Система визначення кутової орієнтації мікросупутника на основі алгоритму Quest

• Зміст
• Основні умовні позначення

Вступ

1. Огляд літератури по штучним супутникам землі, системам кутової орієнтації мікросупутників і алгоритмах точності їх оцінювання

• 1.1 Загальні відомості про ШСЗ
• 1.2 Орбіта ШСЗ
• 1.3 Рівняння руху МС

1.4 Типи систем орієнтації

1.5 Елементарні режими орієнтації

1.6 Порівняльний аналіз алгоритмів оцінювання кутової орієнтації мікросупутників

• 2. Алгоритм QUEST
• 2.1 Алгоритм QUEST для послідовного визначення орієнтації

2.2 Оцінка точності роботи алгоритма QUEST

3. Оцінка кутової орієнтації мікросупутника

3.1 Моделі орбітального руху супутника, магнітометра та датчика координат сонця

3.2 Числовий аналіз кутової орієнтації

Висновки Список літератури

• Основні умовні позначення

КА — космічний апарат СК — система координат ОВО — оптимальне визначення орієнтації

ШСЗ — штучний супутник землі

орієнтація мікросупутник алгоритм

Вступ

В світі дедалі більше проявляють інтерес до створення малогабаритних супутників. Зараз малогабаритні супутники здатні виконувати завдання, які до недавнього часу були під силу лише великим і, як правило, дорогим КА. Це з’явилося результатом досягнень в області електроніки, обчислювальної техніки, матеріалознавстві. Додатковим поштовхом до розповсюдження малогабаритних супутників з’явилося скорочення фінансування космічних розробок практично у всіх країнах — лідерах космічної індустрії. Відносна простота реалізації малогабаритного супутника і, як наслідок, відносно короткий термін розробки і виготовлення і низька вартість, як самого супутника, так і його виводу на орбіту виявилися прийнятним виходом в ситуації обмеженості засобів.

Керування польотом будь-якого КА припускає знання параметрів, що визначають його положення в просторі. Знаходження таких параметрів або навігація КА спирається на проведення вимірювань за допомогою спеціальних засобів, статистичну обробку отриманих вимірювань, прогнозування руху.

Розвиток мікроі наносупутників вимагає легких і економічних систем визначення орієнтації супутника. На даний момент існує величезна кількість різних систем, призначених для визначення орієнтації штучних супутників. У даній роботі розглядається алгоритм визначення кутового положення МС за алгоритмом QUEST.

1. Огляд літератури по штучним супутникам Землі, системам кутової орієнтації мікросупутників і алгоритмах точності їх оцінювання

1.1 Загальні відомості про ШСЗ Залежно від завдань, що вирішуються за допомогою ШСЗ, їх підрозділяють на научно-дослідницькі і прикладні. Якщо на супутнику встановлені радіопередавачі, та або інша вимірювальна апаратура, імпульсні лампи для подачі світлових сигналів і т. п., його називають активним. Пасивні ШСЗ призначені зазвичай для спостережень із земної поверхні при вирішенні деяких наукових завдань. Научно-дослідницькі ШСЗ служать для досліджень Землі, небесних тіл, космічного простору. ШСЗ на екваторіальній орбіті, лежачій поблизу плоскості екватора, називаються екваторіальними, ШСЗ на полярній (або приполярною) орбіті, що проходить поблизу полюсів Землі, — полярними. ШСЗ, виведені на кругову екваторіальну орбіту, видалену на 35 860 км. від поверхні Землі, і рухомі в напрямі, співпадаючому з напрямом обертання Землі, висять нерухомо над однією точкою земної поверхні; такі супутники називаються стаціонарними.

Умовна класифікація супутників за їх масою наведена в таблиці 1.

Табл.1 — Класифікація супутників

Для вирішення деяких наукових і прикладних завдань необхідно, щоб ШСЗ був певним чином орієнтований в просторі, причому вид орієнтації визначається головним чином призначенням ШСЗ або особливостями встановленого на ньому устаткування. Так, орбітальну орієнтацію, при якій одна з осей постійно направлена по вертикалі, мають ШСЗ, призначені для спостережень об'єктів на поверхні і в атмосфері Землі; ШСЗ для астрономічних досліджень орієнтуються на небесні об'єкти: зірки, Сонце.

1.2 Орбіта ШСЗ На рис. 1 зображена типова орбіта супутника Землі, на якій положення супутника S у момент часу t характеризується координатами: радіус-вектор r, нахил ?, пряме сходження ?; початок координат (з осями, що не обертаються) суміщений з центром мас Землі; вісь ОХ направлена в точку весняного рівнодення, вісь ОУ зміщена уздовж екватора на 90 градусів від ОХ у напрямі зростання прямих сходжень, вісь OZ направлена уздовж осі обертання Землі.

Рис. 1 — Параметри орбіти в просторі

Нахил орбіти і пряме сходження висхідного вузла визначають орієнтацію орбіти в просторі і її положення по відношенню до земної системи координат.

Таким чином, шість довільних констант, які дозволяють повністю визначити положення супутника у будь-який момент часу, називають елементами орбіти супутника:

— велика піввісь a;

— ексцентриситет e;

— нахил площини орбіти до екватора i;

— пряме сходження висхідного вузла орбіти ?;

— аргумент перигея ?;

— час проходження супутника через перигей t₀ або середня аномалія М.

Рис. 2 — Кеплеровські елементи орбіти При русі супутника в центральному полі тяжіння, коли відсутній опір атмосфери, перші п’ять елементів орбіти залишаються постійними, і періодичний рух супутника по орбіті може продовжуватися невизначено великий проміжок часу.

