Апология Нескінченності

Апология Бесконечности.

Станишевский Олег Борисович Исследование нескінченності будь-коли закінчиться. пізнання нескінченності не є процес безперервного накопичення знання ній, це, скоріш, поетапний прерывно-исторический процес. На кожному з етапів її пізнання розкриваються дедалі нові її боків. Безкраїсть є фундаментальної гносеологічної і онтологічного константою. Першим знанням неї був апейрон Анаксимандра (VI в. е.), який означав нескінченне суще. Представник пізнього пифагореизма Архіт Тарентский (IV в. е.) так доводив нескінченність світобудови: «Помістивши на краї Всесвіту … було б в змозі простягнути свою правицю чи палицю далі межі цього чи ні? «[1, з. 240]. Аристотель, як відомо, заперечував актуальну нескінченність. Воно й ввів поняття актуальною завжди і потенційної нескінченності. Щоправда, логічно ні ясно — як можна говорити про потенційної нескінченності за відсутності нескінченності як такої, тобто актуальною нескінченності. Потім християнство вважає, що його вирішило проблеми нескінченності, надавши її як невід'ємного атрибута Богу. потім математика від імені диференціального і інтегрального обчислення взяла нескінченність на озброєння. Оскільки нескінченність не мала суворого і чіткої визначення, то математиці почали з’являтися пов’язані із нею протиріччя. Приміром, безкінечні ряди у математиці розділили на сходящиеся і які суперечать, було також узаконене положення про те, що лінії складаються з точок, площині - з прямих тощо. До Ґеорга Кантора нічого принципово нового континенту в розумінні нескінченності був. Заслугою Кантора як разів, і є відкриття їм безкінечною ієрархії алефов (алефы — це нескінченні кардинальні числа, чи потужності нескінченних множин). Їм було створено теорія нескінченних множин. Цілком закономірним було те, що почали виявлятися протиріччя. Найвідомішими є парадокси Рассела. Про парадоксах і протиріччях є досить велика література. Їх дослідженню присвячені, наприклад, роботи [2], [3], [4], [5]. Проте протиріччя, та парадокси у яких не дозволяються, а обговорюються. Щоправда, Бурова в [4] слушно наголошує, що пряма не складається з точок, площину не складається з прямих, бо, що у математиці вважається, що пряма складається з точок, є помилкою. Одне слово, протиріччя, та парадокси теоретично нескінченних множин зберігаються понині. За щонайменше ніж столітнє існування теорії (а точніше — теорій) нескінченних множин у сенсі нескінченності малий, що змінилося. Навіть поява нестандартного аналізу (див. про ньому [6]) не внесло повної ясності розуміння нескінченності. Але, попри протиріччя, математика — не збирається відмовлятися від «канторовского раю », тобто не від теорії нескінченних множин (про нескінченному та проблеми нескінченності в доступному викладі див. книжки: «У пошуках нескінченності «, «Розповіді про безлічах «- автор Н.Я. Віленкін; «Невичерпність нескінченності «- автор Ф.Ю. Зігель; «Гра з нескінченністю «- автор угорська математик Р. Петер).

В останнім часом з’явилися публікації, створені задля повалення теорії нескінченних множин і негативно оцінюють самого Р. Кантора та її вчення. Ці антиканторовские виступи небезпідставні і мають дуже рішучий і безкомпромісний характер. Ми тут покажемо неспроможність як і антиканторовской тенденції.

Речь про публікаціях і виступах А. А. Зенкина [7], [8], [9]. Ось як він оцінює свій результат [8, з. 167]: «Отже, вперше доведено велике інтуїтивне провидіння (і застереження!) Аристотеля, Лейбніца, Локка, Декарта, Спінози, Канта, Гаусса, Коші, Кронекера, Эрмита, Пуанкаре, Брауэра, Вітгенштейна, Вейля, Лузіна і багатьох інших видатних математиків і філософів у тому, що «актуальна нескінченність «є внутрішньо суперечливим поняттям і тому його використання у математиці - неприпустимо ». Вчення ж Кантора оголошується шкідливим (там-таки): «саме теорема II Кантора завжди була й залишається сьогодні єдиним (!) основою, воістину, вавилонської товкотнечі незліченних ординалов і недосяжних кардиналів сучасної метаматематики: приберіть теорему II Кантора, і цей блискучий супертрансфинитный «Вавилон «розсиплеться одноразово, оскільки найбільш балачки про існуванні нескінченних множин, різняться за своєю потужністю, буде зацікавлений у цьому випадку виглядати лише «трансфинитной претензією на порожній глибокодумність «» і «цікавим патологічним казусом історія математики, від якої прийдешні покоління надійдуть у жах ». цих місць з негативної оцінкою Кантора та її навчання у цих статтях дуже досить.

