Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням

Реферат на тему:

Дослідження характеристик стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням.

1. Вступ У багатьох застосуваннях припускається, що на поведінку піддослідної системи не впливає жодна затримка в часі, тобто майбутній стан системи не залежить від попередніх станів і визначається лише теперішнім. У таких випадках динамічна система переважно моделюється звичайними диференціальними рівняннями. Однак при глибшому вивченні виявляється, що такий погляд — це лише перше наближення до дійсного стану і реальніша модель повинна включати минулі стани системи.

Крім того, деякі задачі повністю втрачають свій зміст без розгляду «попередньої історії». Ці положення були відомі й раніше, але теорія систем з післядією інтенсивно розвивається лише протягом останніх 50 років. Досягнення в галузі обчислювальної техніки є дуже важливими, оскільки теорія інтегрування, тобто аналітичного розв’язування, для систем з післядією не настільки успішна.

Перші системи, з якими зіткнулися дослідники, були біологічними. При дослідженні динаміки популяцій двох антагоністичних видів [7] використовувалися системи із запізненням. Р. Беллман [3] вивчав наслідки введення у кров хімічного розчину. Зауважимо, що рівняння, які описують цей процес, не є звичайними диференціальними рівняннями, оскільки повна циркуляція крові триває близько двох хвилин.

Мета цієї праці - проаналізувати систему імунного захисту організму, враховуючи запізнення в часі. Вперше модель імунного захисту людського організму була розроблена групою математиків і лікарів на чолі з Г.І.Марчуком. Як зазначає Г.І.Марчук [1], модель дала непогані результати при використанні її для лікування пневмонії та вірусного гепатиту.

2. Асимптотична стійкість.

2.1. Головні результати теорії стійкості.

Широке коло задач пов’язано з дослідженнями динаміки об'єктів, що описуються диференціальними рівняннями із запізненням:

$$\frac{d}{\text{dt}}x(t)=F[x_t(s)],-<=s<=\mathrm{0,}t>=0\text{.}$$ $$$$.

Тут $$F[x_t(s)]$$

— функціонал, визначений для довільного фіксованого.

$$t>=0$$

на множині кусково-неперервних функцій:

.

$$x_t(s)=\begin{array}{c}{x}_1(t+s)\\ x_2(t+s)\\ \begin{array}{c}\text{.}\\ \text{.}\end{array}\hfill \\ \text{.}\\ x_n(t+s)\end{array},-<=s<=0$$.

Одним із найзагальніших методів дослідження стійкості таких задач є прямий метод Ляпунова. Використання такої методики для систем із післядією пов’язано з двома напрямками. Перший ґрунтується на скінченно-вимірних функціях Ляпунова і використовує теореми Б.С.Разуміхіна. Однак цей підхід має недолік: не доведено необхідності цих умов стійкості. Сенс диференціально-різницевих рівнянь полягає в нескінченно-вимірних просторах. Використання скінченно-вимірних функцій Ляпунова призводить до зайвих достатніх умов.

З цієї причини М. М. Красовський [8] запропонував підійти до вивчення стійкості з точки зору дослідження процесів у функціональних просторах. Як точку простору він запропонував розглядати не вектор $$x(t)$$

а вектор-відрізок цієї траєкторії.

$$x_t(s)=\{x(t+s)\mathrm{:}-<=s<=0\}$$

. Замість функції.

$$v(x(t))$$

він запропонував використовувати функціонал.

$$V[x_t(s)]$$

визначений на відрізку.

$$x_t(s)$$

. Використання функціоналів — це природнє узагальнення прямого методу Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь на рівняння із запізненням. Головний результат для автономних систем твердить [2].

.

Теорема 2.1. Нехай існують $$V\mathrm{:}C->R,V(0)=0$$ — функціонал і неперервні функції $$a,b\mathrm{:}{R}^{+}->R^{+}$$ такі, що $$a(r)>0$$ при $$r>0$$, $$a(r)->\mathrm{}$$ при $$r->\mathrm{}$$ ,.

$$a(|x(t)|)<=V[x_t(s)],\stackrel{}{V}[x_t(s)]<=-b(|x(t)|)\text{.}$$.

