Дослідження математичних моделей оптимізації обслуговування складних систем

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Криворізький інститут Кременчуцького університету економіки, інформаційних технологій і управління Кафедра технічної кібернетики ДИПЛОМНА РОБОТА зі спеціальності7.91 402 «Гнучкі комп’ютеризовані системи та робототехніка»

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

«Дослідження математичних моделей оптимізації обслуговування складних систем»

Студента групи ГКС-06-д

Соколовської Ольги Вікторівни

Керівник роботи ст. викл.

Кислова Марія Алімівна

Консультанти:

з економічної частини доц., к.е.н. Тимко Є.В.

з охорони праці доц., к.т.н. Климович Г. Б.

нормоконтроль ст. викл. Супрунова Ю. А.

Завідувач кафедри ТК доц., к.т.н. Старіков О.М.

Кривий Ріг 2011

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Криворізький інститут Кременчуцького університету економіки, інформаційних технологій і управління Кафедра технічної кібернетики Спеціальність 7.91 402 «Гнучкі комп’ютеризовані системи та робототехніка»

ЗАТВЕРДЖУЮ Зав. кафедрою доц., к.т.н. Старіков О.М.

" 1 «листопада 2010 р.

ЗАВДАННЯ на дипломну роботу студента

Соколовської Ольги Вікторівни

1. Тема роботи: Дослідження математичних моделей оптимізації обслуговування складних систем

затверджена наказом по інституту від «29 «жовтня 2010 р. № 55С-01

2. Термін здачі студентом закінченої роботи 25.05.11. _

3. Вхідні дані до роботи: Вимоги до кінцевого програмного продукту, вихідні масиви даних, матеріали наукових досліджень, нормативні документи

4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, що підлягають розробці): Постановка завдання; Основні поняття теорії та практики моделювання складних систем; Теоретичне дослідження математичних моделей стратегій обслуговування; Опис функціональних можливостей та програмної реалізації проектованої системи; Економічне обґрунтування доцільності розробки програмного продукту; Охорона праці.

5. Перелік графічного матеріалу (з точними вказівками обов’язкових креслень)

1. Схематичне зображення відношень між системою та моделлю

2. Основні типи моделей

3. Загальна схема ідентифікації системи

4. Діаграми переходів процесу x (t) (для різних типів стратегій)

5. Логіко-функціональна схема роботи системи

6. Алгоритми програмної реалізації

7. Приклади робочих вікон системи

8. Приклад звіту

6. Консультанти з роботи, з вказівками розділів роботи, що належать до них

7. Дата видачі завдання 01.11.10 р.

Керівник (підпис) Завдання прийняв до виконання (підпис) КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН

Студент-дипломник (підпис) Керівник роботи (підпис)

Анотація Метою даної дипломної роботи є створення системи експериментального дослідження математичних моделей оптимізації обслуговування складних систем.

Розроблений програмний продукт може бути застосований для визначення критеріїв оптимізації обслуговуваних систем та надання рекомендацій щодо часу проведення попереджувальної профілактики. Розрахунок проводився з використанням непараметричного методу, що заснований на статистичних даних.

Розділів 6, схем та рисунків 17, таблиць 15, бібліографічних посилань 36, загальний обсяг — 106.

Аннотация Целью данной дипломной работы является создание системы экспериментального исследования математических моделей оптимизации обслуживания сложных систем.

Разработанный программный продукт может быть применен для определения критериев оптимизации обслуживаемых систем и выдачи рекомендаций относительно времени проведения предупредительной профилактики. Расчет проводился с использованием непараметрического метода, который основан на статистических данных.

Разделов 6, схем и рисунков 17, таблиц 15, библиографических ссылок 36, общий объем — 106.

The summary

The purpose of the given diploma work is creation of the experimental research system of the difficult systems mathematical models of maintenance optimization.

The developed software product can be applied for determination of the served systems optimization criteria and delivery of recommendations in relation to time of preventive prophylaxis leadthrough. A calculation was conducted with the use of unparametric method which is based on statistical information.

Sections 6, circuits and figures 17, tables 15, bibliographic references 36, total amount — 106.

Зміст

• Вступ
• 1. Постановка завдання
• 1.1 Найменування та галузь застосування
• 1.2 Підстава для створення
• 1.3 Характеристика розробленого програмного забезпечення
• 1.4 Мета й призначення
• 1.5 Загальні вимоги до розробки
• 1.6 Джерела розробки
• 2. Основні поняття теорії та практики моделювання складних систем
• 2.1 Поняття системи
• 2.2 Співвідношення між моделлю та системою
• 2.3 Класифікація моделей
• 2.4 Вимоги до моделей
• 2.5 Основні види моделювання
• 2.6 Формальні методи побудови моделей
• 2.7 Кібернетичний підхід
• 2.8 Принципи побудови моделей
• 2.9 Технологія моделювання
• 3. Теоретичне дослідження математичних моделей стратегій обслуговування
• 3.1 Загальний огляд математичних моделей
• 3.2 Стратегія A — самостійний прояв відмови
• 3.3 Стратегія В — миттєва індикація відмови
• 3.4 Стратегія С - стратегія зберігання
• 3.5 Стратегія D — обслуговування при довільному розподілі часу індикації відмов
• 4. Опис функціональних можливостей та програмної реалізації проектованої системи
• 4.1 Предметна область і задачі, покладені на проектовану систему
• 4.2 Логіко-функціональна схема роботи системи
• 4.3 Розробка алгоритмів та програмна реалізація
• 4.4 Опис інтерфейсу користувача
• 5 Економічне обгрунтовання доцільності розробки програмного продукту
• 6. Охорона праці
• 6.1 Аналіз небезпечних і шкідливих факторів в приміщені обчислюва-льного центру
• 6.2 Заходи щодо нормалізації шкідливих і небезпечних факторів
• 6.3 Пожежна безпека
• Висновки
• Список літератури
• Додаток, А — Приклад звіту

Вступ

З давніх часів людина використовує моделювання для дослідження об'єктів, процесів та явиш в різних галузях своєї діяльності. Результати цих досліджень допомагають визначити та покращити характеристики реальних об'єктів та процесів, краще зрозуміти сутність явищ та пристосуватись до них або керувати ними, конструювати нові та модернізувати старі об'єкти. Моделювання допомагає людині приймати обґрунтовані рішення та передбачати наслідки своєї діяльності.

