Близькість (реферат)

Реферат на тему:

Близькість

Задача. Найближча пара. На площині задано N точок. Знайти дві з них, відстань між якими найменша.

В одномірному випадку можна впорядкувати координати точок за час O (N * log N) а потім за лінійний час проглянути точки x1, x2, …, xN обчислюючи значення xi+1 — xi, i = 1, …, N-1.

Означення. Точа b є найближчим сусідом точки a множини S (позначається a b), якщо.

dist (a, b) = min dist (a, c), c S / a.

Відношення найближчий сусід на множині точок Задача. Єдиність елементів. Дано N дійсних чисел. Чи є серед них два рівних числа?

Теорема. Задача єдиність елементів лінійно зводиться до задачі найближча пара.

Доведення. Дано множину дійсних чисел {x1, x2, …, xN}. Розглядаємо їх як точки на прямій y = 0 та намагаємося знайти найближчу пару точок. Якщо відстань між найближчою парою точок не дорівнює нулю, то усі числа різні.

Задача. Найближчі сусіди. На площині задано N точок. Знайти найближчого сусіда для кожної точки множини.

Задача. Евклідове мінімальне остове дерево (ЕМОД). На площині задано N точок. Побудувати дерево, вершинами якого є всі задані точки і сумарна довжина всіх ребер якого мінімальна.

Теорема. Задача сортування за лінійний час зводиться до задачі ЕМОД.

Доведення. Розглянемо кожне число xi множини {x1, x2, …, xN} як точку (xi, 0) на площині та будуємо ЕМОД. В побудованому дереві вершини, які відповідають числам xi та xj, сполучені ребром тоді і тільки тоді, коли утворюють пару послідовних чисел у впорядкованій множині. Розв’язком задачі ЕМОД є список з N — 1 пар (i, j), кожна з яких визначає ребро дерева. Цей список можна впорядкувати за лінійний час.

Задача. Триангуляція. На площині задано N точок. Сполучити їх неперетинаючими відрізками так, щоб кожна область всередині опуклої оболонки цієї множини точок була трикутником.

Теорема. Задача сортування за лінійний час зводиться до задачі триангуляції.

Доведення. Розташуємо N-1 точку з множини {x1, x2, …, xN} на одній прямій, а одну точку не на прямій. Триангуляція множини точок може бути проведена єдиним чином:

Список ребер, що породжується алгоритмом триангуляції, можна використати для отримання впорядкованого списку чисел xi за час O (N).

Найближча пара Одномірний випадок. Алгоритм розділяй та пануй.

Припустимо, що точка m розбиває множину S на дві підмножини S1 та S2, при чому p < q для всіх p S1 та q S2. Рекурсивним чином розв’язуємо задачу про найближчу пару для множин S1 та S2 і отримаємо дві пари точок {p1, p2} та {q1, q2}, які представляють найближчі пари для S1 та S2 відповідно. Позначимо через найменшу відстань, знайдену на поточний момент: = min (|p2 — p1|, |q2 — q1|). Найближчою парою у множині S буде або {p1, p2}, або {q1, q2}, або {p3, q3}, де p3 — права точка множини S1, а q3 — ліва точка множини S2 (це випливає з того, що точки p3 та q3 повинні знаходитися на відстані, яка не перевищує ід точки m).

Blpara (S, Begin, End).

if Begin = End then return MAXINT;

if (Begin — End) = 1 then return S[End] - S[Begin];

Mediana = (Begin + End) / 2;

ResS1 = blpara (Begin, Mediana);

ResS2 = blpara (Mediana + 1, End);

Delta = S[Mediana + 1] - S[Mediana ];

return min (ResS1, ResS2, Delta);

Двовимірний випадок. Алгоритм розділяй та пануй.

Розіб'ємо множину S на дві підмножини S1 та S2 так, щоб кожна точка S1 лежала лівіше довільної точки S2. Тобто множина точок розбивається на частини вертикальною прямою l, що визначається медіаною множини S по x координаті. Розв’язавши задачу для S1 та S2, отримаємо числа та мінімальні відстані для множин S1 та S2 відповідно. Покладемо min (,).

Якщо найближчу пару утворюють точки p S1 та q S2, то відстані від p та q до l не перевищують Позначимо через P1 та P2 дві вертикальні смуги шириною розташовані відповідно зліва та справа від l. Тоді p та q P2. Ми повинні знайти всі точки q P2, віддалені від p не більш ніж на Всі такі точки повинні знаходитися в прямокутнику R розміром 2Відомо, що жодна пара точок в P2 не знаходиться на відстані, меншій за Максимальна кількість точок, яку можна розмістити в такому прямокутнику, дорівнює 6. Оже для кожної точки з P1 необхідно дослідити не більше шести точок з P2. На кроці злиття розв’язків підзадач необхідно виконати не більш ніж 6 * N/2 = 3N порівнянь.

1. Розбити S на дві підмножини S1 та S2 вертикальною прямою l, яка ділить множину S навпіл.

2. Рекурсивно знайти відстані для найближчих пар та .

3. min (,).

4. Нехай P1 — множина точок з S1, що лежать в смузі на віддалені ід розділяючої прямої l, а P2 — аналогічна підмножина в S2. Спроеціювати P1 та P2 на l та впорядкувати проекції за y координатою. Нехай P1* та P2* - відповідні впорядковані послідовності.

5. Злиття можна виконати, переглядаючи P1* і для кожної точки з P1* досліджувати точки з P2*, що знаходяться на відстані не більшій за Нехай найменша відстань між парою точок, знайдена в ході виконання процедури злиття.

6. min (.

Теорема. Найкоротша відстань, яка визначається N точками на площині, може бути знайдена за час O (N * log N), який є оптимальним.