Аналіз математичної моделі системи автоматичного керування

• Вступ
• 1. Поняття про систему автоматичного керування
• 2. Математичний опис лінійних неперервних САК
• 2.1 Інерційні й не інерційні САК
• 2.2 Часові характеристики САК
• 2.3 Частотні характеристики
• 3. Елементарні ланки та їх характеристики
• 4. Перетворення схеми математичної моделі сак до стандартного вигляду
• 5. Складання основних рівнянь системи
• 6. Побудова логарифмічних частотних характеристик розімкненої системи
• 7. Опис моделі
• 8. Параметри якості системи САК
• Висновок
• Список літератури

Вступ

Керування — це процес надання на об'єкт спеціально організованих дій ззовні, спрямованих на одержання необхідного результату, його функціонування незалежно від властивостей об'єкта та дій зовнішнього середовища.

В даній курсовій роботі будемо використовувати автоматичне керування — взаємодія між собою об'єкта керування та спеціальний технічний засіб.

Метою даної курсової роботи є побудова моделі, дослідження стійкості та якості перехідних процесів автоматичної системи управління.

Завданням курсової роботи є:

аналіз математичної моделі САК

складання основних рівнянь системи

побудова ЛАЧХ, ЛФЧХ

аналіз стійкості системи

1. Поняття про систему автоматичного керування

Автоматимчна системма керувамння — це сукупність керованого об'єкта й автоматичних вимірювальних та керуючих пристроїв.

На відміну від автоматизованої системи керування, ця система самодіюча і реалізує встановлені функції процеси автоматично, без участі людини (крім етапів пуску та налагодження системи). На практиці часто послуговуються терміном-аналогом система автоматичного керування (САК).

Класифікація САК за видами дій.

За характером зміни у часі дії поділяються на безперервні і перервні.

Дія називається безперервною, якщо вона існує протягом всього часу інтервалу керувань. САК, в яких всі дії є безперервніми називається системою безперервної дії (рис.1).

Дія називається перервною, якщо вона існує протягом деяких інтервалів часу, розділених паузами. Перервні дії можуть бути імпульсними (рис.2), дискретними (рис.3) та цифровими.

Рис. 1 — безперервна дія

Рис. 2 — імпульсна дія

Рис. 3 — дискретна дія

система автоматичного керування математичний

2. Математичний опис лінійних неперервних САК

Математичною моделлю САК називається — сукупність співвідношень і правил, які зв’язують між собою функції, що описують вхідні і вихідні діяння системи. Всі фізично реалізовані системи є динамічними, тобто реакція системи поступає на вхід. Математична модель САК задається або рівнянням вхід — вихід, або оператором вхід — вихід.

Рівняння вхід — вихід — це співвідношення, що зв’язує між собою вхідні і вихідні діяння системи.

Оператор вхід — вихід — послідовність дій, які необхідно виконати над вхідними діяннями, щоб отримати вихідне.

2.1 Інерційні й не інерційні САК

Система називається не інерційною, якщо поточне значення її реакції визначається лише поточним значенням вхідного діяння.

Система називається інерційною, якщо поточне значення її реакції залежить не лише від поточного значення, а й від процесів, що відбуваються до поточного моменту часу. Реальні САК є інерційними.

Система називається стаціонарною, якщо її реакція не залежить від моменту прикладання вхідного діяння, а визначається лише видом діяння та початковим станом системи.

Система називається не стаціонарною, якщо її реакція системи залежить від вхідного діяння.

2.2 Часові характеристики САК

До часових характеристик САК відносять:

1. імпульсну характеристику

2. перехідну характеристику

Імпульсною характеристикою системи називають її реакцію на вхідне діяння у вигляді (t) — функції при нульових початкових умовах К (t).

Імпульсна характеристика на момент часу t<0 тобто К (t) =0

(2.1)

Перехідною характеристикою системи називається її реакція на вхідне діяння у вигляді одиночної функції при нульових початкових умовах h (t), t<0, h (t) =0

(2.2)

2.3 Частотні характеристики

Комплексною частотною характеристикою (КЧХ) називається система перетворення Фур'є її імпульсної характеристики. Модуль K (w) КЧХ називається амплітудно-частотною характеристикою, аргумент (w) — називається фазо-частотной характеристикою САК.

Побудова частотних характеристик спрощується для сприйняття при використанні логарифмічного масштабу. У зв’язку з цим вводиться логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛЧХ), логарифмічна фазочастотна (ЛФЧХ) характеристика системи.

Логарифмічна частотна характеристика — це ФЧХ, що розглядається як функція логарифм від частоти ЛЧФХ = (20 lgw).

3. Елементарні ланки та їх характеристики

Передаточна функція лінійної неперервної стаціонарної САК може бути представлена у вигляді багаточленів відносно змінної Лапласа р

(3.1)

Підсилювальна ланка — передаточна функція якої: К (р) =К, К — коефіцієнт підсилення. Ланка є без інерційною. КЧХ підсилювальної ланки позначається від jw

(3.2)

Амплітудно-частотна характеристика:

АЧХ: рис. 3.1

ФЧХ:

Рис. 3.1 — графік АЧХ

Інтегруючою називається ланка яка має передаточне функцію вигляду К (р) = К/р. Ця ланка має один параметр К — коефіцієнт підсилення.

К (D) = К/ D (3.3)

Рівняння вхід — вихід системи:, тому що одиниця вимірювання зворотньо пропорційна часу, його часто називають коефіцієнтом підсилення за швидкістю. Дана ланка є інерційною.

(3.4)

Рис. 3.2 — графік логарифмічної характеристики

Рис. 3.3 — графік імпульсної характеристики

Рис. 3.4 — графік перехідної характеристики

Рис. 3.5 — графік фазочастотної характеристики

Інерційна ланка — називається ланка, в якій при подачі на вхід одиничного ступінчастого впливу вихідний сигнал аперіодично за експоненціальним законом прагне до нового усталеного значення. Характерним для аперіодичної ланки будь-якої фізичної природи є її інерційність.

(3.5)

Рис. 3.6 — графік імпульсної характеристики

Рис. 3.7 — графік перехідної характеристики

Якісною характеристикою перехідної функції інерційної ланки є час становлення, коли значення перехідної характеристики досягає 95% від максимально можливого значення.

Форсуючою ланкою називається ланка, що має передаточну функцію вигляду:, (рис. 3.8)

АХЧ =

ФЧХ =

Рис. 3.8 — графіки АХЧ та ФЧХ форсуючої ланки

Коливальною називається ланка, яка має передаточну функцію, вигляду:

(3.6)

К — коефіцієнт підсилення ланки, Т — постійна часу, — відносний коефіцієнт згасання. Крім, може використовуватись частота власних незгасаючих коливань:

.

Оператор передачі може бути знайдений за рахунок заміни К (D) =К (р). Зв’язок між вхідними та вихідними діяннями: y (t) =K (D) x (t). Звідси витікає, коливальна ланка описується рівнянням другого порядку:

КАЧХ: (3.7)

АЧХ: (3.8)

ФЧХ: ((3.9)

Якщо затухання <0,707 — у коливальній ланці виникають затухаючі коливання, а якщо затухання >0,707 — то АХЧ співпадає з КАЧХ.

4. Перетворення схеми математичної моделі сак до стандартного вигляду

Для перетворення схеми математичної моделі САК до стандартного одно контурного вигляду необхідно виконати такі операції:

1) заміну послідовного, паралельного і зустрічно-паралельного з'єднання ланок еквівалентними ланками;

2) зміну порядку підсумовування;

3) переміщення суматора чи точки розгалуження з виходу ланки на вхід і зворотне переміщення.

Таким чином, задана схема, згідно номеру варіанта, (рис. 4.1) набуває стандартного вигляду, за допомогою відповідних правил розрахунку даної моделі приведених нижче:

Після цих перетворень система набуває вигляду стандартної схеми (рис. 4.2).

Рисунок 4.1 — задана схема САК

Рисунок 4.2 — приведена до стандартної схема САК

Оператор передачі розімкненої системи знаходять виходячи зі стандартної одноконтурної схеми математичної моделі САК як добуток всіх операторів передачі від виходу першого суматору до виходу системи

Отже, оператор передачі розімкненої системи дорівнюватиме:

5. Складання основних рівнянь системи

Виділяють такі основні рівняння САК:

1) рівняння «вхід-вихід» системи (рівняння замкненої системи), що пов’язує вхідні і вихідне діяння системи:

2) рівняння помилки системи, що пов’язує помилку системи і її вхідні діяння.

Допоміжним етапом при складанні основних рівнянь САК є складання рівняння розімкненої системи, яке отримують виходячи зі стандартної одноконтурної схеми математичної моделі системи за умови, що зворотній зв’язок розімкнений.

Рівняння розімкненої системи має вигляд:

де — оператор передачі розімкненої системи;

— оператор передачі розімкненої системи за заважаючим діянням.

(див. вище)

(5.1)

Рівняння замкненої системи має вигляд

де — оператор передачі замкненої системи;

— оператор передачі замкненої системи за заважаючим діянням.

Оператори передачі замкненої системи знаходять за операторами передачі розімкненої системи

(5.2)

Рівняння помилки системи має вигляд

де — оператор передачі системи за динамічною помилкою

— оператор передачі системи за помилкою, що обумовлена заважаючим діянням.

Оператори передачі системи за помилкою знаходять або за операторами передачі замкненої системи

(5.3)

6. Побудова логарифмічних частотних характеристик розімкненої системи

Для побудови логарифмічних частотних характеристик розімкненої системи знайшли оператор передачі розімкненої системи .

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) розімкненої системи пов’язана з ЛАЧХ елементарних ланок, які можна виділити в передатній функції розімкненої системи, виразом:

де — ЛАЧХ i-ї елементарної ланки.

ЛАЧХ розімкненої системи будуємо на бланку з логарифмічним масштабом за таким алгоритмом:

1. визначають частоти сполучення асимптот, як величини, зворотні постійним часу ланок: К = 2,03/16 = 0,13; Т = 0,2; = 100;

(6.1)

2. будують низькочастотну асимптоту, до якої відносять усі підсилювальні, інтегруючі і диференціюючи ланки. Низькочастотна асимптота являє собою пряму, що проходить через точку, де K — загальний коефіцієнт підсилення системи, що дорівнює добутку коефіцієнтів підсилення K_i всіх елементарних ланок. Низькочастотна асимптота має нахил дБ/дек, якщо є інтегруючих ланок, дБ/дек, якщо є диференціюючих ланок, і паралельна осі абсцис, якщо інтегруючих і диференціюючих ланок немає (їх кількість однакова).

В даному випадку точка (1; - 17,7)

3. змінюють нахил ЛАЧХ після кожної частоти сполучення (у порядку їх зростання) на:

дБ/дек, якщо це частота сполучення інерційної (аперіодичної) ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення форсуючої ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення коливальної ланки;

дБ/дек, якщо це частота сполучення форсуючої ланки другого порядку.

Згідно цього алгоритму, отримуємо графік ЛАЧХ розімкненої системи (рис. 6.1).

Логарифмічна фазочастотна характеристика (ЛФЧХ) розімкненої системи пов’язана з ЛФЧХ елементарних ланок, які можна виділити в передатній функції розімкненої системи, виразом

де — ЛФЧХ i-ї елементарної ланки.

ЛФЧХ будуємо по точкам, які розраховуємо в залежності від виду ланки. Точки занесені до табл. 1, приведеної нижче:

Таблиця 1

Отже, отримуємо графік ЛФЧХ, приведений на рис. 6.2.

7. Опис моделі

Згідно проведених раніше розрахунків, будуємо в Matlab модель САК (рис.7)

Рисунок 7 — Схема математичної моделі САК

(7.1)

(7.2)

На вхід системи подається спершу синусоїдальний сигнал з параметрами: амплітуда — 1, зміщення — 0, частота — 1.