На рух ШСЗ впливає ряд додаткових чинників таких, як опір атмосфери, відмінність поля тяжіння Землі від центрального, поля тяжіння Сонця і Луни.

1.3 Рівняння руху МС Розглядатимемо рух МС в ОСК .

Кутове положення МС визначається кутами рискання, тангажа і крену. Найбільш поширеним для завдання кутового положення тіла є використання кутів Ейлера (рис.3). Але наявність тригонометричних функцій значно ускладнює процедуру обчислень, а в деяких випадках вона стає взагалі неможливою. Тому в кінематиці твердого тіла все частіше використовуються кватерніони — спеціальні параметри, введені Гамільтоном.

Рис. 3 — Кути повороту МС Перехід від СК до СК визначається наступним чином:

(1.1)

где — матриця поворотів.

Матрицю поворотів, яка виражена через кватерніони можна представити у вигляді:

(1.2)

Кватерніон визначається як матриця розмірності і має наступний вигляд:

(1.3)

де — скалярна частина; - векторна частина;

Кінематичні рівняння МС для кватерніона можуть бути представлені у наступному вигляді:

(1.4)

де — кососиметрична матриця.

Рівняння руху приймемо у формі динамічних рівнянь Ейлера:

(1.5)

де — осьові моменти інерції МС; - моменти сил, які діють на МС відносно відповідних осей.

Виконаємо лінеаризацію рівнянь руху, для чого припустимо, що кути і кутові швидкості (окрім кутової швидкості) є величинами малими. Тоді можна записати:

(1.6)

У правих частинах системи (1.5) виділимо гравітаційний момент, обумовлений впливом Землі на МС:

(1.7)

Приймемо:

(1.8)

Після підстановки виразів (1.6) — (1.7) в рівняння (1.5) і лінеаризації рівнянь руху отримаємо наступну систему:

(1.9)

1.4 Типи систем орієнтації

Широко використовується термін «орієнтація», коли хочуть сказати про наперед заданий кутовий рух супутника (від лат. Oriens, що означає «схід», і фр. Orientation — напрямок, орієнтація). Іноді використовують термін «стабілізація кутового положення», коли хочуть підкреслити, що супутник утримується відносно заданих орієнтирів з необхідною точністю. У залежності від того, яка природа керуючого впливу на кутовий рух супутника, які способи його реалізації і які потрібні при цьому пристрої, розрізняють активні, пасивні та комбіновані системи орієнтації. Розглянемо їх відмінності, переваги і недоліки.

Якщо для створення керуючих впливів потрібна витрата робочого тіла або енергії, запасених на борту, а для формування цих впливів потрібні блок логіки, датчики орієнтації і виконавчі органи, то така система називається активною системою орієнтації. З її допомогою можна реалізовувати досить довільні й швидкі кутові розвороти. В цьому полягає її основна перевага. До недоліків активної системи можна віднести обмежений час її роботи, якщо використовується запас робочого тіла або маси на борту, наприклад реактивне паливо або стиснений газ для реалізації керуючих впливів, складність і звичайно високу ціну, відносно низьку надійність, обумовлену наявністю великої кількості складових елементів (датчиків, бортового логічного пристрою, рухомих елементів і т.д.).

Пасивні системи орієнтації, використовують взаємодію із зовнішніми полями природного походження, не споживають робоче тіло і енергію, які запасені на борту супутника. Тільки в початковий момент часу буде потрібно їх короткочасна витрата для приведення системи орієнтації в робоче положення, наприклад, висунути штанги, повернути частину супутника. При розробці пасивної системи доводиться вирішувати дві основні проблеми: як створити відновлюючий і демпфуючий моменти і що ж це за моменти? Відновлюючий момент необхідний, щоб привести супутник в необхідне положення: якщо супутник відхилився з цього положення, то відновлюючий момент змусить його повертатися у зворотному напрямку.

Уявіть собі математичний маятник в полі тяжіння, у якого точка підвісу розташована вище від його центру мас. При відхиленні маятника з положення рівноваги виникає відновлюючий момент сили тяжіння, що повертає маятник у бік положення рівноваги. З часом амплітуда коливань маятника буде зменшуватися — за рахунок опору атмосфери і тертя в підвісі і він прийде в положення рівноваги та буде там перебувати, поки черговий вплив не виведе його з положення рівноваги.

В умовах космічного простору картина якісно змінюється. Середовище настільки розряджене, що природне тертя практично відсутнє. Розсіяння енергії обертального руху супутника за рахунок вихрових струмів Фуко в елементах його конструкції і відносного руху його частин, включаючи рідинні, без прийняття спеціальних заходів, що підсилюють їх дію, дуже мале. Наприклад, швидкість обертання першого радянського штучного супутника з оболонкою у вигляді тонкостінної провідної сфери зменшувалася лише в три рази за 80 діб. Тому поряд з відновлюючим моментом необхідно реалізувати і демпфуючий момент.

Ще одне обмеження пов’язане з відносно малими величинами відновлюючого і демпфуючого моментів. Це призводить до того, що область впливу потрібного руху в просторі початкових умов руху невелика. Необхідно спочатку привести супутник в область впливу номінального руху з тим, щоб демпфуючий момент гарантовано забезпечив вихід супутника на цей рух. При цьому слід очікувати відносно тривалий перехідний процес.

Комбіновані системи орієнтації включають в себе як активні, так і пасивні елементи. Активні елементи в цьому випадку використовують або для початкового приведення супутника в робоче положення, або беруть такі елементи, які не вимагають великої витрати енергії і складної системи управління, включаючи датчики орієнтації, наприклад обертаються маховики, що вимагають поновлювану від сонячних батарей електроенергію тільки для підтримки постійної швидкості обертання, або електромагніти, використовувані час від часу для забезпечення постійної швидкості обертання супутника навколо осі симетрії. Іноді комбіновані системи орієнтації називають напівпасивними або напівактивними, бажаючи підкреслити принцип дії основного елемента системи.

На практиці найбільше поширення отримали активні системи орієнтації. Вони мають більш широкі можливості в порівнянні з пасивними, забезпечуючи високу точність орієнтації і високу швидкодію системи. Якщо визначальним у проекті є виконання вимог до кутового руху супутника, а не його вартість, то використовують саме активні системи. Однак існує цілком певний клас супутників, для яких вартість є основним критерієм, і вже виходячи з обмеженою вартості формується перелік вирішуваних завдань і відповідний перелік вимог до точності і швидкодії системи орієнтації. У цьому випадку зазвичай використовуються пасивні або комбіновані системи орієнтації. Для цього класу супутників переваги пасивних систем орієнтації є визначальними, а недоліки — несуттєвими. До цього класу належать малі супутники.

1.5 Елементарні режими орієнтації

Функціонування системи орієнтації може розглядатися як послідовність елементарних режимів, кожен з яких визначається певною логікою, що у випадку активної системи керування орієнтацією реалізується за допомогою логіко-перетворювального пристрою. До елементарних режимів відносяться [2]:

1) режим попереднього заспокоєння космічного апарату (КА);

2) пошук орієнтирів;

3) приведення орієнтації до заданої, або режим програмних поворотів;

4) режим усталеної орієнтації, або робочий режим.

Звичайно, заспокоєння КА застосовується перед початком роботи, безпосередньо після відділення КА від носія або у випадках, коли з тих чи інших причин апарат втратив орієнтацію і знаходиться у некерованому стані. У цьому випадку КА виконує складний просторовий обертальний рух, що визначається величиною моменту кількості руху КА на момент відокремлення від носія або втрати попередньої орієнтації.

Для використовуються тільки вихідні сигнали датчиків кутових швидкостей, що встановлені по зв’язаних осях, відносно яких діють моменти виконавчих органів. Логіко-перетворювальний пристрій у цьому випадку діє за простою логікою, а саме: формує вихідні сигнали таким чином, щоб моменти виконавчих органів мали знаки, протилежні знакам сигналів відповідних датчиків кутових швидкостей. Причому не нульовий керуючий момент формується тільки за умови, коли абсолютна величина відповідної складової швидкості перевищує задану порогову величину.

Режим пошуку орієнтиру — це один з основних режимів роботи системи керування орієнтацією. Під орієнтиром у даному випадку слід розуміти джерело зовнішньої інформації, яка використовується системою для побудови на борту тріедра осей орієнтації. Як було відзначено вище, найчастіше за орієнтир використовують небесні світила, у тому числі Землю та Сонце, хоча ними можуть бути і магнітні поля, напрямок вектора швидкості КА відносно іоносфери планети тощо. У більшості випадків поле чутливості (або поле зору у випадку випромінюючих орієнтирів) для відповідних датчиків, що встановлені на борту КА, обмежене. Тому безпосередньо після закінчення режиму попереднього заспокоєння орієнтир тільки випадково може опинитися у полі зору відповідного датчика, що спричиняється до необхідності такого керованого обертального руху КА, який гарантовано сумістить поле зору датчика з напрямком на відповідний орієнтир. Цілком очевидно, що ефективність пошуку залежатиме від величини поля зору датчика.

Пошук другого орієнтира для побудови триосної орієнтації виконують з використанням інформації про величину кута між знайденим орієнтиром і орієнтиром, який необхідно знайти. Така інформація відома завдяки сталості траєкторії руху КА. Після закінчення пошуку першого орієнтира за допомогою спеціальних приводів повертають оптичну головку датчика другого орієнтира відносно корпусу КА таким чином, щоб кут між оптичними осями обох датчиків не відрізнявся від кута між орієнтирами. Обертаючи корпус КА відносно напрямку на знайдений орієнтир, забезпечують гарантоване захоплення другого орієнтира полем зору відповідного датчика. Зауважимо, що аналогічним способом можна виконати зміну орієнтирів, потреба якої виникає у випадках, коли один із орієнтирів зникає з поля зору відповідного датчика за горизонтом планети, коли радіус-вектори обох Орієнтирів збігаються або діаметрально протилежні тощо.

Після захоплення орієнтирів система керування орієнтацією переходить до приведення орієнтації корпусу КА до заданої. Для цього система повинна шляхом декількох послідовних поворот® або за допомогою одного результуючого повороту так повернути корпус КА, щоб радіус-вектори знайдених орієнтирів зайняли програмне положення відносно зв’язаного тріедра. Вказані повороти часто називають програмними поворотами, тому і режим приведення орієнтації до заданої інакше називають режимом програмних поворотів. Вказаний маневр можна реалізувати різними способами в залежності від величини поля зору датчиків орієнтирів. У випадку, коли в системі застосовано датчики з полями зору, обмеженими малими (у порівнянні з кутами поворотів корпусу КА) кутовими розмірами, програмні повороти виконують шляхом відповідних поворотів оптичних осей датчиків орієнтирів відносно корпусу КА при одночасному утриманні орієнтирів у середині полів зору відповідних датчиків за рахунок керуючих моментів, що діють на корпус КА з боку системи керування орієнтацією. У випадку, коли кутові розміри полів зору датчиків орієнтації перевищують величини програмних поворотів, корпус КА повертають за допомогою керуючих моментів до тих пір, поки радіус-вектори орієнтирів не збіжаться з їх заданими положеннями у полях зору датчиків. Слід відзначити, що необхідність у проведенні даного режиму може виникнути не тільки безпосередньо після закінчення пошуку орієнтирів, а й при переході до нового положення осей орієнтації Тобто даний режим може виконуватися багаторазово у процесі функціонування КА і його можна віднести до основних режимів роботи системи керування орієнтацією.

