Найпростіші дії з матрицями (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Ранг системи векторів має відповідний зв’язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, з компонентів векторів системи (2) утворити матрицю A = (a 11 a 21. .. a r 1 a 12 a 22. .. a r 2. .. .. .. .. ... a 1 n a 2 n. .. a rn) то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці. Отже, з рангом… Читати ще >

Найпростіші дії з матрицями (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Найпростіші дії з матрицями

Означення. Нехай дано матрицю А, розмір якої $m x n$ , і скаляр . Добутком на, А називається матриця розміру $m x n$ :

$= (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ . . . \\ a_{m 1} \end{matrix} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ . . . \\ a_{m 2} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ . . . \\ a_{mn} \end{matrix}) = (\begin{matrix} _{11} \\ _{21} \\ . . . \\ _{m 1} \end{matrix} \begin{matrix} _{12} \\ _{22} \\ . . . \\ _{mn} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} _{1 n} \\ _{2 m} \\ . . . \\ _{mn} \end{matrix})$ .

Щоб помножити матрицю, А на скаляр , потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.

Означення. Сумою двох матриць.

$A = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ . . . \\ a_{m 1} \end{matrix} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ . . . \\ a_{m 2} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ . . . \\ a_{mn} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \\ . . . \\ b_{m 1} \end{matrix} \begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \\ . . . \\ b_{mn} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} b_{1 n} \\ b_{2 m} \\ . . . \\ b_{mn} \end{matrix})$ .

розміру $m x n$ є матриця.

$C = A + B = (\begin{matrix} a_{11} + b_{11} \\ a_{21} + b_{21} \\ . . . \\ a_{m 1} + b_{n 1} \end{matrix} \begin{matrix} a_{12} + b_{12} \\ a_{22} + b_{22} \\ . . . \\ a_{m 1} + b_{m 2} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{2 n} + b_{2 n} \\ . . . \\ a_{mn} + b_{mn} \end{matrix})$ .

такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:

$\begin{matrix} A + B = B + A - \\ A + (B + C) = (A + B) + C - \\ () = () A - \\ (A + B) = + - \\ (+) A = + - \\ (A + B)' = A' + B' \end{matrix}$ .

Добуток матриць визначається через добуток лінійних перетворень. Нехай дано дві матриці: матрицю В розміру $m x n$ і матрицю, А розміру $n x l$ .

$B = (\begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \\ . . . \\ b_{m 1} \end{matrix} \begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \\ . . . \\ b_{m 2} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} b_{1 n} \\ b_{2 n} \\ . . . \\ b_{mn} \end{matrix}), A = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ . . . \\ a_{n 1} \end{matrix} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ . . . \\ a_{n 2} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} a_{1 l} \\ a_{2 l} \\ . . . \\ a_{nl} \end{matrix})$

(1).

Розглянемо лінійні перетворення $z = By$ , $y = Ax$ , які можна подати у вигляді.

$z_{k} =_{i = 1}^{n} b_{ki} y_{i} (k = 1,2, . . ., m) -$ .

$y_{i} =_{s = 1}^{l} a_{is} x_{s} (i = 1,2, . . ., n)$

Виключаючи змінні $y_{i}$ , знаходимо лінійне перетворення $z = BAx$ , яке можна записати так:

$z_{n} =_{i = 1}^{n} b_{ki}_{s = 1}^{l} a_{is} x_{s} =_{s = 1}^{l} (_{i = 1}^{n} b_{ki} a_{is}) x_{s}$

Позначивши.

$c_{ks} =_{i = 1}^{n} b_{ki} a_{is} (k = 1,2, . . ., m - s = 1,2, . . ., l)$

(2).

подамо це лінійне перетворення у вигляді.

$z_{k} =_{s = 1}^{l} c_{ks} x_{s} (k = 1,2, . . ., m)$

або.

$z_{1} = c_{11} x_{1} + c_{12} x_{2} + . . . + c_{1 l} x_{l}$ .

$z_{2} = c_{21} x_{1} + c_{22} x_{2} + . . . + c_{2 l} x_{2}$ .

…

$z_{m} = c_{m 1} x_{1} + c_{m 2} x_{2} + . . . + c_{ml} x_{l}$ .

Останню систему зручно записувати у векторній формі $z = Сx$ , де матриця С розміру $m x l$ має вигляд.

$C = (\begin{matrix} c_{11} \\ c_{21} \\ . . . \\ c_{m 1} \end{matrix} \begin{matrix} c_{12} \\ c_{22} \\ . . . \\ c_{m 2} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} c_{1 l} \\ c_{2 l} \\ . . . \\ c_{ml} \end{matrix})$ .

Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А: С=ВА.

Елемент $с_{ks}$ матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.

Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.

