядку їхнього приєднання). Для розглянутого механізму повинні бути задані чи визначені розрахунком розміри і кут повороту кривошипа. За початок відліку положень механізму можна прийняти будь-як положення кривошипа, але зручніше брати такі положення механізму і кривошипа, що відповідають одному з крайніх положень відомої ланки (у розглянутому прикладі - крайніми положеннями точки С). Звичайно при кінематичному аналізі розділяють кут робочого ходу (тобто кут, що відповідає положенням механізму, у яких відома ланка 5 робить корисну роботу) на кілька рівних частин, і окремо кут холостого ходу () — теж на деяке число рівних частин. У розглянутому прикладі ці кути розділені на шість частин. Положення всіх інших точок визначається за допомогою зарубок циркулем. Іноді потрібно досліджувати режими роботи механізмів при нерівномірному русі ведучої ланки чи механізмів, що не мають у своєму складі обертової ведучої ланки — кривошипа. До такої групи механізмів відносяться механізми люкових закриттів, гідравлічні приводи кермових пристроїв, різні спускно-піднімальні пристрої і т.д. Як приклад на мал.14 зображений механізм спускно-підйомного пристрою, у якому ведучою ланкою є повзун I (поршень 1 гідроциліндра 2 на конструктивній схемі рис. 14,а).

Рис.13

а б Рис.14

У подібних випадках доцільно траєкторію точки, А ведучої ланки механізму (у нашому прикладі А0Ак) розділити на частині, що відповідають рівним проміжкам часу. Для всіх цих положень ведучої ланки будуються відповідні плани механізмів.

Подальше кінематичне дослідження в будь-якому випадку послідовно ведеться для всіх положень механізму з урахуванням конкретного закону руху ведучої ланки.

2.2.2 Побудова планів швидкостей і пришвидшень Швидкості окремих точок механізмів з ведучою ланкою — кривошипом знаходять у тій же послідовності, у якій утворений механізм по Ассуру. Як приклад побудуємо плани швидкостей і пришвидшень для чотириланкового кривошипно-коромислового механізму, кінематична схема якого в масштабі представлена на рис. 15,а. Вважаємо, що кривошип обертається рівномірно 1 = const.

а — план механізму б — план швидкостей в — план пришвидшень Рис.15

Спочатку необхідно визначити величину лінійної швидкості пальця кривошипа

Швидкість перпендикулярна кривошипу O1A і спрямована у бік його обертання. Побудова плану швидкостей починаємо з полюса p, від якого відкладаємо масштабне значення швидкості точки А. Масштаб плану швидкостей дорівнює

При виборі масштабу швидкостей величину відрізка pа вибираємо не менш 50 мм. Чим більше величина, тим точніше результати побудов.

Відклавши на плані швидкостей відрізок pa, що відповідає в масштабі швидкості, перейдемо до визначення швидкості точки В, що належить ланкам 2 і 3. На підставі відомої з курсу теоретичної механіки теореми про плоско паралельний рух можна представити рух точки В шатуна 2, що складається з двох рухів — поступального разом із точкою, А зі швидкістю й обертального навколо точки B тобто

Точка В належить шатунові і коромислу 3, що качається навколо нерухомого центра О2, траєкторія точки В — окружність радіуса 02В; VB02B. Швидкість VBAАВ, тому що пряма АВ в абсолютно твердій ланці 2 не деформується й обертальна швидкість VBA точки В повинна бути перпендикулярна радіусу обертання АВ.

Як у рівнянні (2.1), так і в наступних векторних рівняннях підкреслення вектора однією рискою буде означати, що відомо тільки лінію дії, двома — модуль вектора і лінія дії.

Отримане векторне рівняння можна вирішити графічно. Для цього на плані швидкостей із точки, а проводимо промінь, перпендикулярний прямої АВ на плані механізму до перетинання в точці В з лінією дії швидкості VB, проведеної з полюса p (під прямим кутом до прямої ВО2). На плані швидкостей відрізок pb зображує швидкість точки В:, a відрізок ab — обертальну швидкість VBA, .