Геометрична прогресія та гармонічний ряд (реферат)

Реферат з математики Геометрична прогресія та гармонічний ряд.

1. Одним з найпростіших прикладів рядів є геометрична прогресія.

Ряд вигляду.

$$a+\text{aq}+{\text{aq}}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{aq}}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}(a/=0)$$ (1).

називається геометричною прогресією, число q при цьому є знаменником прогресії.

Покажемо, що геометрична прогресія (1) збігається тоді і тільки тоді, коли її знаменник за модулем менше від одиниці:

$$|q|<1$$. (2).

нехай Sn — п-а часткова сума ряду (1). Тоді.

$$\begin{array}{c}{S}_n=a+\text{aq}+{\text{aq}}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{aq}}^{n-1}-\\ {\text{qS}}_n=\text{aq}+{\text{aq}}^2+{\text{aq}}^3+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{aq}}^n\text{.}\end{array}$$.

Звідси.

$$(1-q)S_n=a(1-q_n)\text{.}$$ (3).

якщо $$|q|<1$$, то із (3) знаходимо.

$$S_n=\frac{a}{1-q}-\frac{{\text{aq}}^n}{1-q}$$.

й, отже,.

$$S=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=\frac{1}{1-q}$$ (4).

(якщо $$|q|<1$$, то $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{q}^n=0$$ — чому це так?).

Якщо $$|q|>1$$, то із (3) маємо.

$$S_n=\frac{a}{1-q}-\frac{{\text{aq}}^n}{1-q}->\mathrm{}$$.

при $$n->\mathrm{}$$. Якщо q=1, то.

$$S_n=\underset{\begin{array}{cc}п& \text{доданків}\end{array}}{\underset{}{a+a+a+\text{.}\text{.}\text{.}+a}}=\text{na}->\mathrm{}$$, при $$n->\mathrm{}$$ .

Якщо q= - 1, то.

$$S_n=a-a+a-a+\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^{n-1}a=\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}a,& \text{якщо}& п-\text{непарне}\end{array}-\\ \begin{array}{ccc}\mathrm{0,}& \text{якщо}& п-\text{парне}\begin{array}{cc}& \text{число}-\end{array}\end{array}\end{array}$$.

Отже, послідовність Sn розбіжна.

Таким чином, в усіх трьох останніх випадках геометрична прогресія розбіжна.

2. Важливим у теорії рядів є гармонічний ряд, так називають ряд.

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Покажемо, що гармонічний ряд розбіжний.

Для будь-якого натурального числа $$n(n>=2)$$ існує натуральне число $$k=k(n)$$ таке, що $$2^k<=n<=2^{k+1}$$ і $$k->+\mathrm{}$$ при $$n->\mathrm{}$$. Нехай Sn — n-а часткова сума ряду. Тоді.

Якщо $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=\mathrm{}(+\mathrm{},-\mathrm{})$$, то іноді кажуть, що розбіжний ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$ має нескінчену суму і записують $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n=\mathrm{}(+\mathrm{},-\mathrm{})\text{.}$$ Таким чином, ряд $$a+a+a+\text{.}\text{.}\text{.}+a+\text{.}\text{.}\text{.}$$ має нескінчену суму, що дорівнює $$+\mathrm{}$$, якщо a>0, або $$-\mathrm{}$$, якщо a<0.

$$\begin{array}{c}{S}_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{8}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(\frac{1}{2^{k-1}+2}+\frac{1}{2^{k-1}+2}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{2^k}\right)+\\ +\left(\frac{1}{2^k+1}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n}\right)>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{8}\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+\left(\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{2^k}\right)=1+\underset{k}{\underset{}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{2}}}=1+\frac{k}{2}\end{array}$$ Оскільки $$k->+\mathrm{}$$ при $$n->\mathrm{}$$, з доведеної нерівності $$S_n>1+\frac{k}{2}$$ випливає $$S_n->+\mathrm{}$$ при $$n->\mathrm{}$$, тобто гармонічний ряд розбіжний.