Добуток матриць В розміру $m x n$ та, А розміру $n x l$ є матрицею, розмір якої $m x l$ .

Лінійний n-вимірний простір План:

1.Лінійний n-вимірний векторний простір.
2.Базис.
3.Власні значення та власні вектори матриць.

Векторний простір.

Означення. Упорядкована сукупність m дійсних чисел $a_{1,} a_{2}, . . ., a_{m}$ називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або вектором-рядком:

$a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ . . . \\ a_{m} \end{matrix}), a^{T} = a' = (a_{1,} a_{2}, . . ., a_{m})$

Числа $a_{1,} a_{2}, . . ., a_{m}$ називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.

Вектор, утворений транспортуванням вектора а, позначається так: $a^{T} = a'$ .

Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

Означення. Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і позначається $R^{m}$ .

Векторні простори $R^{1}$ , $R^{2}$ , $R^{3}$ можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають скалярами.

Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, …, 0), або так само, як число нуль — знаком 0. Вектора = (-а1, -а2, …, -аm) називається протилежним вектору, а = (а1, а2, …, аm).

На прямій $R^{1}$ , площині $R^{2}$ та у тривимірному просторі $R^{3}$ вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b. (рис. 1).

Рис. 1.

Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець — із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2).

Рис. 2.

Вектор , де — деяке число, паралельний вектору, а і має довжину $| |$ — напрям його при $\begin{matrix} 0 \end{matrix}$ той самий, що й вектора а, при $\begin{matrix} 0 \end{matrix}$ — протилежний напряму, а (рис. 3).

0,5а.

Означення. Сумою двох векторів, а та b називається вектор a+b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:

$a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ . . . \\ a_{m} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ . . . \\ b_{m} \end{matrix}) => a + b = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ . . . \\ a_{m} + b_{m} \end{matrix})$

Добутком числа (скляра) на вектор, а називається вектор , координати якого дорівнюють добутку на відповідні координати вектора а:

$a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ . . . \\ a_{m} \end{matrix}), = (\begin{matrix} _{1} \\ _{2} \\ . . . \\ _{m} \end{matrix})$

Вектори, а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:

$\frac{b_{1}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{a_{2}} = . . . = \frac{b_{m}}{a_{m}}$ .

2. Означення: Базисом векторного простору $V_{n}$ називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему векторів:

${\overset{->}{l}}_{1} = (1,0,0)$ .

${\overset{->}{l}}_{2} = (0,1,0)$ .

${\overset{->}{l}}_{3} = (0,0,1)$ .

можна розглянути як базис простору $V_{3}$ .

Розглянемо дві системи векторів:

${\overset{->}{a}}_{1}, {\overset{->}{a}}_{2}, {\overset{->}{a}}_{3}, . . ., {\overset{->}{a}}_{r}$ .

${\overset{->}{b}}_{1}, {\overset{->}{b}}_{2}, {\overset{->}{b}}_{3}, . . ., {\overset{->}{b}}_{s}$ .

Система векторів (3) лінійно виражається через систему векторів (2), якщо кожен з них є лінійною комбінацією системи (2). Тобто ${\overset{->}{b}}_{i} =_{j = 1}^{r}_{ij} \overset{->}{a_{j}}, i = 1,2, . . ., s$ .

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів має відповідний зв’язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, з компонентів векторів системи (2) утворити матрицю $A = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ . . . \\ a_{r 1} \end{matrix} \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ . . . \\ a_{r 2} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ . . . \\ a_{rn} \end{matrix})$

то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов’язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

Звязок між базами.

$V_{n}$

має базис:

${\overset{->}{е}}_{1}, {\overset{->}{е}}_{2}, {\overset{->}{е}}_{3}, . . ., {\overset{->}{е}}_{n}$ .

Якщо взяти довільний вектор $\overset{->}{a} V_{n}$ , то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає, що.

$\overset{->}{a} =_{1} {\overset{->}{е}}_{1} +_{2} {\overset{->}{е}}_{2} + . . . +_{2} {\overset{->}{е}}_{n}$ .

тобто вектор $\overset{->}{a}$ — є лінійною комбінацією векторів базису. Можна показати, що вираз (5) єдиний для вектора $\overset{->}{a}$ .

Нехай в просторі $V_{n}$ задано два базиси.

$е : {\overset{->}{e}}_{1}, {\overset{->}{e}}_{2}, {\overset{->}{e}}_{3}, . . ., {\overset{->}{e}}_{n}$ .

$e': \overset{->}{e_{1}}', \overset{->}{e_{2}}', \overset{->}{e}'_{3}, . . ., \overset{->}{e}'_{n}$ .

Кожен вектор нового базису (7) як і будь-який вектор однозначно можна записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді.