До основних режимів слід віднести також режим усталеної орієнтації, або робочий режим. Суть даного режиму полягає у забезпеченні збігання осей зв’язаного тріедра з відповідними осями орієнтації із заданою точністю шляхом формування керуючих моментів відносно зв’язаних осей за допомогою виконавчих органів системи керування орієнтацією. Майже весь час активного існування КА знаходиться у даному режимі, тому часто цей режим називають просто робочим. Дослідженню останнього буде присвячено практично весь подальший матеріал підручника, тому зараз ми не будемо зупинятись на ньому більш детально, зауважимо лише, що всі інші режими роботи системи орієнтації забезпечують підготовку системи до робочого режиму, тому вони мають об'єднуючу назву перехідних.

1.6 Порівняльний аналіз алгоритмів оцінювання кутової орієнтації мікросупутників

Алгоритми оптимального визначення орієнтації (ОВО) поділяються на два основних підходи: класичний, на обмеженому методі найменших квадратів, оснований на так названій задачі Уохби, і підхід мінімальної дисперсії (фільтрація Калмана).

Обмежений метод найменших квадратів В 1965 р. Уохба сформулював задачу ОВО, використовуючи вектор спостереження як задачу оцінки обмеженим методом найменших квадратів.

Враховуючи дві множини із n векторів {r₁, r₂,…, r_n} і {b₁, b₂,…, b_n.}, n 2, де кожна пара (r_i, b_i), відповідає узагальненому вектору x_i, потрібно знайти відповідну ортогональну матрицю А, за допомогою якої «підганяють» методом найменших квадратів першу множину для кращого співпадіння з другою. Одже, треба знайти А, яка мінімізує

Обмеженням являється те, що, А повинна бути ортогональна, і відповідно її визначник повинен бути рівний 1.

Ця задача є загальновідомою як задача Уохби. Відмітимо, що в зараз формулювання задачі Уохби звучить як єдино-структурна задача визначення орієнтації, тобто це припускає, що вектор вимірювання, який обробляється з ціллю визначення орієнтації, може бути отриманий для постійного місцезнаходження. Але сімейство рішень проблеми Уохби стосується визначення оптимальної матриці А, в той час, як друге сімейство пов’язане з визначенням відповідного оптимального кватерніона. Ми розглянемо останнє сімейство.

Єдиноструктурний метод оцінки кватерніона

В 1989 р. Давенпорт розробив метод для визначення оптимального моноструктурного кватерніона q. Цей метод відомий в літературі як qметод, отриманий наступним способом. Візьмемо пакет одномірних вимірювань, по замовчуванню їх відповідні ваги визначені. Визначимо наступні величини: Матриці B и S размірності 3×3, вектор z размірності 3×1 і скаляр

де tr утворює оператор-слід. Далі складемо симетричну матрицю К, розмірності 4×4:

Відмітимо що слід К рівний нулю. Давенпорт показав, що ваговий коефіцієнт Уохби може бути перетворена в квадратичну функцію кватерніона наступним способом

де, прирівнюємо одиниці.

Отже, проблема Уохби еквівалентна максимізації квадратичної форми q. Відомо, що проблема визначення стаціонарного значення квадратичної форми на елементарній сфері приводить до рішення проблеми власних значень. Як наслідок, власний вектор матриці К, який належить до одного з самих великих додатніх власних значень оцінки оптимального кватерніона. Цей метод є алгоритмом для багато структурного визначення положення в просторі твердого тіла, став дуже популярним, і надихнув на розробку багатьох інших алгоритмів.

Добре відомий алгоритм QUEST був розроблений на основі кватерніонного підходу, автор використовував вектор параметрів Родрігеса y, так званий вектор ГІббса, який визначає, як векторна частина кватерніона е, яка має вагу скалярної частини q. Було отримано вираз закритої форми для ефективної оцінки у і відповідно для оцінки кватерніонної матриці похибок.

Далі представлені два алгоритми ESOQ (оцінювач оптимального кватерніона) і ESOQ2, обидва алгоритми забезпечують рішення qметодом в закритій формі.

ESOQ2 фактично оцінює кути Ейлера, які мають відомі залежності від кватерніонів. Всі алгоритми представлені далі являються моноструктурними алгоритмами оцінки положення. Тому вони потребують як мінімум два одночасні вимірювання для оцінки повного положення. Більше того, інформація про минулі вимірювання втрачається. Ці недоліки були визначені, і відповідні методи їх усунення були розроблені в напрямку усунення вимоги по проведенню одночасних вимірювань.