Тоді незбурений роз’язок $$x0$$ системи (1) є стійким, а кожен роз’язок обмеженим. Якщо, крім цього, $$b(r)>0$$ при $$r>0$$, тоді кожен розв’язок прямує до нуля при $$t->\mathrm{}$$ .

2.2. Один загальний випадок нелінійної системи третього порядку із запізненням Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням:

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x}(t)=\text{ax}(t)+X(x(t-),y(t-),z(t-)),\\ \stackrel{}{y}(t)=\text{by}(t)+Y(x(t-),y(t-),z(t-)),\\ \stackrel{}{y}(t)=\text{cz}(t)+Z(x(t-),y(t-),z(t-))\text{.}\end{array}$$ (2.2).

Тут $$a,b$$ і $$c$$ — від'ємні константи, функції $$X,Y,Z$$ задовольняють наступні умови:

$$\begin{array}{c}\frac{|X(x,y,z)|}{|x|}->\mathrm{0,}\text{при}|x|+|y|+|z|->\mathrm{0,}\\ \frac{|Y(x,y,z)|}{|x|}<=g_y|y|,\\ \frac{|Z(x,y,z)|}{|x|}<=g_z|z|,\end{array}$$ (2.3).

де $$g_y,g_z$$ — додатні константи.

Теорема 2.2. Нехай умови (2.3) виконані.

Тоді незбурений розв’язок $$|x|=|y|=|z|0$$ (2.2) є стійким та експоненціально $$x$$ -стійким.

Доведення. Нехай $$v(x(t))=-\frac{1}{2a}{x}^2(t)$$ — функція Ляпунова для скалярного рівняння:

$$\stackrel{}{x}(t)=\text{ax}(t)\text{.}$$.

Тоді:

$$\frac{\text{dv}}{\text{dt}(3)}=-x^2(t),$$ $${\text{grad}}_{x}v=-\frac{1}{a}x(t)\text{.}$$.

Розглянемо функціонал, що відображає $$C[-\mathrm{,\; 0}]$$ в $$R_1$$ вигляду:

$$V[x_t(s)]=v(x)+\underset{-}{\overset{0}{}}{x}_t^2(s)\text{ds}\text{.}$$.

Повна похідна функціоналу вздовж першого рівняння з (2.2) має вигляд:

$$\begin{array}{c}\frac{\text{dV}}{\text{dt}}=-x^2(t)+\frac{\text{dv}}{\text{dx}}X(x(t-),y(t-),z(t-))+x^2(t)-x^2(t-)=\\ -x^2(t-)-\frac{1}{a}x(t)X(x(t-),y(t-),z(t-))<=-x^2(t-)-\frac{1}{a}|x(t)||X|\text{.}\end{array}$$.

Згідно з умовами (3), існує $$\mathrm{,\; 0}<<H$$

таке, що:

.

$$\frac{\text{dV}}{\text{dt}}<=-c_1{x}^2(t-),c_1>0-\text{const}$$ (2.5).

у сфері:

$$t>=\mathrm{0,}|x|<=,|y|<=,|z|<=$$. (2.6).

Функціонал $$V[t,x_t(s)]$$ задовольняє умови:

$$V[x_t(s)]<={\text{Nx}}^2(t),V[x_t(s)]>=-\frac{1}{2a}{x}^2(t)$$.

при досить великому N.

Нехай $$x_t(,,)(s),y_t(,,)(s),z_t(,,)(s)$$ — довільний розв’язок системи (2.2) з початковими умовами $$x_0(s)=(s),y_0(s)=(s),z_0(s)=(s)$$ зі сфери:

$$t_0>=\mathrm{0,}{}_{}<=,{}_{}<=,{}_{}<=,<=\text{.}$$.

Розглянемо інтервал $$(\mathrm{0,}T)$$, на якому піддослідний розв’язок зодовольняє умови:

$${x_t(,,)(s)}_{}<=,{y_t(,,)(s)}_{}<=,{z_t(,,)(s)}_{}<=\text{.}$$.

Оскільки мають місце (2.5), (2.6), (2.7), то, як випливає з теореми 2 (див. [10], стор.145), розв’язок першого рівняння з (2.2) — експоненціально x-стійкий, тобто:

$$|x_t(,,)(s)|<=N{}_{}{e}^{-\frac{c_1}{N}t}\text{.}$$ (2.8).