${\overset{->}{е}}_{j} =_{i = 1}^{n} t_{ij} \overset{->}{e_{i}}, j = 1,2, . . ., n$ .

Означення: Матрицю $T = (\begin{matrix} t_{11} \\ t_{21} \\ . . . \\ t_{n 1} \end{matrix} \begin{matrix} t_{12} \\ t_{22} \\ . . . \\ t_{n 2} \end{matrix} \begin{matrix} . . . \\ . . . \\ . . . \\ . . . \end{matrix} \begin{matrix} t_{1 n} \\ t_{2 n} \\ . . . \\ t_{nn} \end{matrix})$

стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е'.

Якщо розглянути дві матриці е і е', стовпчиками яких будуть компоненти векторів відповідно старого е і нового е' базисів, то рівність (8) можна записати у матричному вигляді.

$е' = eT$

. (9).

З другого боку, якщо T' - матриця переходу від басилу (7) до басилу (6), то маємо рівність.

$е = e' T'$ .

Використовуючи (9) і (10) маємо:

$e' = (e' T') T = e' (T' T) => T' T = E$ .

$e = (eT) T' = e (TT') => TT' = E$ .

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

Нехай в $V_{n}$ задано два базиси (6) і (7) з матрицею переходу $T = (t_{ij}) .$ Зв’язок між координатами довільного вектора $\overset{->}{x}$ в цих двох базисах дає формула:

$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ . \\ x_{n} \end{matrix}) = T (\begin{matrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ . \\ x'_{n} \end{matrix})$ .

Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т-1 одержимо рівність.

$(\begin{matrix} x'_{1} \\ x'_{2} \\ . \\ x'_{n} \end{matrix}) = T^{- 1} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ . \\ x_{n} \end{matrix})$ .

яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е'.

Власні числа і власні вектори матриці.

Нехай $А = (а_{ij})$ деяка квадратна матриця розмірності $n x n$ з дійсними елементами, — деяке невідоме число. Тоді матриця $A -$ , де Е — одинична матриця називається характеристичною матрицею для матриці А.

$A - = (\begin{matrix} a_{11} - & a_{12} & a_{13} & . . . \\ a_{21} & a_{22} - & a_{23} & . . . \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & . . . \end{matrix} \begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ . . . . \\ a_{nn} - \end{matrix})$ .

Поліном n-го степеня | $A -$ | називається характеристичним поліном матриці А, а його корені називаються власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

Наслідок: лінійне перетворення в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна твердити, що лінійне перетворення характеризується набором власних чисел, які в подальшому будемо називати спектром лінійного перетворення , або спектром матриці А.

Розглянемо лінійне перетворення в просторі $V_{n}$ таке, що переводить відмінний від нуля вектор $\overset{->}{b}$ в вектор пропорційний самому вектору $\overset{->}{b}$ , тобто:

$\overset{->}{b} =_{0} \overset{->}{b}$ (1).

Такий вектор $\overset{->}{b}$

будемо називати власним вектором перетворення.

а.

_{0}

Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного перетворення

в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.

Будемо вважати, що лінійне перетворення має такий характеристичний поліном, що всі його корені дійсні і різні між собою. Тобто, розв’язавши рівняння n-го порядку | $A -$ | = 0 будемо мати n-різних дійсних коренів $_{1},_{2}, . . .,_{n}$ . Якщо виконується така умова, то лінійне перетворення дійсного лінійного простору $V_{n}$ має простий спектр.

Кожному власному числу $_{i}$ , відповідає свій власний вектор. Власних векторів у цьому випадку буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну систему векторів, їх можна розглядати як базис $V_{n}$ , в якому матриця лінійного перетворення, А буде набувати найпростішого діагонального вигляду.

Розв’язання лінійних рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь.

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} = a_{10}$ $a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + . . . + a_{2 n} x_{n} = a_{20}$ .

…

$a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + . . . + a_{nn} x_{n} = a_{n 0}$ .

(1).

до трикутного вигляду.

$b_{11} x_{1} + b_{12} x_{2} + . . . + b_{1 n} x_{n} = b_{10}$

;

$b_{22} x_{2} + . . . + b_{2 n} x_{n} = b_{20}$ .

… (2).

$b_{nn} x_{n} = b_{n 0}, b_{kk} = 1 (k = 1,2, . . ., n)$ .

Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт а11 $0$ . Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова а11 $0$ .

За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:

х1×2 … хn 1.

$\begin{matrix} а_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 n} \\ а_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ а_{n 1} & a_{n 2} & . . . & a_{nn} \end{matrix} \begin{matrix} a_{10} \\ a_{20} \\ . . . \\ a_{n 0} \end{matrix}$ .

$А_{0} :$ .

Іноді вводять контрольний стовпець $K =_{s = 0}^{n} a_{ks},$ що дає змогу виявляти помилки.

