Основні задачі математичної фізики

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів — диференціальні рівняння в частинних похідних. Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному… Читати ще >

Основні задачі математичної фізики (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Тема: Основні задачі математичної фізики.

Лекція № 1

План

1.Приклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних.
2.Приклади постановок таких задач.
3.Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних.
4.Рівняння коливань струни.
5.Розв'язок задачі Коші методом Даламбера.

Питання для самоконтролю.

Лекція № 1.

1.В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики?
2.Від чого залежить розв’язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку?
3.Приклади рівнянь еліптичного типу.
4.Як називається і до якого типу належить рівняння:

$\frac{U}{t} = a^{2} \frac{^{2} U}{x^{2}}$ ?

5.В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни?
6.Записати формулу Даламбера, яка дає розв’язок одномірного однорідного хвильового рівняння.

Література:

1.А. Н. Тихонов, А. А. Самаровский «Уравнения математической физики», Гостехиздат, 1954.
2.Н. С. Пискунов «Диференциальное и интегральное исчисление», т.ч., Москва, 1972.
3.П. И. Чинаев, Н. А. Минин и др. «Висшая математика, специальные главы», Киев, 1981.
4.О. В. Мантуров та ін. «Математика в поняттях, означеннях, термінах», т.ч., Київ, 1986.
5.П. Е. Данко, А. Г. Попов «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч.2, Москва, 1974.

Лекція № 1.

Тема: Основні задачі математичної фізики.

Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.

Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:

$_{i = 1}^{n}_{j = 1}^{n} a_{ij} \frac{^{2} U}{x_{i} x_{j}} +_{i = 1}^{n} b_{i} \frac{U}{x_{i}} + CU = f$ .

де аij, bi, c — задані функції змінних х1, х2, …, х3 (n Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det (|| alk|| - 0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:

d11dy2−2a12dxdy+a22dx2=0.

Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.

Це характеристичне рівняння можна записати й так.

$\frac{dy}{dx} = \frac{a_{12} \pm \sqrt{a_{12}^{2} - a_{11} a_{22}}}{a_{11}}$ .

Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння, у)=С1 і, у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.

Якщо $a_{12}^{2} - a_{11} a_{22} = 0$ , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

І якщо $a_{12}^{2} - a_{11} a_{22} < 0$ , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д.

Найпростішим з них є хвильове рівняння $\frac{^{2} U}{t^{2}} = a^{2} \frac{^{2} U}{x^{2}}$ , відкрите Ейлером у 1759році.

Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д.

Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур'є:

$\frac{U}{t} = a^{2} \frac{^{2} U}{x^{2}}$ .

До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння (Лапласа) — (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: U=0, і полігармонійні рівняння.

В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:

$\frac{^{2} U}{t^{2}} = a^{2} (\frac{^{2} U}{x^{2}} + \frac{^{2} U}{y^{2}})$ .

рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид:

$\frac{U}{t} = a^{2} (\frac{^{2} U}{x^{2}} + \frac{^{2} U}{y^{2}})$ .

рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:

$\frac{^{2} U}{x^{2}} + \frac{^{2} U}{y^{2}} + \frac{^{2} U}{z^{2}} = 0$ .

Тема: Рівняння коливань струни.

В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух — говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу.

Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати, що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u (x, t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).

Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x, u), то будемо припускати, що довжина елемента струни М2 рівна її проекції на вісь 0Х, М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковийпозначимо його як Т.

Розглянемо елемент струни ММ' (рис 2).

На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути, а. тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin ()-TsinТак як кут алий, то можна покласти tgnі ми отримаємо :

$\begin{matrix} T sin (+) - T sin Ttg (+) - Ttg = \\ = T [\frac{U (x +, t)}{x} - \frac{U (x, t)}{x}] = T \frac{^{2} U (x + 0, t)}{x^{2}} T \frac{^{2} U (x, t)}{x^{2}} \\ 0 < 0 > 1 \end{matrix}$ .