Пакетний алгоритм розроблений і оснований на матриці положення кінематичного рівняння. Припускаємо, що кутова швидкість буде виміряна трьома гороскопами. Основним моментом алгоритму є те, що він забезпечує оптимальне передвизначення матриці положення, і може бути оцінений так само добре, як і пакет стаціонарних незбурених параметрів, таких як зміщення нуля гіроскопа. Але цей алгоритм має незручності пакетних алгоритмів.

Рекурсивний алгоритм оцінки кватерніонів

Рекурсивні алгоритми завжди більш зручний ніж пакетні, тому що вони не вимагають збереження попередніх даних і дозволяють обробляти вимірювання, які поступають в реальному часі. Також представлений рекурсивний фільтр, який оцінює кватерніон положення та інші параметри, які мають довільну динаміку. Фільтр, який працює на алгоритмі QUEST, являється рекурсивним, дискретним в часі і простим в обчислені алгоритмом.

Підводимо підсумок, основною перевагою методу Уохби є те, що він дає витончений алгоритм закритої форми, який не потребує в апріорній оцінці кватерніона. Другий основний момент це те, що обмеження одиничної норми в q вбудовано у формування задачі.

З іншої сторони, обмежений підхід Уохби, метод найменших квадратів дає оцінку, в якій відсутні ймовірні значення. Фактично, правильний вибір вагових коефіцієнтів функції Уохби являється основною складністю. Зазвичай, скалярні ваги вибираються рівними різниці зв’язаних векторних вимірювань. Їх вибір є евристичним. Іншим недоліком алгоритму є те, що він зручний тільки для визначення положення об'єкта, а при оцінці основних параметрів виникають складності.

Метод мінімальних варіацій Наступний підхід мінімальної варіації, задача визначення положення включена в теорію Калманівської фільтрації. Кватерніон положення розглядається як змінна стану. Рівняння процесу в просторі станів отримується з кватерніона кінематичного рівняння.

Використання кватерніона як вектора стану створило специфічну проблему в розробці алгоритмів різних фільтрів. Це проблема — взаємозалежність між чотирма компонентами справжнього кватерніона, який являється вектором одиничної норми. Згідно логіці, що оцінка за допомогою кватерніона також повинна бути вектором одиничної норми, у різних підходах стараються використовувати обмежений фільтр Калмана.

Основною властивістю всіх розроблених фільтрів Калмана є те, що вони працюють з лінеаризованою моделлю вимірювань. В наслідок лінеаризації, з’являється небажана варіація при оцінці похибок и чутливість до попередньої оцінки. Фактично, відомо, що високий рівень похибки в початковій оцінці, розглянутий Калманівським фільтром приводить до неадекватної оцінки положення.

FQA — спрощений кватерніоний алгоритм

FQA — спрощений кватерніоний алгоритм для оцінки орієнтації, який використовує дані про земну гравітацію і напрямок магнітного поля Землі.

Орієнтація тіла, яке повільно рухається або знаходиться в стані спокою, може бути визначена із вимірювання гравітаційного прискорення і місцевого напрямку магнітних силових ліній. Алгоритм QUEST найбільш часто використовується для вирішення цієї задачі. З ціллю визначення координат тіла для отримання вище вказаних даних використовуються три акселерометри і магнітометр. В алгоритмі QUEST вимірювання місцевого магнітного поля впливають не лише на оцінку рискання, а також на оцінку крену і тангажу. Із-за нестабільності напрямку вектора магнітного поля, не бажано використовувати його при визначені орієнтації (а саме крену і тангажу). Це геометричний алгоритм оцінки орієнтації твердого тіла в трьох площинах, так названий, множний кватерніоний алгоритм. За допомогою даного алгоритму можна отримати кватерніон, який описує місцеположення (орієнтацію) твердого тіла. Із-за використання формул з половинним кутом при диференціюванні і завдяки використанню кватерніонів можна уникнути складності при обчисленні тригонометричних функцій. Експериментальні результати показують, що даний алгоритм має високу точність співвимірну алгоритму QUEST і обчислення орієнтації проводяться за менший час, що свідчить про високу ефективність. До того ж змінне магнітне поле провокує лише азимутальні (курс, рискання) похибки при визначені орієнтації.

Зробивши аналіз методів, можна зробити висновок, що алгоритми QUEST і FQA є найбільш оптимальними за точністю і швидкодією при оцінці орієнтації літального апарату.

2. Алгоритм QUEST

2.1 QUEST алгоритм для послідовного визначення орієнтації

Для того, щоб визначити орієнтацію космічних апаратів по відношенню до вихідної системи координат (СК), використовується вектор вимірювань. Визначення координат тіла в просторі так само точно як і в опорній системі координат можна виконати за допомогою визначення векторів — пар і складених з них узагальненого вектора. Ми зацікавлені в знаходженні найкращого алгоритму перетворення між опорною СК і узагальненим вектором пар вимірювань. Алгоритм, який може оцінити орієнтацію тіла в просторі і виразити його у вигляді кватерніона, називається QUEST. QUEST — ефективний алгоритм, який забезпечує підгонку методом найменших квадратів кватерніона обертання до узагальненого вектору вимірювань. Але QUEST, являється кадровим алгоритмом, тобто всі вимірювання в попередніх часових точках видаляються.

Даний алгоритм забезпечує рекурсивну послідовність, яка враховує всі попередні вимірювання. Алгоритм оснований на факті, так званих К матриць, один із власних векторів якої, являється південним кватерніоном, лінійно пов’язаним з виміряними векторами-парами, і спроможний відтворити К.

Видобування відповідного власного вектора здійснюється у відповідності з класичним QUEST алгоритмом. Хоча цей етап може бути пропущений, і обчислення спрощені, якщо використовується стандартний алгоритм визначення власних значень власного вектора.

