Маятники

$$\stackrel{}{M}=I\stackrel{}{}$$ чи М = I (1).

де М — момент сили ваги щодо осі ПРОI — момент інерції маятника щодо тієї ж осі- $$$$ — кутове прискорення маятника.

З рис 1 видно, що М = - mgb Sin (2).

де: m — маса маятника;

b Sin плече сили ваги mg;

b — відстань від крапки підвісу Про до центра мас С.

Знак «-» означає, що обертаючий момент М прагне зменшити кут що характеризує положення маятника стосовно рівноважного стану. Більш строго зміст знака «-» порозуміваються так: псевдовектори моменту сил $$\stackrel{}{M}$$ і зсуву від положення рівноваги $$\stackrel{}{j}$$ спрямовані в протилежні сторони (для ситуації, зображеної на мал. 1 перший спрямований за площину креслення, а другий — з цієї площини на спостерігача). Пам’ятаючи, що $$=\frac{d^2}{d{t}^2}$$, і з огляду на (1), рівняння (2) запишемо у виді.

$$I\frac{d^2}{d{t}^2}+mgb\text{Sin}=0$$ (3).

При малих відхиленнях маятника (саме цей випадок ми і будемо мати на увазі) Sin, а тому рівність (3) після розподілу на I прийме вид.

$$\frac{d^{2}j}{{\mathit{dt}}^2}+\frac{\text{mgb}}{I}j=0\text{.}$$ (4).

Величина mgb/I, як сугубо позитивна, може бути замінена квадратом деякого числа: mgb / I (5).

Тоді рівняння (4) можна переписати як.

$$\frac{d^2}{d{t}^2}+{}_0^2=0\text{.}$$ (6).

Використовуючи пряму підстановку, переконуємося, що рішенням рівняння (3.6) є вираження.

os (+ (7).

Це свідчить про те, що ФМ робить у цих умовах незатухаючі гармонійні коливання з циклічною частотою і постійні (амплітуда і початкова фаза), що залежать від початкових умов.

Період коливань ФМ.

$$T=\frac{\text{2}}{{}_0}=\text{2}\sqrt{\frac{I}{\text{mgb}}}\text{.}$$ (8).

I / mb має розмірність довжини. Ця величина позначається через L і називається приведеною довжиною ФМ:

L = I / mb (9).

Таким чином,.

$$T=\text{2}\sqrt{\frac{L}{g}}\text{.}$$ (10).

Порівнюючи (10) з формулою для періоду коливань математичного маятника T = $$\text{2}\sqrt{l/g}$$, де l — довжина математичного маятника, бачимо, що приведена довжина ФМ — це довжина такого математичного маятника, у якого період коливань збігається з періодом коливань даного ФМ. Легко помітити, що L > b. Справді, відповідно до теореми Штейнера I = Iс + mb2, де Ic — момент інерції маятника щодо осі, що проходить через центр мас. Отже, по вираженню (9).

$$\mathit{Lo}\frac{I}{\mathit{mb}}=\frac{I_c+{\text{mb}}^2}{\mathit{mb}}=\frac{I_c}{\mathit{mb}}+b,$$ (11).

відкіля видно, що L>b.

Точку О1 (див. мал. 1), що відстоїть від О на відстані L, називають точкою хитань.