Поняття комп’ютерного моделювання відображає використання в цьому процесі комп’ютера, як потужного сучасного засобу обробки інформації. Завдяки комп’ютеру суттєво розширюються галузі застосування моделювання, а також забезпечується всебічний аналіз отриманих результатів.

Модель — це штучно створений людиною абстрактний або матеріальний об'єкт. Аналіз та спостереження моделі дозволяє пізнати сутність реально існуючого складного об'єкта, процесу чи явища, що називаються прототипами об'єкта. Таким чином, модель — це спрощене уявлення про реальний об'єкт, процес чи явище, а моделювання — побудова моделей для дослідження та вивчення об'єктів, процесів та явищ.

У практиці експлуатації технічних систем часто виникають ситуації, при яких неможливо зібрати досить статистичних даних про їх відмови, несправності або передумови до появи відмов або несправностей. Це, наприклад, має місце, якщо експлуатується нова система, або в тих випадках, коли існуючими методами контролю і діагностики не вдається виявити виникнення деяких несправностей або передумов до несправностей або відмов. Виникає завдання такої організації перевірок, при якій із заданою упевненістю будуть виявлені виниклі в системі відмови, а час перебування системи в стані відмови (несправності, передумови до несправності або відмови) в середньому найменший. При цьому природно припустити, що такі моделі перевірок різні залежно від наявної інформації про надійність системи і тим краще, ніж більша інформація є про надійність системи.

На практиці при великому числі однотипних систем, що знаходяться в експлуатації, організація перевірок кожної з них в розрахунковий оптимальний час при обмеженнях на засоби контролю і кількість обслуговуючого персоналу, що часто має місце, зустрічає великі труднощі. Тому необхідно, з одного боку, автоматизувати процес видачі рекомендацій про проведення перевірок, а з іншою — організувати процедуру перевірок так, щоб перевірки проводилися в розрахунковий час з найменшими втратами, пов’язаними з простоями персоналу і засобів обслуговування, переміщеннями засобів обслуговування або їх комутацією.

Під програмою експлуатації системи розуміють сукупність взаємозв'язаних по місцю, часу і змісту робіт, які забезпечують зберігання, транспортування і підтримку системи в заданому стані для застосування її за призначенням. Роботам по технічному обслуговуванню в програмах експлуатації відводиться значне місце.

Оптимальна програма експлуатації полягає в забезпеченні якнайкращого застосування системи за призначенням при виконанні обслуговуючим персоналом фіксованого об'єму робіт під час її експлуатації. Для створення оптимальних програм експлуатації застосовують сучасні математичні методи і обчислювальні засоби. Оптимальні програми експлуатації, по суті, є, оптимальними програмами управління в загальній постановці завдання управління.

У даній дипломній роботі розглядається знаходження часу планової попереджувальної профілактики і оптимальних значень характеристик на прикладі чотирьох стратегій обслуговування.

1. Постановка завдання

1.1 Найменування та галузь застосування

Найменування розробки: система експериментального дослідження математичних моделей оптимізації обслуговування складних систем.

Розроблений в процесі виконання експериментальних досліджень програмний продукт може бути застосований для визначення критеріїв оптимізації обслуговуваних систем та рекомендацій щодо часу проведення попереджувальної профілактики.

1.2 Підстава для створення

Підставою для розробки є наказ № 55С-01 від 29 жовтня 2010 р. по Криворізькому інституту КУЕІТУ.

Початок робіт: 01.11.10. Закінчення робіт: 25.05.11.

1.3 Характеристика розробленого програмного забезпечення

Розроблене програмне забезпечення створено в середовищі Delphi, що дозволяє наочно продемонструвати результати проведених досліджень. Вибір середовища реалізації пов’язаний з можливістю створення максимально гнучкого і привабливого інтерфейсу користувача.

Розрахунок проводився з використанням непараметричного методу, що заснований на статистичних даних.

У програмі реалізований вибір стратегій обслуговування, демонстрація теоретичних відомостей, ввід початкових даних та виведення результатів обчислень.

Система також дозволяє зберегти звіт про проведені дослідження в файл формату MS Word.

1.4 Мета й призначення

Метою даної дипломної роботи є створення системи експериментального дослідження математичних моделей оптимізації обслуговування складних систем.

Розроблене в результаті виконання дипломної роботи програмне забезпечення призначене для розрахунку оптимізації за наступними критеріями:

· коефіцієнт готовності;

· середні питомі втрати;

· середній питомий прибуток;

· вірогідність виконання завдання.

Також система дозволяє проводити розрахунок часу проведення попереджувальної профілактики для чотирьох стратегій обслуговування.

1.5 Загальні вимоги до розробки

Вимоги до програмного забезпечення:

· Робота в середовищі операційних систем Windows 2000/XP/7;

· Простота й зрозумілість інтерфейсу.

Додаткове програмне забезпечення: встановлення пакету MS Office.

Мінімальні вимоги до апаратного забезпечення:

· IBM-сумісний комп’ютер, не нижче Pentium IІ, RAM-128Mb, SVGA-800*600*16bit;

· Вільний простір на жорсткому диску не менш 2 Мб.