Поділивши перший рядок на а11, позначимо.

$a_{1 k}^{(1)} = \frac{a_{1 k}}{a_{11}} (k = 0,1,2, . . ., n)$ .

Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д.

Позначивши.

$a_{ik}^{(1)} = a_{ik} - a_{k 1} a_{1 k} (i = 2, . . ., n - k = 0,1,2, . . ., n)$ .

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1×2 … хn 1.

$\begin{matrix} а_{11}^{(1)} & a_{12}^{(1)} & . . . & a_{1 n}^{(1)} \\ 0 & a_{22}^{(1)} & . . . & a_{2 n}^{(1)} \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ 0 & a_{n 2}^{(1)} & . . . & a_{nn}^{(1)} \end{matrix} \begin{matrix} a_{10}^{(1)} \\ a_{20}^{(1)} \\ . . . \\ a_{n 0}^{(1)} \end{matrix}$ .

$А_{1} :$ .

Для невідомих $x_{2, . . .} x_{n}$ , маємо систему n-1 рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на $а_{22}^{(1)}$ . Якщо коефіцієнт $а_{22}^{(1)} = 0$ , то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова $а_{22}^{(1)} /= 0$ .

Позначивши.

$a_{2 k}^{(2)} = \frac{a_{2 k}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}} (k = 2, . . ., n - 0)$

помножимо другий рядок послідовно на $а_{32}^{(1)}$ і віднімемо від третього рядкана $а_{42}^{(1)}$ і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1×2×3 … хn 1.

$\begin{matrix} a_{11}^{(1)} & a_{12}^{(1)} & a_{13}^{(1)} & . . . & a_{1 n}^{(1)} & a_{10}^{(1)} \\ 0 & a_{22}^{(2)} & a_{23}^{(2)} & . . . & a_{2 n}^{(2)} & a_{20}^{(2)} \\ 0 & 0 & a_{33}^{(3)} & . . . & a_{3 n}^{(3)} & a_{30}^{(3)} \\ 0 & 0 & a_{43}^{(3)} & . . . & a_{4 n}^{3} & a_{40}^{(3)} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ 0 & 0 & a_{n 3}^{(3)} & . . . & a_{nn}^{(3)} & a_{n 0}^{(3)} \end{matrix}$ .

$А_{2} :$ .

Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:

х1×2×3 … хn-1 хn 1.

$\begin{matrix} a_{11}^{(1)} & a_{12}^{(1)} & a_{13}^{(1)} & . . . & a_{1, n - 1}^{(2)} & a_{1 n}^{(1)} \\ 0 & a_{22}^{(2)} & a_{23}^{(2)} & . . . & a_{2, n - 1}^{(2)} & a_{2 n}^{(2)} \\ 0 & 0 & a_{33}^{(3)} & . . . & a_{3, n - 1}^{(3)} & a_{3 n}^{(3)} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ 0 & 0 & 0 & a_{n - 1, n - 1}^{(n - 1)} & a_{n - 1, n}^{(n - 1)} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{nn}^{(n)} \end{matrix} \begin{matrix} a_{10}^{(1)} \\ a_{20}^{(1)} \\ a_{30}^{(3)} \\ . . . \\ a_{n - 1,0}^{(n - 1)} \\ a_{n 0}^{(n)} \end{matrix}$ .

$А_{n} :$ .

Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи $a_{kk}^{(k)} = 1$ . Запишемо відповідну систему рівнянь:

$\begin{matrix} a_{11}^{(1)} x_{1} + a_{12}^{(1)} x_{2} + a_{13}^{(1)} x_{3} + . . . + a_{1, n - 1}^{(1)} x_{n - 1} + a_{1, n}^{(1)} x_{n} = a_{10}^{(1)} \\ a_{22}^{(2)} x_{2} + a_{23}^{(2)} x_{3} + . . . + a_{2, n - 1}^{(2)} x_{n - 1} + a_{2, n}^{(2)} x_{n} = a_{20}^{(2)} \\ a_{33}^{(3)} x_{3} + . . . + a_{3, n - 1}^{(3)} x_{n - 1} + a_{3, n}^{(3)} x_{n} = a_{30}^{(3)} \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ a_{n - 1, n - 1}^{(n - 1)} x_{n - 1} + a_{n - 1, n}^{(n - 1)} x_{n} = a_{n - 1,0}^{(n - 1)} \\ a_{n, n}^{(n)} x_{n - 1} + a_{n - 1, n}^{(n - 1)} x_{n} = a_{n - 1,0}^{(n - 1)} \\ a_{n, n}^{(n)} x_{n} = a_{n, 0}^{(n)} \end{matrix}$ .

$a_{kk}^{(k)} = 1 (k = 1,2, . . ., n)$ .

Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходить хn і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають хn-1, і т.д.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою