Диференціальне та інтегральне числення в системі DERIVE (реферат)

Реферат на тему:

Диференціальне та інтегральне числення в системі DERIVE

Система DERIVE спроможна обчислювати в аналітичній формі та наближено: границі, похідні, розклади Тейлора, інтеграли, суми, добутки. Для демонстрації вказаних можливостей завантажте файл CALCULUS. MTH, використовуючи команду Transfer Demo (або Transfer Load).

Границі

Для знаходження границі виразу, введеного раніше, виконайте команду Calculus Limit і дайте відповідь, по якій змінній обчислюється границя і куди прямує змінна.

Другий спосіб обчислення границі виразу u при x, що прямує до a, полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз LIM (u, x, a, 1) або LIM (u, x, a, У першому випадку x прямує до a справа, в другому ліва. Можна також вводити inf, якщо x прямує до +yen, іinf, якщо x прямує доyen. Наприклад, після введення виразу.

LIM (a*x/(x+1), x, inf).

у вікні Algebra воно запишеться у вигляді.

і після виконання команди Simplify дасть константу a.

Диференціювання

Для знаходження похідної виразу, введеного раніше, виконайте команду CalculusDiffrentiate і дайте відповідь, який вираз диференціюється, по якій змінній обчислюється похідна і якого вона порядку.

Другий спосіб обчислення похідної порядку n виразу u по змінній x полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз DIF (u, x, n) (якщо обчислюється похідна першого порядку, то можна обмежитись виразом DIF (u, x)).

Щоб знайти змішані частинні похідні, необхідно застосувати оператор DIF відповідним чином. Наприклад, використовуючи команду Author, введемо вираз.

DIF (DIF ((ax + by)^3,x), y) .

На екрані одержимо його у вигляді.

.

Після виконання команди Simplify будемо мати остаточно.

6 a b (a x + b y) .

Розклад за формулою Тейлора

Для знаходження розкладу виразу, введеного раніше, за формулою Тейлора виконайте команду Calculus Taylor і дайте відповідь, який вираз розкладається, по якій змінній виконується розкладання, в околі якої точки і до якого порядку включно.

Другий спосіб знаходження потрібного розкладу полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз TAYLOR (u, x, a, n). Після спрощення ви одержите потрібний результат.

Наприклад, спрощення виразу.

TAYLOR (ex, x,0,5).

дає.

.

Інтегрування

DERIVE може обчислювати як визначені, так и невизначені інтеграли (первісні)!

Для знаходження інтеграла від виразу, введеного раніше, виконайте команду CalculusIntegrate і дайте відповідь, який вираз інтегрується, по якій змінній обчислюється інтеграл і в яких границях. Ви можете задавати скінченні та нескінченні границі (inf) інтегрування. Якщо на запит про границі інтегрування ви натиснете клавішу Enter, буде введений невизначений інтеграл. Після введення інтеграла він відображається у вікні Algebra у природній формі, наприклад,.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}\text{sin}(x+c)\text{dx}$$ .

Заданий інтеграл обчислюється командами Simplify або approX.

Другий спосіб обчислення інтеграла полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз INT (u, x) для невизначеного і INT (u, x, a, b) для визначеного інтегралів, де u ідінтегральний вираз, x мінна інтегрування, a та b раниці інтегрування.

Для обчислення повторних інтегралів застосуйте послідовно оператор інтегрування до відповідних виразів, наприклад, INT (INT (xLN (y), y, x, 2x), x,0,2).

Зауважимо, що при обчисленні первісних DERIVE не додає до відповіді довільну константу C.

При наближених обчисленнях визначених інтегралів використовується адаптивний метод Сімпсона. DERIVE контролює точність обчислень і при поганій точності видає повідомлення:

Dubious accuracy (сумнівна точність) .

Підсумовування

Сума f (i) по i, що змінюється від m до n, записується у вигляді.

.

Якщо n=mто вказана сума дорівнює 0. Якщо n<mто ця сума визначається як.

.

Якщо f і F ункції такі, що для всіх n виконується.

f (n) = F (n+1)) ,.

то F (n) називається антирізницею.

Має місце співвідношення:

.

Для підсумовування виразу, введеного раніше, виконайте команду CalculusSum і дайте відповідь, який вираз підсумовується, по якій змінній обчислюється сума і в яких границях. Ви можете задавати скінченні та нескінченні границі (inf) підсумовування. Якщо на запит про границі підсумовування ви натиснете клавішу Enter, буде введена антирізниця. Після введення суми вона відображається у вікні Algebra у природній формі, наприклад,.

.

Задана сума обчислюється командами Simplify або approX.

Другий спосіб обчислення суми полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз SUM (u, i) для антирізниці та SUM (u, i, m, n) для визначеної суми, де u ираз, що стоїть під знаком суми, i мінна підсумовування, m та n раниці підсумовування.

Добутки

Добуток f (i) по i, що змінюється від m до n, записується у вигляді.

.

Якщо n=mто вказаний добуток дорівнює 1. Якщо n<mто цей добуток визначається як.

.

Якщо f і F ункції такі, що для всіх n виконується.

.

то F (n) називається античасткою.

Має місце співвідношення:

.

Для обчислення добутку виразу, введеного раніше, виконайте команду Calculus Product і дайте відповідь, для якого виразу обчислюється добуток, по якій змінній і в яких границях. Ви можете задавати скінченні та нескінченні границі (inf) добутку. Якщо на запит про границі добутку ви натиснете клавішу Enter, буде введена античастка. Після введення добутку воно відображається у вікні Algebra у природній формі, наприклад,.

.

Заданий добуток обчислюється командами Simplify або approX.

Другий спосіб обчислення добутку полягає в наступному. Виконайте команду Author і введіть вираз PRODUCT (u, i) для античастки та PRODUCT (u, i, m, n) для визначеного добутку, де u ираз, що стоїть під знаком добутку, i мінна добутку, m та n раниці добутку.