1.6 Джерела розробки

Джерелами розробки дипломної роботи є:

· довідкова література;

· наукова література;

· технічна література;

· програмна документація.

2. Основні поняття теорії та практики моделювання складних систем

2.1 Поняття системи

Основними поняттями в теорії і практиці моделювання об'єктів, процесів і явищ є «система» та «модель».

У перекладі з грецької «система» — ціле, яке складається із частин; об'єднання. Термін «система» існує вже більш ніж два тисячоліття, проте різні дослідники визначають його по-різному. На сьогодні існує понад 500 визначень терміну «система». Однак, використовуючи будь-яке з них, у першу чергу потрібно мати на увазі ті завдання, які ставить перед собою дослідник. Системою може бути і один комп’ютер, і автоматизована лінія або технологічний процес, в яких комп’ютер є лише одним із компонентів, і все підприємство або кілька різних підприємств, які функціонують як єдина система в одній галузі промисловості. Те, що один дослідник визначає як систему, для іншого може бути лише компонентом більш складної системи.

Для всіх визначень системи загальним є те, що система — це цілісний комплекс взаємопов'язаних елементів, який має певну структуру і взаємодіє із зовнішнім середовищем. Структура системи — це організована сукупність зв’язків між її елементами. Під таким зв’язком розуміють можливість впливу одного елемента системи на інший. Середовище — це сукупність елементів зовнішнього світу, які не входять до складу системи, але впливають на її поведінку або властивості. Система є відкритою, якщо існує зовнішнє середовище, яке впливає на систему, і закритою, якщо воно відсутнє, або з огляду на мету досліджень не враховується.

Одне з перших визначень системи (1950 рік) належить американському біологу Л. фон Берталанфі, згідно з яким система складається з деякої кількості взаємопов'язаних елементів.

Оскільки між елементами системи існують певні взаємозв'язки, то мають бути структурні відношення. Таким чином, система — це щось більше, ніж сукупність елементів. Аналізуючи систему, потрібно враховувати оцінку системного (синергетичного) ефекту. Властивості системи відмінні від властивостей її елементів, і залежно від властивостей, якими цікавляться дослідники, та ж сама сукупність елементів може бути системою або ні.

Багато дослідників визначають систему як цілеспрямовану множину взаємопов'язаних елементів будь-якої природи. Згідно з цим визначенням система функціонує для досягнення деякої мети. Це визначення є правильним для соціологічних і технічних систем, але не підходить для систем навколишньої природи (наприклад, біологічних), мета функціонування яких не завжди відома.

Одне з важливих визначень системи пов’язане з абстрактною теорією систем, у рамках якої, на відміну від інших рівнів опису систем, використовуються такі рівні абстрактного опису:

· символічний, або лінгвістичний;

· теоретико-множинний;

· абстрактно-алгебричний;

· топологічний;

· логіко-математичний;

· теоретико-інформаційний;

· динамічний;

· евристичний.

Найвищий рівень абстрактного опису систем — лінгвістичний; ґрунтуючись на ньому, можна одержати всі інші рівні. На цьому рівні вводиться поняття предметної області, для опису якої застосовуються алгебричні моделі, з якими пов’язана деяка мова. Для опису предметної області цією мовою використовуються два рівні формальних мов, за допомогою яких будують логіко-алгебричну модель предметної області. На цій моделі підтверджуються методи дослідження за допомогою формального апарату, яким можуть бути теорії, побудовані у вигляді істинних висловлювань з усієї множини висловлювань.

Таким чином, система — це окремий випадок теорії, описаний формальною мовою, яка уточнюється до мови об'єктів. Для визначення деякого поняття використовують певні символи (алфавіт) і встановлюють правила оперування ними. Сукупність символів і правил користування ними утворює абстрактну мову. Поняття, висловлене абстрактною мовою, означає будь-яке речення (формулу), побудоване за граматичними правилами цієї мови. Припускають, що таке речення містить варійовані змінні, так звані конституенти, які, маючи тільки певні значення, роблять дане висловлювання істинним.

2.2 Співвідношення між моделлю та системою

З огляду на вищеописане модель — це абстракція; вона відображає лише частину властивостей системи, і мета моделювання — визначення рівня абстрактного опису системи, тобто рівня детальності її подання.

Модель і система знаходяться в деяких відношеннях, від яких залежить ступінь відповідності між ними. На міру відповідності між системою та моделлю вказують поняття ізоморфізму та гомоморфізму. Система та модель є ізоморфними, якщо існує взаємооднозначна відповідність між ними, завдяки якій можна перетворити одне подання на інше. Строго доведений ізоморфізм для систем різної природи дає можливість переносити знання з однієї галузі в іншу. За допомогою теорії ізоморфізму можна не тільки створювати моделі систем і процесів, але й організовувати процес моделювання.

Однак існують і менш тісні зв’язки між системою та моделлю. Це так звані гомоморфні зв’язки, які визначають однозначну відповідність лише в один бік — від моделі до системи. Система та модель є ізоморфними тільки в разі спрощення системи, тобто скорочення множини її властивостей (атрибутів) і характеристик поведінки, які впливають на простір станів системи. Зазвичай модель простіша за систему.

На рис. 2.1 схематично зображено різницю ізоморфної та гомоморфної залежностей між системою та моделлю.

Рис. 2.1 Схематичне зображення відношень між системою та моделлю Отже, аналогія, абстракція та спрощення — це основні поняття, які використовуються під час моделювання систем.

2.3 Класифікація моделей

Для того щоб визначити види моделей, перш за все потрібно окреслити ознаки класифікації. У сучасній літературі описано сотні визначень поняття «модель» та їх класифікацій. Одну з перших, досить повних, класифікацій моделей було запропоновано Дж. Форрестером у 1961 році.

Якщо враховувати, що моделювання — це метод пізнання дійсності, то основною ознакою класифікації можна назвати спосіб подання моделі. За цією ознакою розрізняють абстрактні та реальні моделі (рис. 2.2). Під час моделювання можливі різні абстрактні конструкції, проте основною є віртуальна (уявна) модель, яка відображає ідеальне уявлення людини про навколишній світ, що фіксується в свідомості через думки та образи. Вона може подаватись у вигляді наочної моделі за допомогою графічних образів і зображень.

Рис. 2.2 Основні типи моделей Наочні моделі залежно від способу реалізації можна поділити на двоабо тримірні графічні, анімаційні та просторові. Графічні та анімаційні моделі широко використовуються для відображення процесів, які відбуваються в модельованій системі. Графічні моделі застосовуються в системах автоматизованого проектування (computer-aided design, CAD). Для відтворення тримірних моделей за допомогою комп’ютера існує багато графічних пакетів, найбільш поширені з яких Corel DRAW, 3D Studio Max i Maya. Графічні моделі є базою всіх комп’ютерних ігор, а також застосовуються під час імітаційного моделювання для анімації.

Щоб побудувати модель у формальному вигляді, створюють символічну, або лінгвістичну, модель, яка відповідала б найвищому рівню абстрактного опису, як це було зазначено вище. На базі неї отримують інші рівні опису.

Основним видом абстрактної моделі є математична модель. Математичною називається абстрактна модель, яка відображає систему у вигляді математичних відношень. Як правило, йдеться про систему математичних співвідношень, що описують процес або явище, яке вивчається; у загальному розумінні така модель є множиною символічних об'єктів і відношень між ними. Як відзначає Г.І. Рузавін у праці, «до сих пор в конкретных приложениях математики чаще всего имеют дело с анализом величин и взаимосвязей между ними. Эти взаимосвязи описываются с помощью уравнений и систем уравнений», через що математична модель звичайно розглядається як система рівнянь, в якій конкретні величини замінюються математичними поняттями, постійними і змінними величинами, функціями.

Як правило, для цього застосовуються диференціальні, інтегральні та алгебричні рівняння. Розвиток нових розділів математики, пов’язаних з аналізом нечислових структур, досвід їх використання під час проведення досліджень свідчать, що потрібно розширювати уявлення про мову математичних моделей. Тоді математична модель визначатиметься як будь-яка математична структура, де об'єкти, а також відношення між ними можна буде інтерпретувати по-різному, наприклад як функції або функціонали.

На відміну від абстрактних, реальні моделі існують у природі, й з ними можна експериментувати. Реальні моделі — це такі, в яких хоча б один компонент є фізичною копією реального об'єкта. Залежно від того, в якому співвідношенні знаходяться властивості системи та моделі, реальні моделі можна поділити на натурні та макетні.

Натурні (фізичні) моделі - це існуючі системи або їх частини, на яких провадяться дослідження. Натурні моделі повністю адекватні реальній системі, що дає змогу отримувати високу точність і достовірність результатів моделювання. Суттєві недоліки натурних моделей — це неможливість моделювання критичних і аварійних режимів їх роботи та висока вартість.

Макетні моделі - це реально існуючі моделі, які відтворюють модельовану систему в певному масштабі. Іноді такі моделі називаються масштабними. Параметри моделі та системи відрізняються між собою. Числове значення цієї різниці називається масштабом моделювання, або коефіцієнтом подібності. Ці моделі розглядаються в рамках теорії подібності, яка в окремих випадках передбачає геометричну подібність оригіналу й моделі для відповідних масштабів параметрів. Найпростіші макетні моделі — це пропорційно зменшені копії існуючих систем які відтворюють основні властивості системи або об'єкта залежно від мети моделювання. Макетні моделі широко використовуються під час вивчення фізичних та аеродинамічних процесів, гідротехнічних споруд і багатьох інших технічних систем.

За можливістю змінювати в часі свої властивості моделі поділяються на статичні та динамічні. Статичні моделі, на відміну від динамічних, не змінюють своїх властивостей у часі. Динамічні моделі також називаються імітаційними.

Залежно від того, яким чином відтворюються в часі стани моделі, розрізняють дискретні, неперервні й дискретно-неперервні (комбіновані) моделі. За відношеннями між станами системи й моделі розрізняють детерміновані й стохастичні моделі. Останні, на відміну від детермінованих моделей, враховують імовірнісні явища й процеси.

2.4 Вимоги до моделей

У загальному випадку під час побудови моделі потрібно враховувати такі вимоги:

· незалежність результатів розв’язання задач від конкретної фізичної інтерпретації елементів моделі;

· змістовність, тобто здатність моделі відображати істотні риси і властивості реального процесу, який вивчається і моделюється;

· дедуктивність, тобто можливість конструктивного використання моделі для отримання результату;

· індуктивність — вивчення причин і наслідків, від окремого до загального, з метою накопичення необхідних знань.

Оскільки модель створюється для вирішення конкретних завдань, розробник моделі має бути впевненим, що не отримає абсурдних результатів, а всі одержані результати відображатимуть необхідні для дослідника характеристики та властивості модельованої системи. Модель повинна дати можливість знайти відповіді на певні запитання, наприклад: «що буде, якщо …», оскільки вони є найбільш доцільними під час глибокого вивчення проблеми. Не варто забувати, що системні аналітики використовують модель для прийняття рішень і пошуку найкращих способів створення модельованої системи або її модернізації. Завжди потрібно пам’ятати, що користувачем інформації, отриманої за допомогою моделі, є замовник. Недоцільно розробляти модель, якщо її не можна буде використовувати.

Більш того, робота з моделлю має бути автоматизованою для замовника до такого ступеня, щоб він міг працювати з нею в межах своєї предметної області. Таким чином, між моделлю і користувачем повинен бути розвинутий інтерфейс, який звичайно створюється за допомогою системи меню, налагодженої на застосування моделі в певній галузі.