Задача знаходження орієнтації із вектору спостереження формується наступним способом. Дано послідовність ортів b_i, i=1, 2, …, k. Ці одиничні вектори є результатом вимірювань в рухомій Декартовій СК координат транспортного засобу з напрямків відомих об'єктів. Послідовність одиничних векторів r_i, i=1, 2 …, k — це послідовність відповідних одиничних векторів, визначених в опорній Декартовій СК. Потрібно знайти матрицю, яка перетворює вектори з опорної в СК зв’язану з тілом. Очевидно, що це повинна бути ортогональна матриця. В 1965 році Вахба сформував цю проблему, як проблему найменших квадратів, наступним чином: нехай

(1)

Знайшовши ортогональну матрицю 3×3, яка мінімізує L, можна визначити вагу кожного вимірювання окремо, згідно точності частинних векторних вимірювань. Крім цього, треба знайти кватерніон, а не матрицю, який визначає орієнтацію. В такому випадку (1) замінюється на

(2)

де a_i, i=1,2, …, B, — додатна вага, яка присвоюється кожному вимірюванню. В (2) шукаємо кватерніон q, який мінімізує J. Відзначимо, що замість мінімізації J, можна максимізувати, визначений як

(3)

можна записати у вигляді

(4)

де К будується наступним чином: визначимо

Тоді

(6)

де І - тотожна матриця третього порядку. Вектор, одиничної довжини, який максимізує в (4), задовольняє рівняння:

(7)

де ще не визначений множник Лагранжа. — це власне значення, а — власний вектор, який відповідає. Підставляючи це рішення в (4), отримаємо:

(8)

і так, як треба максимізувати, вибираємо, найбільше власне значення К, як бажане власне значення, як наслідок, являється власним вектором, який відповідає .

Девентпорт показав, що раз буде знайдене, немає ніякої необхідності знаходити власний вектор К, так як, оптимальний вектор параметрів Родрігеса, може бути обчислений наступним чином:

(9)

і оптимальний кватерніон можна знайти за допомогою відомого співвідношення:

(10)

Шустер показав, як з легкістю можна визначити з будь-якою точністю і як боротися з сингулярною матрицею в (9). Також було показано, що близьке до1 і воно являється одиничним, коли вимірювання проводяться без похибок (ця властивість отримується завдяки факту, що всі a_i-і в (2) додаються до одиниці). Алгоритм отримання і із вектора спостережень відомий як алгоритм QUEST.

QUEST покадровий алгоритм визначення орієнтації. Це означає, що він використовує вектор вимірювань, отриманий в певній часовій точці, і використовує його і тільки його для визначення орієнтації в даній часовій точці. В 1989 р. Шустер представив алгоритм, який він назвав фільтром QUEST, який рекурсивно обробляє вектор вимірювань. Профільна матриця орієнтації В, визначена в (5.с), яка грає основну роль в алгоритмі, оновлюється рекурсивно для використання в алгоритмі QUESТ. Найбільше уваги приділено коваріаційним обчисленням.

Матриця, яка оновлюється рекурсивно, це матриця К, визначена в (5) і (6). Дійсно, як було показано в алгоритмі вище, К це найбільш важливий елемент QUESТ.

Для реалізації QUEST алгоритму в пакеті для числового аналізу MATLAB, зокрема в його частині Simulink, було зображено його у вигляді блок-схеми (рис. 2.1). На основі даної блок-схеми було написано алгоритм:

function [q, P_q, K] = QUEST (v₁, v₂, w₁, w₂, a₁, a₂, sigma₁, sigma₂)

% Quest алгоритм оцінювання для кватерніонів

% [q, P_q] = QUEST (v₁, v₂, w₁, w₂, a₁, a₂, sigma₁, sigma₂)

% Тут v₁ та v₂ — нормовані показання датчиків в ЗСК

% w₁ та w₂ — нормовані показання датчиків в ОСК

% a₁ та a₂ — вагові коефіціенти

% sigma₁ та sigma₂ — стандартні відхилення відповідних похибок вимірювань

% Шукає оптимальний кватерніон q де q: w_i=R (q)*v_i

% та коваріаційну матрицю P_q

S = a₁*(v₁*w₁'+w₁*v₁')+a₂*(v₂*w₂'+w₂*v₂'); %S=B+B'

z = a₁*cross (w₁, v₁)+a₂*cross (w₂, v₂); %z=sum a_i*w_ixv_i

sigma_tot₂=1/(inv (sigma₁)+inv (sigma₂));

% Знайдемо множник Лагранжа lambda_ max

sigma = 0.5 *trace (S);

kappa = trace (adj (S));

delta = det (S);

cos_theta = ((v₁'*v₂)*(w₁'*w₂)) + (norm (cross (v₁, v₂))*norm (cross (w₂, v₂))) ;

lambda_max = sqrt (a₁^2+a₂^2+2*a₁*a₂*cos_theta) ;

% Знайдемо оптимальний кватерніон

alpha=lambda_max²-sigma²+kappa ;

beta = lambda_max — sigma ;

gamma = (lambda_max-sigma)*alpha — delta ;

x=(alpha*eye (3)+beta*S+S²)*z ;

q_g=(1/sqrt (gamma²+x'*x))*gamma;

q_x=(1/sqrt (gamma²+x'*x))*x;

q=[q_g;q_x];