На чому грунтується така негативна оцінка теорії нескінченних множин? Грунтується на неможливості довести діагональним методом, та й іншими методами, існування нескінченних множин, потужність яких суворо більше потужності початкового нескінченного безлічі, чи коротко — ставлення «2M>M «для нескінченного безлічі M. Сутність неможливості залежить від наступному. По гаданому пересчету нового безлічі 2M будують новий, «діагональний », елемент, який жодним чином неспроможна утримуватися в плановане перерахунку. Кантор і всі його послідовники (у тому однині і наші відомі математики П. С. Александров, А.А. Мальцев) від цього укладають, що новий безліч не можна перелічити з допомогою вихідного безлічі M, яким, наприклад, може бути безліч натуральних чисел. Однак уся відому теорію нескінченних множин полягає в аксіомі нескінченності Дедекинда: «безліч є нескінченним, як і лише коли він має власне підмножина, у якому взаємно однозначно відображається дане безліч «[10, Т.1, з. 455]. тому, додаючи до будь-якого нескінченному безлічі один новий елемент, ми щось змінюємо — потужність даного безлічі не зміниться. Отже, діагональний метод ні закінчуватися виявленням елемента, які входять у гаданий перерахунок безлічі 2M, а має тривати включенням «діагонального «елемента у гаданий перерахунок і отриманням нового гаданого перерахунку, які вже міститиме й цей «діагональний «елемент. Але потім можна отримати наступний «діагональний «елемент і це процедура може тривати нескінченно, як і означає неможливість довести несчетность безлічі 2M. Це своє чергу, означає нічим іншим, як неможливість побудови канторовской ієрархії алефов, із чого Зенкин і укладає неспроможність нескінченності та канторовской теорії множин.

Но з такою укладанням не можна погодитися з двох причин. По-перше, заперечення нескінченності та канторовской теорії множин є просто крайній агностицизм. Якщо з такий думками, те з математики треба буде викинути багато найцікавіші і найважливіші розділи. Втратимо, якщо можна сказати, нескінченно багато, а знайдемо нескінченно мало. По-друге, концептуальні протиріччя з теорії множин можна усунути [11]. Ми тут коротко зупинимося на усуненні лише тих протиріч, які причетні до разбираемому тут протиріччю між що у теорії множин визначенням нескінченного числа й діагональним методом Кантора.

Противоречия теорії множин чомусь прийнято називати парадоксами. Напевно, з легкої руки Б. Рассела. І ще тому, напевно, що парадокси належать до чогось непізнаному і що і тому їх існування у теоріях вважають природним. Але, зрештою, парадокси та страшної суперечності мали бути зацікавленими дозволені і усунуті від теорії. Оскільки ми тут захищаємо право нескінченності їхньому існування, те й розберемо ми тут лише 2 концептуальних протиріччя, які мають безпосередній ставлення до цього питання, хоча, звісно, концептуальних суперечностей у теорії множин значно більше. Перше є фундаментальним і є методологічний принцип всієї теорії нескінченних множин. Це — принцип «частина може дорівнювати цілому ». Друге концептуальне протиріччя залежить від фактичну відсутність визначення початковій актуальною нескінченності. Розглянемо ці протиріччя усе своєю чергою.