Ступінь деталізації моделі потрібно вибирати з огляду на цілі моделювання, можливості отримання необхідних вхідних даних для моделі та з урахуванням наявних ресурсів для її створення. Відсутність кваліфікованих фахівців може звести роботи зі створення моделі нанівець. З іншого боку, чим детальніше розроблено модель, тим вона стійкіша до вхідних впливів, які не були передбачені під час проектування, і на більшу кількість запитань може дати правильні відповіді.

2.5 Основні види моделювання

Єдина класифікація видів моделювання неможлива через багатозначність поняття моделі в науці, техніці, суспільстві. Широко відомими видами моделювання є комп’ютерне, математичне, імітаційне та статистичне. На жаль, різні джерела по-різному трактують ці поняття.

Комп’ютерне моделювання визначимо як реалізацію моделі за допомогою комп’ютера. Особливістю комп’ютерного моделювання є його інтерактивність, що дає змогу користувачу втручатися в процес моделювання та впливати на результати завдяки узгодженості дій користувача і моделі, яка відтворює об'єкти реального середовища або гіпотетичні події та процеси. Під час комп’ютерного моделювання може бути задіяно реальні об'єкти (наприклад, кабіна пілота), віртуальні об'єкти, згенеровані комп’ютером, які відтворюють реальні об'єкти (наприклад, потоково-конвеєрна лінія для збирання автомобілів). Інтерактивне комп’ютерне моделювання широко застосовується в навчальних системах, наприклад для побудови тренажерів і в ситуаційних іграх.

Термін «моделювання» відповідає англійському слову «modeling», тобто побудові моделі та її аналізу. Англійський термін «simulation» відповідає прийнятому терміну «імітаційне моделювання», але часто вони використовуються разом, коли йдеться про технологічні або системні етапи моделювання, пов’язані з прийняттям рішень за допомогою моделей.

Імітаційне моделювання — це метод конструювання моделі системи та проведення експериментів. Однак під таке визначення підпадають майже всі види моделювання. Тому потрібно виділити суттєві особливості імітаційного моделювання.

Перш за все слід подати в моделі структуру системи, тобто загальний опис елементів і зв’язків між ними, потім визначити засоби відтворення в моделі поведінки системи. Здебільшого поведінку системи описують за допомогою станів і моментів переходів між ними. Стан системи в момент часу t визначають як безліч значень певних параметрів системи у цей самий момент часу t. Будь-яку зміну цих значень можна розглядати як перехід до іншого стану. І врешті-решт, імітаційна модель має відобразити властивості середовища, в якому функціонує досліджувана система. Зовнішнє середовище задають вхідними впливами на модель.

Вся інформація про імітаційну модель загалом має логіко-математичний характер і подається у вигляді сукупності алгоритмів, які описують процес функціонування системи. Отже, здебільшого імітаційною моделлю є її програмна реалізація на комп’ютері, а імітаційне моделювання зводиться до проведення експериментів з моделлю шляхом багаторазового прогону програми з деякою множиною даних — середовищем системи. Під час імітаційного моделювання може бути задіяно не тільки програмні засоби, але й технічні засоби, люди та реальні системи.

З математичної точки зору імітаційну модель можна розглядати як сукупність рівнянь, які розв’язують з використанням чисельних методів у разі кожної зміни модельного часу. Окремі рівняння можуть бути простими, але їх кількість і частота розв’язання — дуже великими. Розв’язання таких рівнянь під час імітаційного моделювання означає встановлення хронологічної послідовності подій, які виникають у системі і відображають послідовність її станів. Отже, імітаційна модель функціонує так само, як система.

За наявності в моделі випадкових факторів виникає необхідність статистичного оцінювання результатів моделювання, що виконується за допомогою методу статистичного моделювання (методу Монте-Карло). Статистичне моделювання є самостійним видом моделювання, яке включається в імітаційне моделювання тільки за необхідності моделювання ймовірнісних систем і процесів.

2.6 Формальні методи побудови моделей

Розглядаючи сфери застосування моделей, можна констатувати, що за допомогою моделі можна досягти двох основних цілей: описової, якщо модель призначена для пояснення і кращого розуміння об'єкта, або приписуючої, коли модель дає змогу передбачити або відтворити характеристики об'єкта або визначити його поведінку.

Таким чином, модель є описовою, якщо вона призначена зображувати поведінку (функціонування) або властивості існуючої або типової системи (наприклад, масштабна модель або письмовий опис, що дає змогу знайомити потенційних покупців із фізичними і робочими характеристиками комп’ютера). Протилежністьприписуюча модель, яка відображає необхідну поведінку або властивості запропонованої системи (наприклад, масштабна модель або письмовий опис, представлений постачальнику комп’ютерів, з фізичними і робочими характеристиками потрібного замовнику комп’ютера).

Приписуюча модель може бути описовою, але не навпаки. Тому існує різний ступінь корисності моделей, які використовуються в технічних і соціальних науках. Це значною мірою залежить від методів, і засобів, застосовуваних під час побудови моделей, а також від кінцевої мети. У соціальних науках моделі призначено для пояснення існуючих систем, а в техніці вони є допоміжними засобами для створення нових або більш досконалих моделей. Модель, що придатна для досягнення цілей розроблення системи, має також пояснювати її.

Під час побудови моделей застосовуються фундаментальні закони природи, варіаційні принципи, аналогії, ієрархічні ланцюжки. Процес створення моделі включає такі етапи.

1. Словесно-смисловий опис об'єкта або явища — формулювання описової моделі, призначеної для сприяння кращому розумінню об'єкта моделювання.

2. Числове вираження модельованої реальності для виявлення кількісної міри і границь відповідних якостей; з цією метою провадиться математико-стати-стична обробка емпіричних даних, пропонується кількісне формулювання якісно встановлених фактів і узагальнень.

