Ортогональність власних хвиль у хвильоводі

Реферат на тему:

Ортогональність власних хвиль у хвильоводі.

Запишемо лему Лоренца для цього випадку. ($$$$ — стала розповсюдження.).

У вигляді хвилі візьмемо властивість хвилі у хвильоводі: $$E_1,H_1->E_{H_{\text{10}}},H_{H_{\text{10}}}$$ — $$E_{H_{\text{20}}},H_{H_{\text{20}}}->H_s,E_s$$ — позначення.

$$S=\left\{H_{\text{01}},H_{\text{02}},\text{.}\text{.}\text{.},H_{\text{11}},\text{.}\text{.}\text{.},E_{\text{11}},E_{\text{12}},\text{.}\text{.}\text{.},E_{\text{nn}}\right\}$$.

$$=\underset{S_1}{}+\underset{S_2}{}+\underset{S_0}{}=\underset{S_1}{}+\underset{S_2}{}=\underset{S_1}{}\left\{\left[{\stackrel{}{E}}_S\stackrel{}{H_{S^{\text{'}}}}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\stackrel{}{H_S}\right]\right\}\stackrel{}{n}d\stackrel{}{S}+\underset{S_2}{}\left\{\left[{\stackrel{}{E}}_S\stackrel{}{H_{S^{\text{'}}}}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\stackrel{}{H_S}\right]\right\}\stackrel{}{n}d\stackrel{}{S}=0$$.

бо розглядаємо власні хвилі і зовнішніх струмів немає. Таким чином:

$$-\underset{S_1}{}\left\{\left[{\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{H}}_S\right]\right\}\stackrel{}{}d\stackrel{}{S}+\underset{S_2}{}\left\{\left[{\stackrel{}{E}}_S\stackrel{}{H_{S^{\text{'}}}}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\stackrel{}{H_S}\right]\right\}\stackrel{}{n}d\stackrel{}{S}=0=>\underset{S_1}{}=\underset{S_2}{}$$ .

Незалежно від поверхні $$\underset{S_{}}{}\left\{\left[\underset{\text{~}{e}^{-{\mathit{i}}_{s}z}}{\underset{}{{\stackrel{}{E}}_S}}\underset{\text{~}{e}^{-{\mathit{i}}_{s^{\text{'}}}z}}{\underset{}{{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}}}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}\stackrel{}{H_S}\right]\right\}\stackrel{}{}\underset{\text{dxdy}}{\underset{}{\text{dS}}}=\underset{\frac{4}{c}{N}_S{}_{S-S^{\text{'}}}}{\underset{}{\text{Const}}}$$ .

Для того, щоб це була константа, необхідно $${}_S+{}_{S^{\text{'}}}=0=>{}_S=-{}_{S^{\text{'}}}=>S^{\text{'}}=S$$. Сталість не буде залежати від $$z$$, коли хвиля йде $$->$$, і також хвиля йде $$<-$$ — для всіх інших хвиль =0.

$$\underset{0}{\overset{2}{}}\text{Cosm}\text{Cosn}\mathit{}=\{\begin{array}{c}\mathrm{0,}m/=n\\ N,m=n\end{array}\left(\begin{array}{c}\text{або}{e}^{\mathit{i}}{e}^{-\mathit{i}}=\text{Const}\\ \text{.}\text{.}\text{.}\end{array}\right)$$.

$$\underset{S_1}{}\left\{\left[{\stackrel{}{E}}_S{\stackrel{}{H}}_{S^{\text{'}}}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{S^{\text{'}}}{\stackrel{}{H}}_S\right]\right\}{\stackrel{}{}}_0\text{dS}=\frac{4}{c}{N}_S{}_{S-S^{\text{'}}}$$ .

Підрахуємо норму хвилі (співвідношення ортогональне) для хвилі $$S=H_{\text{10}}->z-S^{\text{'}}=H_{\text{10}}<-z$$ .

$$H_x^{H_{\text{10}}}=\pm i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_{\text{хв}}}\text{Sin}\frac{}{a}x{e}^{\mathit{i}}$$, $$E_y^{H_{\text{10}}}=i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_0}\text{Sin}\frac{}{a}x{e}^{-\mathit{i}}$$ .

$$\begin{array}{c}-\underset{S_1}{}\left\{\left[i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_0}\text{Sin}\frac{}{a}x{e}^{-\mathit{i}}\left(-i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_{\text{хв}}}\text{Sin}\frac{}{a}x{e}^{\mathit{i}}\right)\right]-\left[i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_{\text{хв}}}\text{Sin}\frac{}{a}x{e}^{\mathit{i}}\left(i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_0}\text{Sin}\frac{}{a}x{e}^{-\mathit{i}}\right)\right]\right\}\text{dxdy}=\\ =-2\underset{0}{\overset{a}{}}\underset{0}{\overset{b}{}}\frac{{\left({}_{\text{кр}}\right)}^2}{{}_{\text{хв}}{}_0}{\text{Sin}}^2\frac{\mathit{}}{a}\text{dxdy}=-2b\frac{{\left({}_{\text{кр}}\right)}^2}{{}_{\text{хв}}{}_0}\underset{0}{\overset{a}{}}{\text{Sin}}^2\frac{\mathit{}}{a}\text{dx}=-\text{ab}\frac{{\left({}_{\text{кр}}\right)}^2}{{}_{\text{хв}}{}_0}\end{array}$$ — це $$N_S$$. Доведемо ортонормованість. Уявимо, що є деякий хвильовід і струми (див. Мал.).