На принципі «частина може бути дорівнює цілому «як у непорушному фундаменті спочиває аксіома нескінченності Дедекинда, еквівалентна іншим визначень нескінченності (наприклад, у книзі П. С. Александрова [12, з. 21] аксіома Дедекинда доводиться як теорема). Наведемо ті протиріч теорії множин, які народжуються цим принципом. Однією з відомих парадоксів є парадокс з що розходяться рядами. Наприклад, знакочередующийся ряд S=1−1+1−1+… в залежність від угруповання його членів може мати будь-яке значення суми P. S від 0,±1,±2,… до ± ?. І всі тому що за перегрупуванню членів низки кількість негативних і позитивних членів виходячи з принципу «частина може дорівнювати цілому «не може змінюватися самим довільним чином. Подейкують, що підмножина парних, чи непарних, чисел натурального низки еквівалентно всьому натуральному ряду. Той самий парадоксальною є і арифметика над трансфинитными числами, у якій діють інші, ніж у кінцевої арифметиці, правил і які теж грунтуються на принципі «частина може дорівнювати цілому ». Наприклад, в трансфинитной арифметиці мають місце такі співвідношення: n+?=???+n, 2x???+?=?x2, ?=nx???xn та інших. Є ще правила виконання арифметичних операцій над кардинальними числами, відмінні і південь від правил кінцевої арифметики, і південь від правил трансфинитной арифметики. Так,.

.

определяющее кількість елементів в нескінченному безлічі. Таке доведене Кантором становище, як «число точок відрізка одно числу точок квадрата », бо так вплинув математику, що змусило в топології відмовитися від узвичаєного в усьому природознавстві параметрического визначення розмірності просторів і прийняти на озброєння індуктивне визначення розмірності, яка визначає континуумы будь-яких розмірностей як безлічі. Всі ці парадокси неможливо узгоджуються з класичною логікою. теоретично множин з класичною логікою узгоджується тільки одне — діагональний метод Кантора, оскільки там не задіяно суперечливе визначення нескінченного безлічі з урахуванням принципу «частина може дорівнювати цілому ». Тому якщо є підстави вважати про помилку Ґеорга Кантора, то ми не щодо діагонального методу [7], а щодо введеного їм у теорію множин принципу «частина може дорівнювати цілому », що у кричущому суперечності з класичної логікою. У [11] запропоновано на теорії нескінченних множин від принципу «частина може дорівнювати цілому «і від визначення нескінченного безлічі по Дедекинду. У результаті диагональном методі докази відносини 2?>? вже не можна буде додати в гаданий перерахунок безлічі 2? новий, «діагональний », елемент, оскільки це додавання відповідно до принципу класичної логіки «частина може бути дорівнює цілому «змінить гаданий перерахунок і перетворить їх у нове безліч, неэквивалентное гаданому пересчету. Діагональний метод Кантора, в такий спосіб, залишиться непохитним. Підуть і з теорії множин і від перелічені протиріччя, а нескінченному діятимуть самі закони класичної логіки, що у кінцевої області.

Интересно, звісно, задатися питанням: як і чому великі математики доводили і передоказывали теорему Кантора і помічали протистояння між визначенням нескінченного числа й діагональним методом? Нам здається, чтопри її доказі, з грандіозності наслідків теореми «2M>M », тимчасово чи «забували «про принципі «частина може дорівнювати цілому », чи підсвідомо підпорядковувалися принципу «частина може бути дорівнює цілому «і тому зупинялися у тому самому місці діагонального методу, де треба було перевірити можливість додавання нового елемента до проверяемому безлічі і повторного побудови іншого нового елемента тощо. швидше за все, цим правилом і можна пояснити ситуацію з діагональним методом. Тут доречно пригадати Б. Рассела і запитати: чому Рассел натомість, щоб зрозуміти сутності підстав теорії множин та його протиріч, виставляв на чільне місце слідства із їм парадоксів? Чому? Нам здається оскільки критикувати і руйнувати завжди легше, ніж творити, що деконструювати, ламати легше, ніж конструювати. Аналогічні справи у разі останніх антиканторовских виступів А. А. Зенкина.

В його статті [9] з урахуванням хибних умовиводів також дискредитується канторовская теорія множин. На думку, у ній має місце найпростіше змішання кінцевого із нескінченним [9 с.80−81]. Справді, там розглядаються дві знакові конструкції (5) і (6). Знакова конструкція (5) — це відповідна запис натурального низки:

1, 2, 3, …, w, w+1, w+2, w+3, …,.