% Знайдемо коваріаційну матрицю

c₁ = ((sigma₂^2/sigma_tot₂)-1)*(w₁*w₁') ;

c₂ = ((sigma₁^2/sigma_tot₂)-1)*(w₂*w₂') ;

c₃ = (w₁' * w₂) * (w₁*w₂' + w₂*w₁') ;

P_Q = 0.25*sigma_tot₂*(eye (3)+((c₁+c₂+c₃))) ;

q_x_trans = [-q_x (3), q_x (2), q_x (1)]' ;

q_skew = [0, -q_x (1), q_x (2);

q_x (1), 0, q_x (3);

— q_x (2), -q_x (3), 0 ];

C = [ q_g, q_x_trans'; -q_x_trans, q_skew + eye (3)*q_g ] ;

zero_vec = zeros (3,1) ;

P_q = C*[0, zero_vec'; zero_vec, P_Q]*C' ;

%K = | sigma z' |

% | z S-sigma*I3x3 |

K = [sigma, z'; z, S-sigma*eye (3)] ;

[V, D] =eig (K);

q_K = V (, 4) ;

q = q_K/norm (q_K) ;

%P_Q = 0.25*sigma_tot₂*inv (eye (3)-a₁*(w₁*w₁')-a₂*(w₂*w₂'));

q_g = q (1) ;

q_x = [q (2);q (3);q (4)] ;

q_x_trans = [-q_x (3), q_x (2), q_x (1)]' ;

q_skew= [0, -q_x (1), q_x (2);

q_x (1), 0, q_x (3);

— q_x (2), -q_x (3), 0 ];

C = [q_skew + eye (3)*q_g,-q_x_trans;q_x_trans', q_g ] ;

zero_vec =zeros (3,1);

P_q = C*[0,zero_vec';zero_vec, P_Q]*C';

P_q = 0.5*(P_q +P_q'); trP=trace (P_q);

Рисунок 2.1 — Зображення реалізації QUEST алгоритму блок-схемою

,

2.2 Оцінка точності роботи алгоритма QUEST

Для оцінки точності QUEST був написаний алгоритм:

clc;clear all; i=1:10;

a (i)=sin (i);% задамо тип збурень для перевірки роботи алгоритму

for i=1:10

v1=a (i)*3*10^-5; r1(i)=v1; v2=a (i)*-4*10^-5; r2(i)=v2; v3=a (i)*-5*10^-5; r3(i)=v3;

v₁=[v1;v2;v3]; % Mag_meas

v₂=a (i)*[-2*10^-5;-1*10^-5;-4*10^-5]; % Sun_meas

w₁=a (i)*[-2*10^-5;-1*10^-5;-4*10^-5]; % Mag_orb

w₂=a (i)*[-2*10^-5;10^-5;-4*10^-5]; % Sun_orb

a₁=a (i)*2*10e+2; % ваговий коефіціент

a₂=a (i)*2*10e+1; % ваговий коефіціент

sigma₁=0.02; % відхилення похибок вимірювань

sigma₂=0.1; % відхилення похибок вимірювань

[q_quest] = QUEST (v₁, v₂, w₁, w₂, a₁, a₂, sigma₁, sigma₂);% QUEST алгоритм

[yaw (i) pitch (i) roll (i)]= quat2angle (q_quest');

plot (10E4*r1,'g');hold on; plot (10E4*r2,'-.g'); hold on; plot (10E4*r3,'—gs');hold on;

plot (yaw,'b');hold on; plot (pitch,'-.b');hold on; plot (roll,'—bs');hold on;

legend ('MEASERMENT','','','QUEST','','','Location','NorthEast');

title ('QUEST ALGORITHM');xlabel ('Time samples')

;ylabel ('Estimation results');

end

На вхід подаємо синусоїду. Задаємо векторами значення параметрів з магнітометра і датчика координат сонця в зв’язаній і орбітальній системах координат, а також задаємо значення похибок вимірювання даних датчиків. Підбором задаємо вагові коефіцієнти, підбір проводиться до тих пір, доки ми на графіку не отримаємо результат, який нас задовольнить. Далі виводимо на графік сигнали крену тангажу і рискання реальні та при проходженні через алгоритм QUEST. Даний графік має вигляд:

Рисунок — Точність роботи QUEST (m0=1.5*10e+2)

На графіку зображені три різні ліній, які відображують сигнали крену, тангажу і рискання відповідно.

3. Оцінка кутової орієнтації мікросупутника

Для розробки алгоритму оцінювання кутової орієнтації мікросупутника потрібно знати модель орбітального руху землі і моделі отримання даних з магнітометра і датчика координат сонця (ДКС). Для їх розробки скористаємося пакетом для числового аналізу MATLAB, зокрема його частиною Simulink.

3.1 Моделі орбітального руху супутника, магнітометра і датчика координат сонця

Модель орбітального руху супутника.

Вважатимемо, що мікросупутник (далі - супутник) рухається по коловій орбіті. Орбітальну СК ОХ_оY_оZ_о введемо наступним чином (рис. 3.1): точка О — знаходиться в центрі мас супутника, вісь ОХ_о направлена по вектору лінійної швидкості, ОZ_о спрямована до центру Землі, а вісь ОY_о — доповнення до правої СК.

Рисунок 3.1

Позначимо як орбітальну кутову швидкість. Тоді в орбітальній СК вектор кутової швидкості руху орбітальної СК відносно інерційного просто рівний:

.