(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).

Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде х. Прискорення елемента дорівнює $\frac{^{2} U}{t^{2}}$ . Отже, по принципу Даламбера будем мати:

$\frac{^{2} U}{t^{2}} = T \frac{^{2} U}{x^{2}}$ .

Скорочуючи на і позначаючи $\frac{T}{} = a^{2}$ , получаємо рівняння руху $\frac{^{2} U}{t^{2}} = a^{2} \frac{^{2} U}{x^{2}}$ . (1).

Це і є хвильове рівняння — рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u (x, t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами.

Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:

u (0,t)=0,

u (l, t)=0.

Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі.

В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f (x). Таким чином, має бути.

$u (x, 0) = u |_{t = 0} = f (x)$ . (2).

Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією).Таким чином, має бути.

$\frac{U}{t} |_{t = 0} = (x)$ . (3).

Умови (2) і (3) являються початковими умовами.

Тема: Розв’язок задачі Коші методом Даламбера.

Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння — метод Даламбера.

Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:

Знайти рішення хвильового рівняння.

Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1),.

Задовільняюче початковим умовам.

U (x, 0)=- ut (x, 0)=.

де) і - задані у $] - - + [$ функції.

Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння.

A11dt2−2a12dxdt+a22dx2=0.

Прийме видa2dt2+dx2=0,.

або dx2-a2dt2=0.

Воно розпадається на два рівняння:

dx-adt=0 і dx+adt=0.

інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2.

введемо нові змінні.

at, at.

Тоді.

1, a,, ,.

ux=ux+ux=up>

uxx=u+2u+u,.

ut=ut+ut=-aup>

utt=-auuuu2u-2a2u+a2u.

Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо.

a2u-2a2u+a2u-a2(u+2u+u)=0,.

— 4a2u=0,.

u=0.

Отримане рівняння можна записати як:

$\frac{}{} (u_{}) = 0$

Звідси випливає, що uе залежить від p>

u (/p>

де f*(довільна функція p>

Інтегруючи останню рівність по ри фіксованому маємо.

$u (,) = f^{} () d + f_{1} () = f_{1} () + f_{2} ()$

де f1(і f2(довільні двічі диференціюючі функції аргументів p>

Враховуючи, щоat і at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді.

u (x, t)=f1(x-at)+f2(x+at).

Визначимо функції f1 і f2 так, щоб функція u (x, t) задовільняла початковим умовам:

u (x, t)=f1(x)+f2(x)=,.

ut (x, 0)=-af)+af)=.

Таким чином, для знаходження функцій f1 і f2 маємо систему рівнянь.

f1(x)+f2(x)=,.

— af)+af)=.

Інтегруючи другу рівність, отримаємо.

$- f_{1} (x) + f_{2} (x) = \frac{1}{a}_{x_{0}}^{x} (z) dz + C$ .

де х0 і С — постійні. Тоді.

f1(x)+f2(x)=,.

$f_{2} (x) + f_{2} (x) = \frac{1}{a}_{x_{0}}^{x} (z) dz + C$ .

Звідси знаходимо.

$f_{1} (x) = \frac{1}{2} (x) - \frac{1}{2 a}_{x_{0}}^{x} (dz - \frac{C}{2}$

і.

$f_{2} (x) = \frac{1}{2} (x) + \frac{1}{2 a}_{x_{0}}^{x} (z) dz + \frac{C}{2}$

Підставивши у вираз для u (x, t) знайдені значення f1 і f2, отримаємо.

$u (x, t) = \frac{(x - at) + (x + at)}{2} + \frac{1}{2 a}_{x_{0}}^{x + at} (z) dz - \frac{1}{2 a}_{x_{0}}^{x - at} (z) dz$

$u (x, t) = \frac{(x - at) + (x + at)}{2} + \frac{1}{2 a}_{x - at}^{x + at} (z) dz$

Ця рівність називається формулою Даламбера.

Раніше функцію u (x, t) ми записували як:

u (x, t)=f1(x-at)+f2(x+at),.

де перший додаток.

$f_{1} (x - at) = \frac{1}{2} (x + at) + \frac{1}{2 a}_{x_{0}}^{x + at} (z) dz$ .

при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f1(x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення.

Аналогічно функція.

$f_{2} (x + at) = \frac{1}{2} (x + at) + \frac{1}{2 a}_{x_{0}}^{x + at} (z) dz$ .

являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, що розповсюджуються з тією ж швидкістю, але в відмному напрямку вісі 0Х.

В цілому процес розповсюдження коливань, функції u (x, t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.

Лекція № 2

План

1.Рівняння теплопровідності.
2.Розв'язок задачі методом перетворення Фур'є.
3.Рівняння Пуассона.
4.Розв'язок задачі Діріхле в крузі методом Фур'є.

Питання до самоконтролю

1.Вияснити фізичний зміст першої крайової задачі рівняння теплопровідності в однорідному стержні.
2.Яка кількість теплоти протікає через поверхню S в просторі?
3.Як називається вираз в дужках у рівнянні

$\frac{U}{t} = a^{2} (\frac{^{2} U}{x^{2}} + \frac{^{2} U}{y^{2}} + \frac{^{2} U}{z^{2}})$ Що це за рівняння?

4.В чому полягає задача Коші для випадку стержня, обмежаного з однієї сторони?
5.Записати інтеграл імовірностей.
6.Яку умову повинні задовільняти частинні розв’язки задачі Діріхле в крузі?

Література:

6.А. Н. Тихонов, А. А. Самаровский «Уравнения математической физики», Гостехиздат, 1954.
7.Н. С. Пискунов «Диференциальное и интегральное исчисление», т.ч., Москва, 1972.
8.П. И. Чинаев, Н. А. Минин и др. «Висшая математика, специальные главы», Киев, 1981.
9.О. В. Мантуров та ін. «Математика в поняттях, означеннях, термінах», т.ч., Київ, 1986.
10.П. Е. Данко, А. Г. Попов «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч.2, Москва, 1974.

Лекція № 2.

Тема: Рівняння теплопровідності.

Розглянемо однорідний стержень довжини l. Будемо вважати, що бічна сторона стержня теплопроникна та що в усіх точках поперечного січення стержня температура однакова. Дослідимо процес розповсюдження тепла в стержні.

Розмістимо вісь 0Х так, що один кінець стержня буде співпадати з точкою х=0, а другий — з точкою х=l (див. рис.). Нехай u (x, t) — температура в січній стержня з абсцисой х в момент t. Дослідним шляхом визначимо, що швидкість розповсюдження тепла пролягаючого через січну з абсцисой х за одиницю часу, визначається формулою.

$q = - k \frac{U}{x} S$ (1).

розглянем елемент стержня, заключений між січними з абсцисами х1 і х2 (х2-х1=. Кількість тепла, що пройшло через січну з абсцисою х1 за час буде рівно.

$_{1} = - k \frac{U}{x} |_{x = x_{1}} S$ (2).

те ж саме для січної з абсцисою х2.

$_{2} = - k \frac{U}{x} |_{x = x_{2}} S$ (3).

Прилив тепла в елемент стержня за час буде рівний:

$_{1} -_{2} = [- k \frac{U}{x} |_{x = x_{1}} S] - [- k \frac{U}{x} |_{x = x_{2}}] k \frac{^{2} U}{x^{2}} xS$ (4).

(Ми використали теорему Лагранжа до рівності $\frac{U}{x} |_{x = x_{2}} - \frac{U}{x} |_{x = x_{1}}$ ).

Цей прилив тепла за час пішов на підвищення температури елемента стержня на величину /p>

cqp>

$_{1} -_{2} cq xS \frac{U}{t}$ (5).

де с — теплоємність речовини стержня, q — щільність речовини стержня (qмаса елемента стержня).

Прирівнюючи вирази (4) і (5) одної і тої ж кількості тепла вийде:

$k \frac{^{2} U}{x^{2}} xS = cq xS \frac{U}{x}$ .

або.

$\frac{U}{t} = \frac{k}{cq} \frac{^{2} U}{x^{2}}$ .

Позначаючи k/cq=a2, ми одержуєм:

$\frac{U}{x} = a^{2} \frac{^{2} U}{x^{2}}$ (6).

Це і є рівняння теплопровідності в однорідному стержні.

Щоб рішення рівняння (6) було повністю визначено, функція u (x, t) має задовільняти крайові умови. Крайові умови для рішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званій першій крайовій задачі для 0слідуючі:

u (x, t)= (7).

u (x, t)=) (8).

u (x, t)=) (9).

Фізичні умови (7) (початкові умови) відповідають тому, що при t=0 в різних січних стержня задана температура, рівна). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають тому, що на кінцях стержня при х=0 і при х=l підтримується температура, рівна) і) відповідно.

Тема: Розв’язок задачі методом перетворення Фур'є.

Нехай в початковий момент задана температура в різних січних необмежаного стержня. Потрібно визначити розподіл температури в стержні в наступні моменти часу.

Якщо стержень співпадає з віссю 0Х, то математично задача формулюється слідуючим образом. Знайти рішення рівняння.

$\frac{U}{t} = a^{2} \frac{^{2} U}{x^{2}}$ (1).

в області —x<>0, задовільняюче початковій умові.

u (x, 0)= (2).

будемо шукати частинне рішення рівняння (1) у вигляді добутку двух функцій:

u (x, 0)=-X (X)T (t). (3).

Підставляючи в рівняння (1), будем мати: X (x)T=a2X (x)T (t) або.

$\frac{T^{'}}{a^{2} T} = \frac{X''}{X} = -^{2}$ . (4).

Кожне з цих відношень не може залежати ні від х, ні від t, і тому ми їх прирівняємо постійнійЗ формули (4) отримаємо два рівняння:

T0, (5).

X+0. (6).

Рішаючи їх знайдем:

$T = {Ce}^{- a^{2}^{2} t}$ , X=Acossin.

Підставляючи в (3), отримаємо:

$u_{} (x, t) = e^{- a^{2}^{2} t} [A () cos + B () sin]$ (7).

постійна С включається в А (і В (/p>

Для кожного значення и торимаєм рішення виду (7). Произвольные постійні А і В для кожного значення ають визначені значення. Виходячі з цього можна рахувати, А і В функціями від Сума рішень виду (7) також є рішенням:

$\underset{}{} e^{- a^{2}^{2} t} [A () cos + B () sin]$ .

Інтегруючи вираз (7) по параметру границях від 0 до акож отримаємо рішення.

$u (x, t) =_{0}^{} e^{- a^{2}^{2} t} [A () cos + B () sin] d$ , (8).

якщо А (і В (такі, що цей інтеграл, його похідна по t і друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А (і В (так, щоб рішення u (x, t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:

$u (x, 0) = (x) =_{0}^{} [A () cos + B () sin] d$ . (9).

Припустимо, що функція) такова, що вона представіма інтегралом Фур'є:

$(x) = \frac{1}{}_{0}^{} (_{-}^{} () cos (- x) d) d$ .

або.

$(x) = \frac{1}{}_{0}^{} [(_{-}^{} () cos d) cos + (_{-}^{} () sin d) sin] d$ . (10).

зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:

$\begin{matrix} A () = \frac{1}{}_{-}^{} () cos d, \\ B () = \frac{1}{}_{-}^{} () sin d . \end{matrix}$ (11).

підставляючи знайдені вирази А (і В (у формулу (8) отримаємо:

$\begin{matrix} u (x, t) = \frac{1}{}_{0}^{} e^{- a^{2}^{2} t} [(_{-}^{} () cos d) cos + (_{-}^{+} () sin d) sin] d = \\ = \frac{1}{}_{0}^{} e^{- a^{2}^{2} t} [_{-}^{} () (cos cos + sin sin) d] d = \\ = \frac{1}{}_{0}^{} e^{- a^{2}^{2} t} (_{-}^{} () cos (- x) d) d \end{matrix}$ .

або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо.

$u (x, t) = \frac{1}{}_{-}^{} [() (_{0}^{} e^{- a^{2}^{2} t} cos (- x) d)] d$ . (12).

Це і є рішення поставленої задачі.

Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:

$_{0}^{} e^{- a^{2}^{2} t} cos (- x) d = \frac{1}{a \sqrt{t}}_{0}^{} e^{- z^{2}} cos zdz$ . (13).

Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки.

$a \sqrt{t} = z, \frac{a - x}{a \sqrt{t}} =$ . (14).

Позначимо.

$K () =_{0}^{} e^{- z^{2}} cos zdz$ . (15).

Диференціюючи, отримаємо:

$K' () = -_{0}^{} e^{- z^{2}} z sin zdz$ .

Інтегруючи по частинах, знайдем:

$K' () = \frac{1}{2} {[e^{- z^{2}} sin]}_{0}^{} - \frac{}{2}_{0}^{} e^{- z^{2}} cos zdz$ .

або.

$K' () = - \frac{}{2} K ()$ .

Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:

$K () = {Ce}^{- \frac{^{2}}{4}}$ . (16).

Знайдем постійну С. З (15) слідує:

$K (0) =_{0}^{} e^{- z^{2}} dz = \frac{\sqrt{}}{2}$ .

Отже, в рівності (16) має бути.

$C = \frac{\sqrt{}}{2}$ .

Тоді,.

$K () = \frac{\sqrt{}}{2} e^{- \frac{^{2}}{4}}$ . (17).

Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13).

$_{0}^{} e^{- a^{2}^{2} t} cos (- x) d = \frac{1}{a \sqrt{t}} \frac{\sqrt{}}{2} e^{- \frac{^{2}}{4}}$ .

Підставляючи замість ого вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):

$_{0}^{} e^{- a^{2}^{2} t} cos (- x) d = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{}{t}} e^{- \frac{(- x)^{2}}{4 a^{2} t}}$ . (18).

Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:

$u (x, t) = \frac{1}{2 a \sqrt{}}_{0}^{} () e^{- \frac{(- x)^{2}}{4 a^{2} t}} d$ . (19).

Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.

Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію.

0 при —x<x0,.

х)= при x0 (20).

0 при x0+t-x<

Тоді функція.

$u^{} (x, t) = \frac{1}{2 a \sqrt{}}_{-}^{}^{} () e^{- \frac{(- x)^{2}}{4 a^{2} t}} d$ (21).

є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:

$u^{} (x, t) = \frac{1}{2 a \sqrt{}}_{x_{0}}^{x_{0} +} () e^{- \frac{(- x)^{2}}{4 a^{2} t}} d$ .

Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:

$u^{} (x, t) = \frac{()}{2 a \sqrt{}} e^{- \frac{(- x)^{2}}{4 a^{2} t}}, x_{0} < x_{0} +$ . (22).

Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u*=0, крім відрізка [x0,x0+ де вона рівна). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо лінійна густина стержня, с — темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x0,x0+при t=0 буде.

((23).

Розглянемо далі функцію.

$\frac{1}{2 a \sqrt{}} e^{- \frac{(- x)^{2}}{4 a^{2} t}}$ . (24).

зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній уло миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=cp>

Тема: Рішення задачі Діріхле для кола.

Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f (де полярний кут. Потрібно знайти функцію u (r, непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа.

$\frac{^{2} U}{x^{2}} + \frac{^{2} U}{x^{2}} = 0$ . (1).

і на окружності кола що приймає задані значення.

$U |_{r = R} = f ()$ . (2).

Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:

$r^{2} \frac{^{2}}{r^{2}} + r \frac{^{2} U}{r^{2}} + \frac{^{2} U}{^{2}} = 0$ (1/div>

Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи.

U=Ф®. (3).

Підставляючи в ріність (1'), вийде:

r2Ф (®+rФ (+Ф®=0.

або.

$\frac{Ф'' ()}{Ф ()} = - \frac{r^{2} R'' (r) + rR' (r)}{R (r)} = - k^{2}$ . (4).

Так як ліва частина цієї рівності не залежить від r, а права від отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо черезk2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:

Ф (2Ф (, (5).

r2R®+rR-k2R®=0 (5p>

Загальне рішення рівності (5) буде Ф=Аcoskink (6).

Рішення рівняння (5будем шукати у формі R®=rm. Підставляючи R®=rm у (5дістанемо:

r2m (m-1)rm-1-k2rm=0.

або.

m2-k2=0.

Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5буде.

R=Crk+Dr-k. (7).

Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):

Uk=(Akcosksinkkrk+Dkr-k). (8).

Функція (8) буде рішенням рівняння (1при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5приймають вид:

Ф=0, rR®+R=0,.

отже,.

U0=(A0+B00+D0lnr). (8p>

Рішення має бути періодичною функцією від так як при одному і тому ж значенні r при и маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.

Таким чином, права частина (8перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,.

$U_{0} = \frac{A_{0}}{2}$ . (8).

Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями.

K=1, 2, …, n, …,.

так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від'ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,.

$U (r,) = \frac{A_{0}}{2} +_{n = 1}^{} (A_{n} cos n + B_{n} sin n) r^{n}$ (9).

(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні An і Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:

$f () = \frac{A_{0}}{2} +_{n = 1}^{} (A_{n} cos n + B_{n} sin n) R^{n}$ . (10).

Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f (розкладалась в ряд Фур'є в інтервалі (-та щоб AnRn і BnRn були її коефіцієнтами Фур'є. Отже, An і Bn мали визначатись по формулам:

$\begin{matrix} A_{n} = \frac{1}{^{n}}_{-}^{} f (t) cos ntdt \\ B_{n} = \frac{1}{^{n}}_{-}^{} f (t) sin ntdt \end{matrix}$ . (11).

Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:

$\begin{matrix} U (r,) = \frac{1}{2}_{-}^{} f (t) dt + \frac{1}{}_{n = 1}^{}_{-}^{} f (t) cos n (t -) dt (\frac{r}{R})^{n} = \\ \frac{1}{2}_{-}^{} f (t) [1 + 2_{n = 1}^{} (\frac{r}{R})^{n} cos n (t -)] dt \end{matrix}$ . (12).

Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:

$\begin{matrix} 1 + 2_{n = 1}^{} (\frac{r}{R})^{n} cos n (t -) = 1 +_{n = 1}^{} (\frac{r}{R})^{n} [e^{in (t -)} + e^{- in (t -)}] = \\ 1 +_{n = 1}^{} [(\frac{r}{R} e^{i (t -)})^{n} + (\frac{r}{R} e^{- i (t -)})^{n}] = \\ 1 + \frac{\frac{r}{R} e^{i (t -)}}{1 - \frac{r}{R} e^{i (t -)}} + \frac{\frac{r}{R} e^{- i (t -)}}{1 - \frac{r}{R} e^{- i (t -)}} = \\ \frac{1 - (\frac{r}{R})^{2}}{1 - 2 \frac{r}{R} cos (t -) + (\frac{r}{R})^{2}} = \frac{R^{2} - r^{2}}{R^{2} - 2 Rr cos (t -) + r^{2}} \end{matrix}$ . (13).

Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:

$U (r,) = \frac{1}{2}_{-}^{} f (t) \frac{R^{2} - r^{2}}{R^{2} - 2 rR cos (t -) + r^{2}} dt$ . (14).

Формула (14) називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f (неперервна, то функція U (r, визначена інтегралом (14), задовільняє рівність (1і при rбуде U (r, тобто U (r, являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою