Матриці, дії над ними. 
Обернена матриця. 
Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її розв"язок

Пошукова робота.

на тему:

Матриці, дії над ними. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її розв’язок.

План Матриці, дії над ними.

Обернена матриця.

Ранг матриці.

ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ Матриці.

1. Матриці, дії над ними.

— номер стовпчика.

називається квадратною.

Квадратна матриця, в якої всі діагональні елементи є одиниці, а решта елементів — нулі, називається одиничною.

.

Дві матриці називаються однотипними, якщо в них кількість рядків та стовпчиків відповідно однакові.

Дві однотипні матриці називаються рівними, якщо в них відповідні елементи рівні.

називається матриця, однотипна з даними, а кожний її елемент з сумою (різницею) відповідних елементів даних матриць.

Відносно до дій над однотипними матрицями, як і для чисел, залишаються вірними переставний закон додавання двох матриць, сполучний закон додавання для трьох матриць.

 — однотипні матриці, то вірні такі дії:

— нульова матриця.

.

обчислюються за формулами.

Приклади.

Множення матриць не є комутативним. Це означає, що від.

перестановки множників може змінитись добуток, тобто.

.

Приклади.

-число, то вірні такі властивості:

(доводиться безпосереднім множенням).

.

.

.

називаються комутативними.

вірні такі твердження:

.

тобто визначник добутку двох однотипних квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників.

вірне таке твердження:

.

Порядком квадратної матриці називається кількість її рядків (або стовпчиків, або діагональних елементів).

Введемо такі нові поняття, що відносяться до теорії матриць.

називається особливою (сингулярною, виродженою).

2. Обернена матриця.

.

якщо.

.

.

Теорема. Для даної матриці обернена матриця є єдиною, якщо вона існує.

. Тоді матимемо.

.

. Теорему доведено.

Теорема. Всяка неособлива квадратна матриця має обернену матрицю.

.

Розглянемо

;

Отже,

обернена. Теорема доведена.

Звертаємо увагу читача на закон складання оберненої матриці.

потрібно:

;

замінити відповідним алгебраїчним доповненням;

;

.

.

зліва, тобто.

зліва, тобто.

.

що і треба було довести.

Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці.

:

:

):

Тепер, об'єднавши пп.2 і 4, запишемо.

Перевірка:

Отже, обернена матриця знайдена вірно.

називається ортогональною, якщо виконується умова.

.

— ортогональна матриця.

одержуємо.

Із правила множення матриць випливає, що це множення виконується точно так само, як і множення визначників. Тому.

.

що і треба було довести.

3. Ранг матриці.

а тому рівні нулю).

Рядки і стовпчики, на перетині яких розташований базисний мінор, назвемо базисними рядками і стовпчиками.

називається порядок базисного мінору, або, інакше, найбільший порядок, для якого існують відмінні від нуля мінори.

Нульова матриця має ранг, що дорівнює нулю.

го порядку.

Ми приведемо без доведення деякі теореми, що будуть використовуватися надалі.

Теорема 1. В довільній матриці кожний рядок є лінійною комбінацією базисних рядків, а кожний стовпчик — лінійною комбінацією базисних стовпчиків.

дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпчиків) в цій матриці.