где символ w є довільне кінцеве натуральне число. Відповідно крапки між натуральним числом 3 і натуральним числом w означає, що у його місце перебуває w-4 натуральних чисел, тобто цілком певне кінцеве кількість w-4 натуральних чисел. Знакова конструкція (6) — це, як стверджує автор, «знаменитий канторовский ряд трансфинитных чисел » :

1, 2, 3, …, ?, ?+1, ?+2, ?+3, …, ?x2, ?x2+1, ?x2+2, ?x2+3, …

(На насправді це ряд трансфинитных чисел, а нескінченний ряд порядкових чисел. порядкові ж числа містять у собі і кінцеві порядкові числа, й безмежні, тобто трансфинитные, числа.) Тут символ? означає найменше трансфинитное число. Відповідно крапки між числами 3 і ?, з одного боку, і між числами ?+3 і ?x2, з іншого боку, свідчать, що дома першого крапки перебуває безліч кінцевих натуральних чисел 4, 5, …, але в місці другого крапки перебуває таку ж безліч трансфинитных чисел ?+4,?+5,?+6, … порівнюючи суто візуально конструкції (5) і (6), автор робить такий висновок (там-таки с.81): «в такий спосіб ми побудували (довели побудовою) 1−1-соответствие між безліччю трансфинитных цілих (порядкових) чисел Кантора (6) і безліччю всіх кінцевих натуральних чисел зі збереженням порядку ». Як можна встановити (1−1)-соответствие, тобто взаємно однозначне відповідність, між безліччю кінцевих чисел (конструкція (5)) і безліччю порядкових чисел, які включають у собі кінцеві порядкові числа і трансфинитные числа (конструкція (6)), невідомо нікому. Тому правильно це в коментар до цій статті. А встановити це відповідність неможливе тому, що трансфинитные числа конструкції (6) — це порядкові типи рахункових цілком упорядкованих множин, що є незліченну безліч [12, з. 69−70]. Проте автор всупереч цьому стверджує на с. 81, що «Відомо, що канторовский ряд (6) … є рахунковим безліччю », чого насправді немає [12, з. 69−70]. Вся ж річ у цьому, автора щосили намагається повалити нескінченність і тому ототожнює кінцеве із нескінченним у вигляді надуманого їм (1−1)-соответствия між конструкціями (5) і (6). Причому, автор неточний у тому, що конструкцію (6) називає «безліччю трансфинитных чисел », хоча у неї належать факти й кінцеві числа (вони що — теж трансфинитные числа?!). Треба сказати більше. На с. 93 у відповідь автора на згаданий коментар знову стверджується, що конструкція (6) є лічильної. Але це не так! Конструкція (6), принаймні, має потужність стандартного континууму ?1=2?, про що свідчать і П. С. Александров [12, з. 69 і теорема 18 на з. 70], і Ю.І. Манін [13, з. 105]. Це — перше. По-друге, автор наполегливо стверджує [9, з. 81, 93] про ізоморфізмі конструкцій (5) і (6) зі збереженням природного порядку натурального низки. Але це не може бути, що у конструкції (5) будь-яке натуральне число n (крім першого) має попередника n-1, а конструкції (6) є нескінченно багато порядкових чисел (про граничних) ?,?x2,?x3,…, які мають попередників (див., наприклад, у Ю.І. Маніна [13, з. 104] чи математичної енциклопедії [10, Т.4, стаття «Порядковое число «]), унаслідок чого в конструкції (6) перед граничними трансфинитами ?, ?x2, ?x3, … є хіба що «дірки », чи «чорні діри », у яких містяться міріади счетно нескінченних множин, а конструкції (5) таких, немає і тому між конструкціями (5) і (6) ще може бути ізоморфізму, тим більш, зі збереженням природного порядку натурального низки.

таким чином, ніякого (1−1)-соответствия між лічильної конструкцією (5) і несчетной конструкцією (6) немає й можуть бути неспроможна. Відповідно немає і «бути неспроможна ніякої розмови про зведенні нескінченного до кінцевого, що намагався зробити Зенкин.

Из всього вищесказаного слід лише одна: повалення канторовской теорії множин немає під собою жодних підстав. Суперечності? Так — у ній є розбіжності, та їх подолання й усунення є цілком посильними і реальними [11].

