Синтез оптимального за швидкодією алгоритму керування об «єктом за допомогою методу стикування розв» язків на основі теореми про n–інтервалів

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Житомирський державний технологічний університет Розрахунково-графічна робота з дисципліни: «Оптимальні і адаптивні системи автоматичного керування»

на тему: «Синтез оптимального за швидкодією алгоритму керування об'єктом за допомогою методу стикування розв’язків на основі теореми про n-інтервалів»

Виконав:

Бологан Д.В.

Перевірив:

Коваль А.В.

Житомир, 2012р

Зміст

1. Завдання на розрахунково-графічну роботу

2. Теоретичні відомості

3. Виконання практичного завдання: «Синтез оптимального за швидкодією алгоритму керування об'єктом за допомогою методу стикування розв’язків на основі теореми про n-інтервалів»

4. Моделювання Висновки по виконаній роботі

1. Завдання на розрахунково-графічну роботу Згідно варіанту № 6.3 тема: «Синтез оптимального за швидкодією алгоритму керування об'єктом за допомогою методу стикування розв’язків на основі теореми про n-інтервалів»

Данні, приведені в таблиці № 1.

Таблиця № 1

Описати метод стикування розв’язків на основі теореми по n-інтервалів Дано об'єкт керування:

Обгрунтувати можливість застосування теореми про n-інтервалів.

Використовуючи метод стикування розв’язків, визначити оптимальний алгоритм переводу його з початкового стану, який визначається координатами в кінцевий заданий стан:

при обмеженні на керування:

2.4 Привести відповідні графіки, що пояснюють розрахунки, і побудувати структурну схему системи.

Охарактеризувати переваги і недоліки отриманої системи. Привести ваші рекомендації по її покращенню.

2. Виконання практичного завдання: «Синтез оптимального за швидкодією алгоритму керування об'єктом за допомогою методу стикування розв’язків на основі теореми про n-інтервалів»

Системи автоматичного керування, які забезпечують перевод об'єкта керування з початкового стану в заданий за найменший термін часу при врахуванні всіх обмежень, що накладаються на керуючі дії та координати стану називаються оптимальними за швидкодією. Такі системи називаються також оптимальними за критерієм

(1)

Для синтезу таких алгоритмів керування можна застосувати метод динамічного програмування (рівняння Р. Белмана), принцип максимуму та інші методи. Аналізуючи одержані за допомогою цих методів алгоритми керування, оптимальні за критерієм (1), при обмеженні на керування и (t) типу

(2)

приходимо до висновку, що вони мають релейний характер (рис. 1а).

Рис. 1.

Кожну точку розриву (t₁, t₂, t₃…) оптимального керування називають точкою переключення. Число таких переключень залежить від початкового і кінцевого стану об'єкта керування ОК (рис. 1б), від характеристики самого об'єкта керування і може бути дуже великим.

Проте, існує окремий випадок, що являє собою зміст теореми про n-інтервалів, коли число таких переключень чітко визначене: для об'єкта керування, що описується передаточною функцією

(3)

При наявності обмеження на керування (2) всі корені характеристичного рівняння якого будуть дійсними лівими (серед них можуть бути і нульові), число переключень буде не більше ніж n-1 (не більше ніж п інтервалів постійності керування), де п — порядок об'єкта.

Розглянемо об'єкт другого порядку

(4)

Характеристичне рівняння якого має два лівих корені

(5)

Для цього об'єкта необхідно синтезувати оптимальний по швидкодії алгоритм для переводу його з початкового стану х (t₀) в кінцевий х (t_к) при обмеженні на керування (2)

Беручи до уваги корені (5), алгоритм керування згідно теореми про n-інтервалів, буде мати два інтервали і одну зміну знака. Взагалі то, перший інтервал керування визначається початковими і кінцевими умовами об'єкта керування. Нехай вони будуть такими, що керування на першому інтервалі буде додатнім, тобто процес переводу ОК з початкового стану х (t₀) в кінцевий х (t_к) буде мати вигляд, зображений на рис. 2.

Рис. 2.

Для визначення невідомих моментів переключення t_о і t_К застосовуємо метод стикування розв’язків у точках переключення. Час переходу об'єкта з початкового стану в кінцевий, а також значення моментів переключення керувань залежать від багатьох факторів. Чим більше відстань кінцевого стану об'єкта від початкового, тим більше потрібно часу на її подолання.

Чим більше значення U_max, тим скоріше буде протікати перехідний процес. Теорема про n-інтервалів визначає кількість інтервалів керування (для певних умов), але не визначає знак першого інтервалу.

Згідно вихідних даних маю об'єкт:

Потрібно визначити оптимальний алгоритм переводу його з початкового стану, який визначається координатами в кінцевий заданий стан:

при обмеженні на керування:

Характеристичне рівняння об'єкта:

Для визначення невідомих моментів переключення і застосовуємо метод стикування розв’язків у точках переключення. Для цього у відповідності до об'єкта запишемо диференційне рівняння об'єкта керування:

(6)

Повний розв’язок цього рівняння складається з вільної та вимушеної частини:

(7)

Вимушена складова розв’язку визначається вхідним сигналом на об'єкт, який за умовою (2) являється постійною величиною, тому будемо шукати її у вигляді поліному

(8)

Підставимо розв’язок (8) в рівняння (6)

Із одержаної тотожності

(9)

Звідки .

(10)

Отже, загальний розв’язок буде мати вигляд:

(11)

Приступимо до визначення моментів переключення і. Для цього визначимо розв’язок (11) на першому інтервалі керування.

Для моменту :

(12)

Візьмемо похідну

(13)

При

(14)

Запишемо систему в матричній формі

Визначники якої

Тоді

(15)

(16)

Виконаємо операцію стикування розв’язків, для чого запишемо розв’язок рівняння (11) для моменту, тобто на межі двох інтервалів керування.

Для де

(17)

Для де

(18)

Значення на невідоме, щоб позбавитись його, віднімемо від (17) рівняння (18)

(19)

Візьмемо похідну

(20)

Систему рівнянь (19) і (20) запишемо в матричній формі

(21)

Визначники якої

Отже

(22)

(23)

Визначимо розв’язок (11) для моменту, який є кінцевим моментом і визначає тривалість процесу керування Візьмемо похідну

Для визначення з цих рівнянь і запишемо їх в матричній формі

Основні визначення приведеної вище системи мають вид

Які дають змогу віднайти постійні і с:

(24)

(25)

В результаті застосованої методики стикування розв’язків, одержали систему із шести рівнянь, де ;

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

Для визначення моментів і. Крім того в рівняння входять ще чотири невідомі постійних інтегрування Співвідношення невідомих та кількість рівнянь дають можливість розв’язати задачу, але вона ускладнюється тим, що рівняння відносно і трансцендентні.

Визначення і виконаємо графоаналітичним способом.

Складемо різницю рівнянь (26) і (30) і прирівняємо її до рівняння (28), тобто розкриємо рівність :

.

Після перетворень одержимо першу залежність :

Аналогічно поступимо з рівняннями (27), (31) і (29), тобто розкриваємо рівність :

Звідки після перетворень одержимо другу залежність :

Так як маємо всі дані записуємо залежності:

Маючи дві залежності будую її в програмному продукті MatLab:

Рис. 3. Графік залежності

Рис. 3.1.Структурна схема Точка перетину цих функцій буде визначати бажані моменти часу.

i

3. Моделювання автоматичний керування теорема програмування Моделювання задачі синтезу та аналізу на ПЕОМ оптимальної за швидкодією САК:

Рис. 4.1.Введення початкових даних.

Рис. 4.2. Визначення моментів переключення.

Рис. 4.3. Графіки перехідного процесу.

Висновок Задача пошуку оптимального керування може бути розв’язана лише в тому випадку якщо відомо час переводу об'єкту.

Коли керування необмежено задача немає змісту, а тому тільки при обмеженому керуванні задача має зміст.

Кількість інтервалів переключення в загальному вигляді визначити неможливо. Вона залежить від структури об'єкта.