3. Перехід до вибору або формулювання моделей явищ і процесів (варіаційного принципу, аналогії тощо) і його запису у формалізованій формі; це рівень структурних теоретичних схем, таких як системи масового обслуговування, мережі Петрі, скінченні або ймовірнісні автомати, діаграми фонд-потік тощо.

4. Завершення формулювання моделі її «оснащенням» — завдання початкового стану і параметрів об'єкта.

5. Вивчення моделі за допомогою доступних методів (у тому числі із застосуванням різних підходів і обчислювальних методів).

У результаті дослідження моделі досягається поставлена мета. У цьому разі має бути встановлена всіма можливими способами (шляхом порівняння з практикою, порівняння з іншими підходами) її адекватність — відповідність об'єкта сформульованим припущенням.

2.7 Кібернетичний підхід

Систему можна вивчати та аналізувати, змінюючи вхідні впливи і спостерігаючи за виходами. Це кібернетичний підхід, згідно з яким система розглядається як «чорний ящик». Метод «чорного ящика» широко використовується під час моделювання систем, коли для дослідника важливо отримати інформацію про поведінку системи, а не про її будову. Дослідник не може зробити однозначний висновок про структуру «чорного ящика», спостерігаючи тільки за його входами та виходами, бо поведінка модельованої системи нічим не відрізняється від поведінки ізоморфних їй систем.

Для побудови моделі використовуються методи теорії ідентифікації. У загальному випадку завдання ідентифікації формулюється так: на основі результатів спостереження за вхідними та вихідними змінними системи потрібно побудувати оптимальну в деякому розумінні математичну модель. Основними етапами ідентифікації є такі:

1. Вибір класу і структури моделі та мови її опису.

2. Вибір класу і типів вхідних впливів X.

3. Обґрунтування критеріїв подібності системи та моделі.

4. Вибір методу ідентифікації та розроблення відповідних алгоритмів оцінювання параметрів системи.

5. Перевірку адекватності отриманої в результаті ідентифікації моделі.

Залежно від обсягу апріорної інформації про клас і структуру системи вирізняють завдання ідентифікації в широкому та вузькому розумінні. Завдання ідентифікації у широкому розумінні виконується в умовах апріорної невизначеності структури моделі системи («чорний ящик»). Клас і структура математичної моделі вибираються на основі результатів теоретичного аналізу з використанням загальних закономірностей процесів, які протікають у системі, або на основі загальної інформації про подібні системи. У цьому випадку для побудови математичної моделі можна використовувати непараметричні методи. їх розроблено для тих ситуацій, які досить часто виникають на практиці, коли дослідник нічого не знає про параметри досліджуваної системи (звідси і назва методів — непараметричні).

Завдання ідентифікації у вузькому розумінні полягає в оцінюванні параметрів і станів системи, якщо відома структура моделі («сірий ящик»). Завданням ідентифікації є кількісне оцінювання певних параметрів. Для цього використовується параметрична ідентифікація математичної моделі. Прикладами таких моделей можуть бути диференціальні та різницеві рівняння, моделі типу «вхід-стан-вихід».

На рис. 2.3 зображено загальну схему ідентифікації системи.

Рис. 2.3 Загальна схема ідентифікації системи Прикладами моделей, створених на основі експериментальних даних, можуть бути моделі авторегресії різних порядків, ковзного середнього та моделі типу «вхід-вихід», побудовані за допомогою методу найменших квадратів.

2.8 Принципи побудови моделей

Розглянемо коротко основні принципи моделювання, які відображають достатньо багатий досвід, накопичений на даний час у галузі розроблення і використання моделей.

Принцип інформаційної достатності.

За повної відсутності інформації про систему модель побудувати неможливо. За наявності повної інформації про систему її моделювання недоцільне. Існує деякий критичний рівень апріорних відомостей про систему (рівень інформаційної достатності), після досягнення якого можна побудувати її адекватну модель.

Принцип доцільності.

Модель створюється для досягнення деяких цілей, які визначають на первинному етапі формулювання проблеми моделювання.

Принцип здійсненності.

Модель, яка створюється, має забезпечувати досягнення мети дослідження з урахуванням граничних ресурсів з імовірністю, суттєво відмінною від нуля, і за кінцевий час.

Принцип множинності моделей.

Модель, яка створюється, має відображати в першу чергу ті властивості реальної системи (або явища), які впливають на вибраний показник ефективності. Відповідно під час використання будь-якої конкретної моделі пізнаються лише деякі складові реальності. Для повного її дослідження необхідно мати ряд моделей, які дали б змогу відобразити певний процес з різних боків і з різним ступенем детальності.

Принцип агрегації.

У більшості випадків складну систему можна подати такою, що складається з агрегатів (підсистем), для адекватного формального описування яких придатними є деякі стандартні математичні схеми. Принцип агрегації дає змогу досить гнучко перебудовувати модель залежно від завдань дослідження.

Принцип параметризації.

У ряді випадків модельована система має у своєму складі деякі відносно ізольовані підсистеми, які характеризуються певними параметрами, у тому числі векторними. Такі підсистеми можна замінювати в моделі відповідними числовими величинами, а не описувати процес їх функціонування. У разі необхідності залежність значень цих величин від ситуації може задаватись у вигляді таблиць, графіків або аналітичних виразів (формул), наприклад за допомогою регресійного аналізу. Принцип параметризації дає змогу скоротити обсяг і тривалість моделювання, але слід мати на увазі, що параметризація знижує адекватність моделі.

Потреба в моделюванні виникає як на етапі проектування систем для оцінювання правильності прийнятих рішень, так і на етапі експлуатації - для оцінювання наслідків внесення змін у системи. У цьому випадку на різних етапах проектування (технічний або робочий проект) з уточненням вихідних даних і виявленням нових суттєвих факторів ступінь деталізації процесу в системі зростає, що має відобразитись у моделі.