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{E}=C_S{\stackrel{}{E}}_S\\ \stackrel{}{H}=C_S{\stackrel{}{H}}_S\end{array}|\begin{array}{c}\stackrel{}{E}=C_{-S}{\stackrel{}{E}}_{-S}\\ \stackrel{}{H}=C_{-S}{\stackrel{}{H}}_{-S}\end{array}$$. Звернемося до леми Лоренца. Будемо вважати, що: $$\left\{{\stackrel{}{E}}_1,{\stackrel{}{H}}_1\right\}->\left\{\stackrel{}{E},\stackrel{}{H}\right\}$$, $$\left\{{\stackrel{}{E}}_2,{\stackrel{}{H}}_2\right\}->\left\{{\stackrel{}{E}}_{-S},{\stackrel{}{H}}_{-S}\right\}$$ — зворотна власна хвиля.

$$\underset{S_1+S_2+S_0}{}=\underset{S_1}{}+\underset{S_2}{}$$.

$$\begin{array}{c}\underset{S_1}{}=\underset{S_1}{}\left\{\left[\stackrel{}{E}{\stackrel{}{H}}_{-S}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{-S}\stackrel{}{H}\right]\right\}d\stackrel{}{S}=\underset{S_1}{}\left\{\left[\underset{S^{\text{'}}}{}\left(C_{-S^{\text{'}}},{\stackrel{}{E}}_{-S^{\text{'}}}\right)\stackrel{}{H_{-S}}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{-S}\underset{S^{\text{'}}}{}\left(C_{-S^{\text{'}}},{\stackrel{}{H}}_{-S^{\text{'}}}\right)\right]\right\}d\stackrel{}{S}=\\ =\underset{S_1}{}\left\{\left[\underset{S^{\text{'}}}{}\left(C_{-S^{\text{'}}},E_{-S^{\text{'}}}\right)H_{-S}\right]-\left[E_{-S}\underset{S^{\text{'}}}{}\left(C_{-S^{\text{'}}},H_{-S^{\text{'}}}\right)\right]\right\}\text{dS}=0\end{array}$$.

$$\underset{S_2}{}\left\{\left[\underset{k}{}\left(C_k,{\stackrel{}{E}}_k\right){\stackrel{}{H}}_{-S}\right]-\left[{\stackrel{}{E}}_{-S}\underset{S^{\text{'}}}{}\left(C_k,{\stackrel{}{H}}_k\right)\right]\right\}\text{dS}=C_S\frac{4}{c}{N}_S$$.

$$C_S\frac{4}{c}{N}_S=-\frac{4}{c}{j}_i{E}_2\text{dV}$$.

$$C_S=f\left(j\right)$$ — формула для визначення коефіцієнтів через струми.

Нехай, наприклад, у прямокутному хвильоводі через отвір у точці $$\left(x_1\mathrm{,\; 0},z_1\right)$$ введений стержень, по якому від генератора Г йде струм $$J_0$$. Необхідно розрахувати амплітуду хвилі $$H_{\text{10}}$$. $$C_{H_{\text{10}}}=\frac{1}{N_{H_{\text{10}}}}\stackrel{}{j}{\stackrel{}{E}}_{H_{\text{10}}}\text{dV}$$, де $$j=J_0\left(x-x_1\right)\left(z-z_1\right)$$, $$E_{H_{\text{10}}}=i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_0}\text{Sin}\frac{\mathit{}}{a}{e}^{-\mathit{i}}$$. Отже: $$C_{H_{\text{10}}}=-\frac{{}_{\text{хв}}{}_0}{\text{ab}{}^{2_{\text{кр}}}}{J}_0\left(x-x_1\right)\left(z-z_1\right)i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_0}\text{Sin}\frac{\mathit{}}{a}{e}^{-\mathit{i}}\text{dxdydz}=-\frac{{}_{\text{хв}}}{\text{ab}{}_{\text{кр}}}{J}_0\text{Sin}\frac{{\mathit{}}_1}{a}{e}^{-{\mathit{i}}_1}h$$ $$E_{y_{H_{\text{10}}}}=\left(-\frac{{\mathit{i}}_{\text{хв}}}{\text{ab}{}_{\text{кр}}}{J}_0\text{Sin}\frac{{\mathit{}}_1}{a}{e}^{-{\mathit{i}}_1}h\right)i\frac{{}_{\text{кр}}}{{}_0}\text{Sin}\frac{\mathit{}}{a}{e}^{-{\mathit{i}}_1}$$, бачимо, що амплітуда хвиль максимальна, якщо $$x_1=\frac{a}{2}$$, і дорівнює нулю, коли стержень коло стінки: $$x_1=0$$ .