Уявимо функцію $$y_t(,,)(s)$$, яка задовольняє друге рівняння з (2.2) у наступному вигляді:

$$y(t)=e^{\text{bt}}(0)+\underset{0}{\overset{t}{}}{e}^{b(t-)}\text{Yd}\text{.}$$ (2.9).

Оскільки $$b<\mathrm{0,}$$ то маємо:

$$\begin{array}{c}|y(t)|<=|(0)|+\underset{0}{\overset{t}{}}{g}_y|y(-)||x(-)|\mathit{d}<=\\ |(0)|+\underset{0}{\overset{t}{}}{g}_y|y(-)|N{}_{}{e}^{-\frac{c_1}{N}}\mathit{d}<=\\ |(0)|+g_{y}N{}_{}\underset{0}{\overset{t}{}}{e}^{-\frac{c_1}{N}({}_1+)}|y({}_1)|{\mathit{d}}_1\text{.}\end{array}$$.

Застосовуючи до останньої нерівності лему Гронуола-Беллмана, отримуємо:

$$\begin{array}{c}|y(t)|<=|(0)|\text{exp}\left[g_{y}N{}_{}\underset{-}{\overset{t}{}}{e}^{-\frac{c_1}{N}({}_1+)}{\mathit{d}}_1\right]\\ |(0)|\text{exp}\left[g_{y}N{}_{}\underset{-}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-\frac{c_1}{N}({}_1+)}{\mathit{d}}_1\right]=\\ |(0)|\text{exp}\left[\frac{g_{y}N{}_{}}{c_1}\right]\text{.}\end{array}$$.

Виберемо $$\mathrm{:}0<{\mathit{}}^{}<$$ і $$()>0$$ такі, що мають місце нерівності:

$$<c_2,{}_{}<=,c_2=\text{min}\left\{\frac{1}{N},\frac{c_1}{g_y{N}^2}\right\}\text{.}$$.

Звідси при $$t(\mathrm{0,}T)$$ має місце:

$$\begin{array}{c}|x(t)|<=N{}_{}{e}^{-\frac{c_1}{N}t}<={\mathit{}}^{-\frac{c_1}{N}t},\\ |y(t)|<={\mathit{}}^{}\text{.}\end{array}$$.

Нехай $${\mathit{}}^{}<$$. Таким чином, нерівності мають місце для довільного $$t>=0$$. Таким же чином, як це було зроблено для $$y$$

можна довести.

$$z$$

— стійкість (2.2). Теорему доведено.

.

3. Система імунного захисту Наша подальша мета — отримати достатні умови стійкості в явному вигляді для наступної нелінійної системи:

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x}(t)=\mathit{}(t)-\text{bx}(t)y(t)-\text{cx}(t),\\ \stackrel{}{y}(t)=-\mathit{}(t)+\text{kx}(t-)y(t-)+\text{lz}(t-),\stackrel{}{z}(t)=\text{mf}(x(t-))-\text{nz}(t)\text{.}\end{array}$$.

Тут $$f(x)=\frac{x}{q+x}$$. З цією метою введемо такі позначення. Нехай $$h_1,h_2,h_3,g_1,g_2,g_3$$

— довільні додатні константи.

.

Нехай:

$$\begin{array}{c}{D}_1\text{=-}2h_1+g_1,\\ D_2\text{=-}2h_2+g_2,\\ D_3\text{=-}2h_{3}n+g_3,\\ D_4\text{=-}{g}_1{D}_1{D}_2{D}_3-\frac{h_3^2{m}^2}{q^2}{D}_1{D}_2-h_1^2{}^2{D}_2{D}_3,\\ D_5\text{=-}{g}_2{D}_4,\\ D_6\text{=-}{g}_3{D}_5+g_2{h}_2^2(-D_1{D}_3{g}_1-D_1\frac{h_3^2{m}^2}{q^2}-h_1^2{}^2{D}_3)\text{.}\end{array}$$.

Теорема 3.1. Нехай існують додатні константи $$h_1,h_2,h_3,g_1,g_2,g_3$$, що задовольняють нерівності:

$$\begin{array}{c}{D}_1<\mathrm{0,}\\ D_2<\mathrm{0,}\\ D_3<\mathrm{0,}\\ D_4>\mathrm{0,}\\ D_6>0\text{.}\end{array}$$.