Отже, у моделі можуть водночас знаходитись блоки з різним ступенем деталізації, які моделюють одні й ті самі компоненти проектованої системи. Іншими словами, під час побудови моделі потрібно застосовувати методологію ітераційного багаторівневого моделювання.

Розроблення моделі доцільно починати зі створення простої вихідної моделі, яку в процесі уточнення вхідних даних і характеристик системи ускладнюють і коригують, тобто адаптують до нових умов. Водночас модель має залишатись досить наочною, тобто її структура має відповідати структурі модельованої системи, а рівень деталізації моделі повинен вибиратись з урахуванням мети моделювання, ресурсних обмежень (наприклад, час, кваліфіковані людські ресурси і кошти, виділені на проектування) і можливості отримання вхідних даних.

Отже, модель має бути багаторівневою, адаптивною, наочною, цільовою, розвиватись ітераційним способом, ускладнюватись і коригуватись у процесі утворення, що можливо тільки за умови побудови її блоковим (модульним) способом. Програмування та налагодження моделі доцільно провадити поетапно, з наступним збільшенням програмних модулів.

Один із способів підвищення ефективності моделювання полягає в тому, щоб не будувати заново модель для кожної нової системи, а вирізняти окремі класи систем і створювати уніфіковані програмні моделі для класів у цілому. Узагальнені програмні моделі дають змогу моделювати будь-яку систему із заданого класу без додаткових витрат на програмування. Така методологія забезпечує єдиний системний підхід до розроблення програмних реалізацій моделей і використовується під час об'єктно-орієнтованого програмування у вигляді бібліотеки класів моделей.

Розглянутий підхід можна реалізувати також у вигляді спеціалізованої мови або пакета моделювання, що дає змогу створювати узагальнені моделі шляхом уведення засобів розмноження підмоделей, реорганізації зв’язків між ними та їх параметричного налагодження. Цей спосіб орієнтовано на фахівців, добре обізнаних з мовою моделювання.

Інший спосіб реалізації цього підходу полягає в розробленні діалогових інтелектуальних систем моделювання з використанням банку моделей та бази знань, які користувач може налагоджувати на конкретну реалізацію. У цьому разі етап програмування можна повністю виключити під час програмної реалізації імітаційної моделі завдяки використанню ефективних методів взаємодії з базами даних і застосуванню засобів генерації моделей.

2.9 Технологія моделювання

Основою моделювання є методологія системного аналізу. Це дає змогу досліджувати систему, яка проектується або аналізується, за технологією операційного дослідження, включаючи такі взаємопов'язані етапи:

1. Формулювання проблеми та змістове поставлення задачі.

2. Розроблення концептуальної моделі.

3. Розроблення програмної реалізації моделі (зазвичай застосовується комп’ютерна модель), яка включає:

а) вибір засобів програмування, за допомогою яких буде реалізовано модель;

б) розроблення структурної схеми моделі та складання опису її функціонування;

в) програмна реалізація моделі.

4. Перевірка адекватності моделі.

5. Організація та планування проведення експериментів, яке включає оцінювання точності результатів моделювання.

6. Інтерпретація результатів моделювання та прийняття рішень.

7. Оформлення результатів дослідження.

На першому етапі замовник формулює проблему. Організовуються зустрічі керівника проекту із замовником, аналітиками з моделювання та експертами з проблеми, яка вивчається.

Визначаються цілі дослідження та спеціальні питання, відповіді на які буде одержано за результатами дослідження; встановлюються критерії оцінювання роботи, які використовуватимуться для вивчення ефективності різних конфігурацій системи; розглядаються такі показники, як масштаб моделі, період дослідження і необхідні ресурси; визначаються конфігурації модельованої системи, а також потрібне програмне забезпечення.

На цьому ж етапі провадиться цілеспрямоване дослідження модельованої системи, залучаються експерти з проблеми, що вирішується, які володіють достовірною інформацією. Збирається інформація про конфігурацію системи і способи експлуатації для визначення параметрів моделі і вхідних розподілів імовірностей.

На другому етапі розробляється концептуальна модель — абстрактна модель, яка дає змогу виявити причинно-наслідкові зв’язки, властиві досліджуваному об'єкту в межах, визначених цілями дослідження. По суті, це формальний опис об'єкта моделювання, який відображає концепцію (погляд дослідника на проблему). Вона включає в явному вигляді логіку, алгоритми, припущення й обмеження.

Згідно з цілями моделювання визначаються вихідні показники, які потрібно збирати під час моделювання, ступінь деталізації, необхідні вхідні дані для моделювання.

Рівень деталізації моделі залежить від таких чинників: цілі проекту; критерії оцінювання показників роботи; доступність даних; достовірність результатів; комп’ютерні можливості; думки експертів з проблеми, що вирішується; обмеження, пов’язані з часом і фінансуванням. Провадиться структурний аналіз концептуальної моделі, пропонується опис допущень, які обговорюються із замовником, керівником проекту, аналітиками та експертами з проблеми, яка вирішується.

Розробляються моделі вхідних даних, провадиться їх статистичний аналіз, за результатами якого визначають розподіли ймовірностей, регресійні, кореляційні та інші залежності. На цьому етапі для попереднього аналізу даних широко застосовують різні статистичні пакети (наприклад, Біаизілса).

Для динамічних систем провадиться поопераційний аналіз функціонування модельованої системи з детальним описуванням роботи елементів системи. За результатами такого аналізу можна з’ясувати, чи можна вирішити проблему без застосування засобів моделювання. Детально опрацьована концептуальна модель дає змогу замовнику з іншого боку поглянути на роботу системи та, наприклад, визначити вузькі місця системи, які спричиняють зниження її пропускної здатності.