Повні рівняння руху супутника мають вигляд:

де — кватерніон; - абсолютна кутова швидкість супутника:, де — кутова швидкість супутника в орбітальній СК, а — матриця напрямних косинусів; - тензор інерції; - гравітаційний момент; - момент керування створений магнітними котушками; - момент збурень, які виникають завдяки залишковій атмосфері, сонячному вітрі, залишковій намагніченості супутника.

На основі цього була побудована модель орбітального руху супутника в середовищі MATLAB.

Модель магнітометра

В технічному завданні даний трикомпонентний ферозондовий магнітометр постійного поля LEMI-011. Областями його застосування є вимірювання компонентів магнітного поля, ферозондовий компас, орієнтування і т. д. Характеристики LEMI-011 наведені в таблиці 3.1.

Таблиця 3.1. Характеристики трикомпонентного ферозондового магнітометра

Він був закладений в основу моделі магнітометра, яка була розроблена в середовищі MATLAB.

Модель датчика координат сонця В технічному завданні даний датчик координат сонця SS-411 (рис. 3.2). Його точність діапазону вимірювання, дає 5 векторних вимірювань в секунду, розмір 34×32×21мм, вага — 34 гр.

Рисунок 3.1 — Зображення датчика координат сонця SS-411

Він був закладений в основу моделі ДКС, яка була розроблена в середовищі MATLAB.

3.2 Числовий аналіз кутової орієнтації мікросупутника

Побудуємо схему для оцінки кутової орієнтації мікросупутника, яка включає моделі мікросупутника, магнітометра і датчика координат сонця і сам алгоритм QUEST в середовищі MATLAB:

clc

clear all

type = 'Dnipro'

Ix = 0.3; % kg*m²

Iy = 0.3; % kg*m² -тензор інерції

Iz = 0.05; % kg*m² /

J = [Ix 0 0;%тензор інерції

0 Iy 0;

0 0 Iz];

Tp=200;

zeta=1/sqrt (2);

om_n=2/zeta/Tp;

D=zeta*om_n*diag ([1 1 1]);

k=2*om_n²*diag ([1 1 1]);

K_RW = [k, D];

%+======= Keplerian ============

% i= 98*pi/180; % rad % Orbital Inclination (нахил орбіти)

% Om= 105*pi/180; % rad % Right Ascension of Ascending Node (пряме сходження висхідного вузла)

% om= 0*pi/180; % rad % Argument of Perigee (аргумент перигелію)

% e=0.0; %Eccentricity (ексцентриситет)

% a=6.937e3; % km % semimajor axis (велика напіввісь)

% M=50*pi/180; % rad % mean anomaly (середня аномалія)

%keplerian = [i, Om, om, e, a, M]; clear i Om om e a M

Ts=1;

%———————————————————-;

re_earth = 6 378 137; % Equatorial radius of the Earth

a_earth = 6.37 8137e6; % Equatorial radius of the Earth

height = 650.00e3; % Height of the satellite above surface

r_sat = a_earth + height; % Distance from satellite to ECI center

G_const = 6.6720e-11; % Gravitational Constant

M_earth = 5.9742e24; % Mass of the Earth

my_g = G_const*M_earth; % Earth Gravitational Constant

wo = sqrt (my_g/(r_sat³)); % Satellite Angular Velocity

N=1;

sigma₁=0.02; % похибки вимірювань

sigma₂=0.1; % похибки вимірювань

На Scope виводяться графіки оцінки моделювання сигналів крену, тангажа і рискання відповідно:

1.Крен:

В приближенні:

З графіка видно, що оцінювання відбувається з похибкою в межах 0 — 0,3.

2. Тангаж:

В приближенні:

Бачимо, що оцінювання сигналу тангажа відбувається з похибкою в межах 0 — 1.

3. Рискання

В приближенні:

На графіка видно, що похибка оцінювання сигналу рискання варіюється в межах 0 — 0.6.

Висновки

Курсова робота спрямована на розробку алгоритма оцінювання кутової швидкості руху мікросупутника QUEST. В процесі виконання даного завдання було зроблено:

— порівняльний аналіз деяких існуючих алгоритмів оцінювання кутової орієнтації мікросупутника, що дозволило визначити актуальність використання QUEST для оцінювання кутової орієнтації мікросупутника;

— теоретичний опис QUEST, який дозволив написати алгоритм роботи даного метода в пакеті для числового аналізу MATLAB.

— побудовано модель мікросупутника разом з магнітометром і датчиком координат сонця в середовищі Simulink, і в ній для оцінки кутової орієнтації був використаний QUEST. Дана модель відповідає реальному мікросупутнику, а QUEST в повній мірі забезпечує адекватну оцінку точності кутової орієнтації мікросупутника.

Список літератури

1. Космонавтика. Энциклопедия. — М.: Сов. энциклопедия, 1985. — С. 280−281.

2. Павловський М. А., Горбулін В.П., Клименко О. М. Системи керування обертальним рухом космічних апаратів. Підручник. — К.: Наукова думка, 1997. — С. 200.

3. Daniel Choukroun. Novel methods for attitude determination using vector observations. — Research Thesis. Haifa: May 2003.

4. Xiaoping Yun, Fellow, IEEE, Eric R. Bachmann, Member, IEEE, and Robert B. McGhee, Life Fellow, IEEE. A Simplified Quaternion-Based Algorithm for Orientation Estimation From Earth Gravity and Magnetic Field Measurements. — 2008.

5. Flight Mechanics/ Estimation Theory Symposium 1996. Scott A. Greatorex, Editor Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland

6. Конспект по дисципліні Системи керування ЛА-2. Лектор Мелащенко О. М.