Перейдем до другого названому нами концептуального протиріччю — фактичному відсутності визначення початковій актуальною нескінченності. Вразливим теоретично множин є початкова безліч, за який виступає безліч натуральних чисел N=0,1,2,3,…, n,… Воно називається також рахунковим безліччю. Вивчається воно як актуальне безліч, має потужність ?. Безкраїсть? є найменша нескінченність, бо всі числа, менші цієї нескінченності, входить у безліч N, що містить у собі лише кінцеві числа. Відомим протиріччям є також те, що багато N містить лише кінцеві числа — його ще називається безліччю всіх кінцевих чисел — і, попри це, постулюється, що містить безліч? кінцевих чисел. З погляду класичної логіки цього то, можливо, оскільки кількість чисел в безлічі N має збігатися з максимальною кількістю цього безлічі, тобто число ?, чи з крайнього заходу число ?-1, повинно входити в безліч N. Але тут інше — число? не входить у ряд N, воно називається граничним, до якого тягнуться числа натурального низки, що записують как:. Причому, в багатьох інших схожих записах має місце нечіткість у сенсі символів нескінченності. Так, запис n? повинна розумітись просто фраза «n прямує до нескінченності «. Рівність ж краю limn трансфиниту? цілком конкретно, хоча очевидно, що … Без попередника (число ?-1 теоретично множин заборонено), число? виявляється, і магічним, і містичним, і фантастичним. У результаті між числом? та всіма кінцевими числами N має місце «дірка », котра водночас може бути «чорної дірою », у якому можуть летіти міріади нескінченних множин N, і «чорної антидырой », з яких можна черпати також міріади нескінченних множин. Попри цю екзотику, безліч натуральних чисел залишається незмінною за своєю потужністю, то уже є щодо своєму кількості елементів. Такий стан речей перебуває у явному суперечності з класичної логікою, з її принципом «частина може бути дорівнює цілому ». Це, напевно, спонукало Р. Кантора і Р. Дедекинда запровадити в теорію нескінченних множин принцип «частина може дорівнювати цілому «(Україні цього принципу узвичаїв ще Микола Кузанский).

Поскольку ми відмовилися від імені цієї принципу, то, очевидно, що треба знайти визначення актуальною нескінченності, відповідальна справжньому стану речей. А воно, тобто дійсне стан справ, є наступним. По-перше, оскільки протиріччя нескінченному виникають через порушення принципів класичної логіки, то головним методологічним принципом у визначенні нескінченності мали бути зацікавленими принципи класичної логіки. По-друге, необхідно мати несуперечливе визначення лічильного безлічі. Нарешті, по-третє, треба дати чітка й ясне несуперечливе визначення початковій актуальною нескінченності.

Итак, що уявляє собою рахункове безліч? Чи є нескінченним, як це узвичаєно, або ж воно насправді є кінцевою, хоч і необмеженим? Те, що це дуже важливо, це випливає з наступного. Якщо припустити, що рахункове безліч є кінцевим, тоді знімуться всі його суперечності. По-перше, він буде утримувати не безліч? елементів, а кінцеве кількість N, яке, як і ?, буде граничним числом всім кінцевих чисел, але з нескінченним, а кінцевим, причому таким незбагненно великим кінцевим числом, що все кінцеві числа n менше його, тобто n?, і без неї. Не використовувати теорему Кантора, треба помітити, що позаяк все числа лічильного безлічі є кінцевими, те й кількість L двійкових розрядів їхнього записи є кінцевою. Однак у цьому випадку, як знаємо з арифметики, кількість чисел, що може бути записано з допомогою кінцевого числа L розрядів, одно 2L. Оскільки L кінцеве, те й 2L є кінцевою числом. Але це суперечить з того що кількість всіх кінцевих чисел лічильного безлічі за визначенням є нескінченним. З використанням теореми Кантора слід зазначити те, що двоичные розряди rl є безліч L, проте його підмножини — це що інше, як все кінцеві числа N. А кількість підмножин безлічі L одно 2L, яка є також безліч ?, тобто 2L=?, звідки безпосередньо слід, що L має бути нескінченним. По теоремі ж Кантора ?=2L>L, тобто L.