Одна з найскладніших проблем, з якою має справу аналітик моделювання, полягає у визначенні, чи адекватна модель системі. Якщо імітаційна модель адекватна, її можна використовувати для прийняття рішень щодо системи, яку вона представляє, тобто ніби вони приймались на основі результатів проведення експериментів з реальною системою. Модель складної системи може тільки приблизно відповідати оригіналу, незалежно від того, скільки зусиль затрачено на її розроблення, тому що абсолютно адекватних моделей не існує.

3. Теоретичне дослідження математичних моделей стратегій обслуговування

3.1 Загальний огляд математичних моделей

B створенні технічних систем виникає проблема розробки деякої стратегії технічного обслуговування, яка дозволила б одержати від експлуатації системи максимально можливий ефект. Тому завдання профілактики ставляться як завдання екстремальні і їх можна назвати оптимальними завданнями надійності. Звичайно, при постановці завдання профілактики припускають заданими характеристики надійності системи: функцію розподілу часу безвідмовної роботи системи F (x) або окремих її частин і функцію розподілу часу самостійного прояву відмови Ф (х) і характеристики ремонтопридатності: функції розподілу часів різних відновних робіт, які можна проводити в системі. Ці характеристики, а також правило (стратегія), відповідно до якого призначаються терміни проведення відновних робіт, визначають стани системи і еволюцію цих станів в часі.

Вважатимемо, що множина Е можливих станів системи є кінцевою Е = {E₁, E₂,., E_n}. У такому разі траєкторії процесу x (t), що описує еволюцію станів системи в часі, є ступінчастими функціями. На траєкторіях цього випадкового процесу визначимо функціонал, який при фіксованих характеристиках надійності характеризуватиме стратегію обслуговування досліджуваної системи. За кінцевий відрізок часу [0,t] траєкторія процесу x (t) задається кількістю переходів t, моментами переходів t₀ = 012<…m t і набором станів Е = {E_1,E_2,…, E_n} у яких процес знаходиться між моментами переходу.

Звичайно при постановці завдання вибору оптимальної стратегії обслуговування технічної системи припускають, що повністю відомі її характеристики. Проте функція розподілу часу безвідмовної роботи F (y), як правило, визначається статистично і відома лише в окремих точках. Тому при постановці завдання природнішим є припущення про те, що функція F (y) належить класу? (n, y, р) функцій розподілу, які в заданих точках у = (y₀=0,y₁, y₂,…, y_n) приймають задані значення р = (р₀=0, р₁, р₂,…, р_n).

Розглянемо два методи визначення оптимальних характеристик стратегій обслуговування складних систем: розрахунок характеристик з допомогою, наперед відомої функції розподілу часу безвідмовної роботи системи F (y) та розрахунок за допомогою статистичних даних, одержаних в результаті роботи системи протягом деякого часу.

3.2 Стратегія A — самостійний прояв відмови

Стратегія, А — повне відновлення системи проводиться тільки після самостійного прояву відмови.

Система, нова у момент t =0, працює до відмови протягом часу, розподіленому по закону F (x).

Далі від моменту t=О до моменту прояву відмови

t = О+Ј,

протягом випадкового часу Ј, розподіленого за законом Ф (х), простоює в непрацездатному стані (прихована відмова). У випадковий момент прояву відмови починається позаплановий аварійно-профілактичний ремонт, який триває випадковий час T_ап і після якого система повністю оновлюється. Після закінчення ремонту весь процес функціонування системи і її обслуговування повторюється.

Визначимо випадковий процес x (t), що характеризує стан досліджуваної системи. Хай z ?0, тоді:

· E₀, якщо у момент t система працездатна і повністю пропрацює час, більший або рівніший z;

· E₁, якщо у момент t система працездатна і повністю пропрацює час, менший z;

· E₂, якщо у момент t в системі є прихована відмова;

· E₃, якщо у момент t система ремонтується (позаплановий аварійно-профілактичний ремонт).

Рис. 3.1 Діаграма переходів процесу x (t) (Стратегія А) Проведемо розрахунок за статистичними даними. Початкові дані для розрахунку: вектор у = (y₀=0,y₁, y₂,., y_n) і вектор р = (р₀=0, р₁, р₂,., р_n);

· середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т_pp;

· середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т_ap;

· втрати за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С_pp;

· втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту С_ap;

· прибуток C₀, одержуваний за одиницю часу безвідмовної роботи системи;

· оперативний час Z роботи системи, необхідний для виконання завдання.

· коефіцієнт готовності:

(3.1)

· вірогідність виконання завдання:

(3.2)

· середні питомі втрати:

(3.3)

· середній питомий прибуток:

(3.4)

Розрахунок по функції розподілу часу безвідмовної роботи системи:

· функція розподілу часу безвідмовної роботи системи F (t);

· середня тривалість планової попереджувальної профілактики Т_pp;

· середня тривалість позапланового аварійно-профілактичного ремонту Т_ap;

· втрати за одиницю часу при проведенні планової попереджувальної профілактики С_pp ;

· втрати за одиницю часу при проведенні позапланового аварійно-профілактичного ремонту С_ap;

· прибуток C₀, одержуваний за одиницю часу безвідмовної роботи системи;

· оперативний час Z роботи системи, необхідний для виконання завдання;

· Коефіцієнт готовності :

(3.5)

· середні питомі витрати :

(3.6)

· середній питомий прибуток :

(3.7)

· вірогідність виконання завдання :

(3.8)

Результати обчислень представлені в таблицях 3.1 і 3.2.

Таблиця 3.1

Розрахунок по функції розподілу

Таблиця 3.2

Розрахунок за статистичними даними

3.3 Стратегія В — миттєва індикація відмови