Математичне забезпечення САПР

Математичне забезпечення САПР

Тема: Математичне забезпечення САПР.

Загальні поняття та вимоги до МЗ.

Способи отримання математичних моделей.

Постановка задач оптимізації.

Класифікація і характеристика методів оптимізації.

1.

МЗ включає в себе мат. методи, мат. моделі та алгоритми.

Мат. моделі описують взаємозв'язки параметрів об'єкту, а також дозволяють оцінити наслідки проектних рішень. Важливою перевагою мат. моделей є можливість одержати інформацію про об'єкт проектування без проведення натуральних експериментів.

Основні вимоги до мат. моделей:

універсальність,.

точність,.

адекватність,.

економічність.

Універсальність — мат. моделі - означає можливість її застосування для аналізу певної групи об'єктів.

Точність м.м. — оцінюється мірою співпадання даних, отриманих по м.м. із реальними даними.

Адекватність м.м. — здатність відображати властивості об'єкту із похибкою не вище заданої.

Економічність м.м. — характеризується затратами обчислюваних ресурсів на її реалізацію.

До обч. ресурсів відносять:

час, який необхідний для реалізації мат. моделей.

об'єм машинної пам’яті.

2. Способи отримання мат.моделей.

Існує три отримання м.м.:

Аналітичний,.

Експериментально-аналітичний,.

Експериментальний.

Суть аналітичного способу отримання м.м. полягає в застосуванні класичних законів фізики, хімії та ін.наук.

Суть експериментально-аналітичного методу полягає в обчисленні значень коефіцієнтів для насамперед відомої моделі.

Для отримання мат. моделей експериментальний метод — 9.3. док. необхідно реалізувати сукупність експериментальних досліджень, серію дослідів тощо.

Експериментальні дослідження можуть проводитись за класичним способом та за допомогою математичного планування експериментів.

Недолік класичного методу — це велика кількість дослідів.

Перевага — вища точність опису.

Мат. програмування експерименту дозволяє побудувати мат. залежності (м.м.) при значно меншій кількості дослідів.

Найширше для опису процесів та об'єктів д/о застосовуються: повнофакторні плани (ПФП), плани Бокса (В), а також центральні композиційні уніфориронтотабельні плани (УКУРП).

Класичн. 52 = 25.

ПФП N = 2R = 4.

X1.

X2.

Y.

X1min.

X2min.

Y1.

X1max.

X2min.

Y2.

X1min.

X2min.

Y3.

X1min.

X2min.

Y4.

Y = b0+b1x1+b2x2+b12 * x1x2.

Перевага — менша кількість дослідів.

Недолік — точність опису гірша.

Якщо модель 1-го порядку неадекватна, то переход. до планів Бокса, та до УКУРП.

Реалізація цих планів дозволяє отримати мат. моделей у вигляді рівняння регресії 2-го порядку.

де:

y — значення вихідного параметра (критерія оптимізації),.

b0 — значення вільного члена,.

bi — значення лінійних коефіцієнтів,.

bii — значення квадратних коефіцієнтів,.

bij — значення коефіцієнтів парної взаємодії,.

xi — значення вхідних факторів.

3. Загальна постановка задач оптимізації.

2 види м.м.

описового характеру,.

оптимізаційні.

Після побудови м.м. проектувальник здійснює її оптимізації:

вибір оптичного типу об'єкта,.

вибір оптимальної конструктивної схеми,.

оптимізацію параметрів об'єкту,.

пошук оптимального управління об'єктом,.

оптимізацію допусків та параметрів.

Після побудови м.м. формуємо функцію мети (критерії оптимізації).

Функція мети — кількісний показник, який дозволяє оцінити ефективність прийнятих рішень.

Критерії (показники) оптимізації поділяються на 3 групи:

технічні,.

техніко-економічні,.

екологічні.

1 — надійність, енергота металомісткість, тривалість служби.

2 — продуктивність, собівартість, рентабельність і ін.

3 — оцінюють вплив проектованого об'єкту на довкілля.

Після побудови функції мети формують обмеження на параметри (продуктивний облад., габаритні розміри меблевих виробів, к.к.д., швидкодію та ін.).

Після цього приступаємо до вибору методу оптимізації.

Для оптимізації використовуються:

Класичні або аналітичні методи (диференційне числення, варіаційне числення, метод многочленів Лагранжа).

Методи мат. програмування:

а) лінійне,.

б) нелінійне,.

в) динамічне,.

г) стохастичне програмування.

(стохастична — випадковість в часі).

Лінійне програмування — використовується в тих випадках, коли функція мети та обмеження мають лінійний характер (Simplex — метод).

Нелінійне програмування — застосовується в тих випадках, коли функція мети або обмеження є нелінійним (методи сканування, градієнтні).

Стохастичне програмування — …, коли маємо справу із випадковими факторами.

Динамічне програмування — використовується для оптимізації дискретних об'єктів, які можна природно або умовно поділити на окремі стадії в часі або просторі.