Відкриті резонатори

Реферат на тему:

Відкриті резонатори.

Це резонатори на основі відкритих ліній передач. Вони мають електромагнітний контакт з відкритим простором. Звичайно використовуються в лазерах сферичні діелектричні резонатори. Нас цікавлять шари діелектрика для лінії $$\text{~}$$. Тут не можна використовувати геометричні наближення, потрібно розв’язувати рівняння Максвела.

Розв’яжемо рівняння Максвела для сферичного діелектричного резонатора. Тут потрібно використати ССК:

$$\stackrel{}{H}+k^2\stackrel{}{H}=0$$, $$\mathit{}+k^2\stackrel{}{E}=0$$ .

В сферичній СК не можна перейти до скалярних рівнянь звичайним чином. Використовують заміну: $$E_r=\frac{{}^{2}U}{r^2}+k^{2}U$$, $$E_{}=\frac{1}{r}\frac{{}^{2}U}{r}$$, $$E_{}=\frac{1}{\text{rSin}}\frac{{}^{2}U}{r}$$, $$H_r=0$$, $$H_{}=-\frac{\text{ik}}{\text{rSin}}\frac{U}{}$$, $$H_{}=\frac{\text{ik}}{r}\frac{U}{}$$ .

Це — ТМ чи Е — заміна, оскільки $$H_r=0$$. Аналогічно можна зробити Н — заміну:

$$\{\begin{array}{c}{H}_r=\frac{{}^{2}V}{r^2}+k^{2}V\\ E_r=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\end{array}$$.

Ми будемо використовувати Е — заміну, перейшовши до потенціалу $$U$$, в результаті одержимо: .

Щоб отримати саме хвильове рівняння, де була б ще й похідна $$\frac{{}^{2}U}{r^2}$$, необхідно зробити заміну: $$\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{U}^{\text{'}}+k^{2}U\end{array}}^{\text{'}}=0\\ \\ V^{\text{'}}+k^{2}V\\ |\begin{array}{c}V=r{V}^{\text{'}}\\ U=r{U}^{\text{'}}\end{array}=>\{\text{'}=0\end{array}$$. Потенціали $$V^{\text{'}}$$ та $$U^{\text{'}}$$ називають потенціалами Дебаю. Вони мають методичне значення. Розв’яжемо простіше рівняння для $$U$$ та $$V$$ — методом відокремлених змінних: $$U\left(r,,\right)=R\left(r\right)Y\left(,\right)$$ тоді $$\{\begin{array}{c}\frac{1}{\text{Sin}}\frac{}{}\left(\text{Sin}\frac{Y}{}\right)+\frac{1}{{\text{Sin}}^2}\frac{{}^{2}Y}{{}^2}+\mathit{}=0\\ [\begin{array}{c}\frac{d^{2}R}{{\text{dr}}^2}+\left(k^2-\frac{}{r^2}\right)R=0r<=a\\ \frac{d^{2}R}{{\text{dr}}^2}+\left(k^2-\frac{}{r^2}\right)R=0r>=a\end{array}\end{array}$$ .

Рівняння для $$Y$$ — це рівняння Лежандра. Його розв’язки — поліноми Лежандра. Рівняння для $$R$$ можна звести до рівняння Бесселя заміною $$\begin{array}{c}x=\text{kr}\sqrt{},r<=a\\ x^{\text{'}}=\text{kr},r>=a\end{array}=>\frac{d^{2}R}{{\text{dx}}^2}+\left(1-\frac{}{x^2}\right)R=0$$. Це рівняння для сферичних функцій Бесселя (або функцій Бесселя напівцілого вигляду). Стандартний вигляд рівняння: $$\frac{d^{2}R}{{\text{dx}}^2}+\left(1-\frac{\left(+1\right)}{x^2}\right)R=0$$, його розв’язки $$\left(=\left(+1\right)\right)$$ :

$$\begin{array}{c}R=\sqrt{\frac{\mathit{}}{2}}{J}_{+\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\left(x\right),r<=a={}_{}\left(x\right)\\ R=\sqrt{\frac{x^{\text{'}}}{2}}{H}_{+\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}^{(2)}\left(x^{\text{'}}\right),r>=a=h_{}^{(2)}\left(x^{\text{'}}\right)\end{array}$$ .

Таким чином розв’язки:

$$\begin{array}{c}{U}^i={\mathit{A}}_{}\left(k\sqrt{}r\right)P_{}\left(\text{Cos}\right)r<=a\\ U^e={\text{Bh}}_{}^{\left(2\right)}\left(\text{kr}\right)P_{}\left(\text{Cos}\right)r>=a\end{array}$$ .

Щоб використати граничні умови, необхідно виразити $$E_{}$$, $$E_{}$$ через $$U$$ .

$$E_{}^i=E_{}^e{|}_{r=a}$$, $$E_{}^i=E_{}^e{|}_{r=a}$$.

отримаємо два рівняння для, А та В, причому, А і В будуть відмінні від нуля лише тоді, коли $$\text{det}$$ системи рівна нулю. Користуючись виразами для $$E_{}$$ та $$E_{}$$, отримаємо: $$\begin{array}{c}\left(2\right)\\ \text{ka}\\ \sqrt{\frac{}{}}\frac{{}_{}^{\text{'}}\left(k\sqrt{}a\right)}{{}_{}\left(k\sqrt{}a\right)}=\frac{h_{}^{}()}{h_{}^{\left(2\right)}\left(\text{ka}\right)}\end{array}$$ з цього рівняння отримаємо $$k\left\{k_{\text{рез}1},k_{\text{рез}2},\text{.}\text{.}\text{.}\right\}$$. Для $$,\text{>>}1$$: $$k_{\text{рез}1}\sqrt{}a==>{}_{{\text{хв}}_{\text{рез}}}=\frac{}{\sqrt{}}=D=2a$$. Поле має вигляд:

Таким чином, поля тут ідуть таким же чином, як і в кільці, по якому біжить струм.

Це була строга, точна теорія резонаторів сферичної форми. Проте, їх важко виготовляти, вони незручні у використанні. Використовують:

Розрахувати таку систему неможливо, бо немає регулярних граничних умов (наприклад при $$x=0$$).

Можна вважати, що резонансна частота є проміжним значенням між резонансною частотою у вписаній та описаній кулі.

Відмінність формування граничних умов:

$$a)$$ — регулярна гранична умова $$E^i=E^e{|}_{r=a}$$.

$$b)$$ — нерегулярна гранична умова $$E^i=E^e{|}_{\begin{array}{c}x=0\\ 0<y<a\\ 0<z<a\end{array}}$$.

Коли є металева поверхня, можна записати $$E_{}{|}_{y=o}=0$$. Це так звані електричні стінки.