В якості заважаючої дії, використовується генератор випадкового сигналу з параметрами: потужність шуму — 0.1, час — 0.1. Сигнал похибки системи формується на виході першого суматора (рис. 7.1), сигнал помилки наведений на рис. 7.2, заважаючий сигнал системи — рис. 7.3, вихідний сигнал наведений на рис. 7.4

Аналіз наведених сигналів показує, що система є нестійкою.

Перевіримо роботу системи САК при меандровому вхідному діянні з параметрами: амплітуда — 1, період — 10, тривалість імпульсу — 5. Вхідний сигнал також формується на виході першого суматора (рис. — 7.5), сигнал похибки системи наведений на рис. 7.6, вихідний сигнал на рис. 7.7.

Рисунок 7.1 — g (t) — сигнал похибки після 1-го суматора

Рисунок 7.2 — e (t) — сигнал похибки

Рисунок 7.3 — f (t) — заважаючий сигнал

Рисунок 7.4 — y (t) — вихідний сигнал

Рисунок 7.5 — вхідний сигнал

Рисунок 7.6 — сигнал похибки

Рисунок 7.7 — вихідний сигнал

8. Параметри якості системи САК

Аналіз параметрів якості для отриманої у курсовій роботі системи управління проводиться за рахунок перехідної функції. За допомогою Matlab знаходимо графік системи, наведений на рис. 8.1, за яким встановлюємо параметри якості:

1. Час регулювання перехідного процесу — це час, при закінченні якого модуль, =

2. Величина пере регулювання ;

3. Число коливань N=

4. Період власних коливань

5. Величина статичної помилки

6. Відносна величина пере регулювання системи складає 150%, причому для реальних систем відносна величина пере регулювання повинна становити 20−30%.

Рисунок 8.1 — графік нестійкої системи

Висновок

Після виконання даної курсової роботи набули певних вмінь у перетворенні схем математичних моделей, отриманні основних рівнянь систем автоматичного керування та побудові логарифмічних частотних характеристик розімкнених систем, визначенні стійкості систем автоматичного керування за допомогою логарифмічного частотного критерію стійкості та якості їх функціонування в перехідному режимі.

Після проведення аналізу якості даної системи за допомогою отриманого графіку у системі Matlab, дійшли висновку, що система САК є нестійкою, оскільки не відповідає параметрам якості. Отже, для покращення властивостей системи управління, в її структуру вводиться керуючі пристрої - регулятор, який перетворює сигнал похибки e (t) у керуючий вплив u (t), який подається на об'єкт управління, для зменшення сумарної похибки, збільшення параметрів якості і стійкості системи. На практиці найбільш використовують ПІД — регулятор (пропорціональний інтегруючий диференціюючий канал).

Використання ПІД — регулятора призводить:

1. забезпечує найбільшу швидкодію системи,

2. також забезпечує в середнім нульову похибку,

3. добре моделює схеми управління,

4. дозволяє виробляти настройку параметрів у процесі роботи системи без знання точних математичних моделей всіх елементів системи.

Фізично ПІД — регулятор являє собою електронний блок з налаштованими параметрами П, І та Д каналів.

Список літератури

1. Хисматуллин В. Ш. Основы автоматики. — Х.: ХВУ, 1998.

2. Автоматическое управление и регулирование радиотехнических систем. Часть 1. Функциональные структуры и математическое описание систем автоматического управления / Д. Д. Алексейчев, А. А. Казаков. — Х.: ВИРТА ПВО, 1980.

3. Теорія автоматичного управління. Том 1. Принципи побудови, математичне моделювання та стійкість систем автоматичного управління / Є. Є. Александров, О. П. Голуб та ін. — Х.: ХДПУ, 1999.

4. Гурко А. Г., Евременко І.Ф. — Теорія автоматичного управління: ХНАДУ, 2009.

5. Осьмачко А. А., Евременко І.Ф. — Аналіз і синтез систем автоматичного керування в Matlab: ХНАДУ, 2008.