Тоді тривіальний розв’язок (22) є асимптотично стійким.

Доведення. Використаємо квадратичний функціонал вигляду:

$$V[x_t(s),y_t(s),z_t(s)]=h_1{x}^2(t)+h_2{y}^2(t)+h_3{z}^2(t)+\underset{-t}{\overset{0}{}}\left\{g_1{x}_t^2(s)+g_2{y}_t^2(s)+g_3{z}_t^2(s)\right\}\text{ds},$$.

що є додатньо-означеним на розв’язках системи (22). Обчислимо повну похідну функціоналу $$V[x_t(s),y_t(s),z_t(s)]$$

використовуючи систему (22). Маємо:

.

$$\begin{array}{c}\frac{\text{dV}}{\text{dt}}[x_t(s),y_t(s),z_t(s)]=D_1{x}^2(t)+D_2{y}^2(t)+D_3{z}^2(t)+2h_1\mathit{}(t)x(t-t)+\\ x(t-t)y(t-t)\{-2h_1\text{bx}(t)-2h_2\text{ky}(t)\}+2h_2\text{ly}(t)z(t-t)+2h_{3}m\frac{z(t)x(t-t)}{q+x(t-t)}-\\ g_1{x}^2(t-t)-g_2{y}^2(t-t)-g_{3}z(t-t)\text{.}\end{array}$$.

Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо:

$$\begin{array}{c}\frac{\text{dV}}{\text{dt}}[x_t(s),y_t(s),z_t(s)]<={}_1{x}^2(t)+{}_2{y}^2(t)+{}_3{z}^2(t)+2h_1\mathit{}(t)x(t-)+\\ 2h_2\text{ly}(t)z(t-)+2\frac{h_{3}m}{q}z(t)x(t-)-\\ g_1{x}^2(t-)-g_2{y}^2(t-)-g_{3}z(t-)\text{.}\end{array}$$.

Ми отримали нерівність, де в правій частині є квадратична форма, що відповідає вектору:

$$=(x(t),y(t),z(t),x(t-),y(t-),z(t-){)}^T\text{.}$$.

Маємо:

$$\frac{\text{dV}}{\text{dt}}[x_t(s),y_t(s),z_t(s)]<={}^T\mathit{W}$$

.

.

Тут:

$$W=\begin{array}{cccccc}{}_1& 0& 0& h_1& 0& 0\\ 0& {}_2& 0& 0& 0& h_{2}l\\ 0& 0& {}_3& \frac{h_{3}m}{q}& 0& 0\\ h_1& 0& \frac{h_{3}m}{q}& -g_1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -g_2& 0\\ 0& h_{2}l& 0& 0& 0& -g_3\end{array}$$

.

.

Взявши до уваги вигляд матриці $$W$$, стає зрозумілим, що від'ємна визначеність $$W$$ є еквівалентною виконанню нерівностей, згаданих у формулюванні теореми.

Література.

1. 1. Нисевич Н. И., Марчук Г. И. Математическое моделирование вирусного гепатита. — М.: Наука, 1981.

2. 2. Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. Springer. — Berlin, 1977.

3. 3. Bellman R., Jacques J., Kalaba R. Some mathematical aspects of chemoterapy. I: one-organ models // Bull. Math. Biophys. — 1960. — Р. 181−198.

4. 4. Marzeniuk V.P. On Construction of Exponential Estimates for Linear Systems with Delay. — Advances in Difference Equations. — Gordon and Breach Science Publishers. — 1997. — Р.439−445.

5. 5. Хусаинов Д. Я., Марценюк В. П. Оптимизационный метод исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием // Кибернетика и системный аналіз. — 1996. — № 4. — С. 88−93.

6. 6. Хусаинов Д. Я., Марценюк В. П. Двусторонние оценки решений линейных систем с запаздыванием // Доклады НАН Украины.- 1996. — № 8. — С. 8−13.

7. 7. Volterra V. Sur la theorie mathmatique des phenomenes hereditaires. J. Math. Pures Appl. — 7 (1928). — Р. 249−298.

8. 8. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

9. 9. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1951.

10. 10. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

    Введение

    в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971.

11. 11. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с постедействием. — М.: Наука, 1981. — 448 с.