Математичні основи

Реферат на тему:

Математичні основи.

Означення. Нехай a та b — цілі числа. Кажуть, що a дорівнює b за модулем n, позначається через a xF0BA b (mod n), якщо a — b ділиться на n.

Приклад. 23 xF0BA 3 (mod 5), тому що 23 — 3 = 5 * 4;

— 25 xF0BA 3 (mod 7), тому що -25 — 3 = 7 * -4;

Властивості. Нехай a, a1, b, b1, c — цілі числа.

1. a xF0BA b (mod n) тоді і тільки тоді коли a та b дають рівні залишки при діленні на n.

2. Рефлексивність. a xF0BA a (mod n).

3. Симетрія. Якщо a xF0BA b (mod n), то b xF0BA a (mod n).

4. Транзитивність. Якщо a xF0BA b (mod n) і b xF0BA c (mod n), то a xF0BA c (mod n).

5. Якщо a xF0BA a1 (mod n) та b xF0BA b1 (mod n),.

то a + b xF0BA a1 + b1 (mod n) і a * b xF0BA a1 * b1 (mod n).

Означення. Нехай n — ціле додатне число. Позначимо через Ct клас, у який об'єднано усі цілі числа, які при діленні на n дають одну і ту ж остачу t. Усі цілі числа розіб'ються на n класів C0, C1, …, Cn-1, які називаються класами лишків за модулем n.

Приклад. Нехай n = 7. Тоді до класу C2 належать числа виду 7 * x + 2, де x xF0CE Z.

Твердження. Два числа є порівнюваними за модулем n, якщо вони належать одному класу лишків за модулем n.

Означення. Якщо з кожної системи лишків за модулем n взяти по одному представнику, то отриману систему чисел називають повною системою лишків за модулем n. Якщо повну систему лишків будувати з найменших невід'ємних лишків, то вона прийме вигляд: 0, 1, 2, …, n — 1. Її будемо позначати через Zn. Арифметичні операції над елементами цієї множини відбуваються за модулем n. Повна система лишків утворює групу з операцією додавання.

Приклад. Повною системою лишків за модулем 5 буде множина чисел Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.

Приклад. Z12 = {0, 1, 2, …, 11}. У класі Z12: 11 + 6 = 5, тому що 11 + 6 = 17 xF0BA 5 (mod 12). 10 * 3 = 6, тому що 10 * 3 = 30 xF0BA 6 (mod 12).

Перша теорема про лишки лінійної форми. Якщо у лінійній формі ax + b число x пробігає усі значення з повної системи лишків за модулем n при НСД (a, n) = 1 та довільному b, тоді ax + b пробігає усі значення повної системи лишків за модулем n.

Доведення. Отримана система складається з n чисел, оскільки замість x у формі ax + b підставляються n різних значень. Доведемо від супротивного, що усі ці n отриманих чисел різні. Нехай x1 та x2 не порівнювані за модулем n, але ax1 + b xF0BA ax2 + b (mod n). Тоді ax1 xF0BA ax2 (mod n). Але оскільки НСД (a, n) = 1, то x1 xF0BA x2 (mod n). Отримали суперечність.

Приклад. Нехай n = 6, a = 5, b = 1, при цьому НСД (a, n) = 1. Підставимо до форми 5 * x + 1 значення x із повної системи лишків Z6 = {0, 1, 2, …, 5}.

x 5 * x + 1 (mod 6).

0 1.

1 0.

2 5.

3 4.

4 3.

5 2.

В правому стовпчику таблиці всі числа різні.

Означення. Якщо з кожної системи лишків Ct (t = 0, 1, …, n — 1) за модулем n, для якої НСД (t, n) = 1 взяти по одному представнику, то отриману систему чисел називають зведеною системою лишків за модулем n і позначають через Zn*. Зведена система лишків утворює групу з операцією множення.

Якщо p — просте, то Zp* = {1, 2, …, p — 1}.

Означення. Порядком множини A будемо називати кількість її елементів і позначати через |A|.

Приклад. Зведеною системою лишків для n = 10 буде множина чисел Z10* = {1, 3, 7, 9}, |Z10*| = 4.

Означення. Функція Ейлера. Позначимо через xF06A (n) кількість чисел із інтервалу [1.n], взаємно простих з n.

Властивості функції Ейлера.

1. Якщо p — просте число, то xF06A (p) = p — 1 та xF06AxF020(pa) = pa * (1 — 1/p) для довільного a.

2. Якщо m та n взаємно прості, то xF06AxF020(m * n) = xF06AxF020(m) * xF06AxF020(n).

то xF06AxF020(n) = n * (1 — 1/p1) * (1 — 1/p2) * … * (1 — 1/pk).

4. xF06A (n) = |Zn*|.

= n.

Приклад. Обчислити xF06A (728), xF06A (10).

728 = 7 * 8 * 13 = 23 * 7 * 13, 10 = 2 * 5.

xF06A (728) = 728 * (1 — ½) * (1 — 1/7) * (1 — 1/13) = 728 * (½) * (6/7) * (12/13) = 288.

xF06A (10) = 10 * (1 — ½) * (1 — 1/5) = 10 * (½) * (4/5) = 4.

Твердження. Порядком групи Zn* будемо називати кількість елементів в ній та позначати |Zn*|. При цьому.

|Zn*| = xF06A (n).

Приклад. Z10* = {1, 3, 7, 9}, |Z10*| = xF06A (10) = 4.

Друга теорема про лишки лінійної форми. Якщо у лінійній формі a * x число x пробігає усі значення зі зведеної системи лишків за модулем n при НСД (a, n) = 1, тоді a * x пробігає усі значення зведеної системи лишків за модулем n.

Доведення. Підставивши замість змінної x у лінійну форму a * x xF06A (n) чисел, отримаємо xF06A (n) різних чисел, оскільки вони належать за модулем m різним класам (це випливає з першої теореми про лишки лінійної форми для b = 0). Оскільки x — лишок зведеної системи, то НСД (x, n) = 1. За умовою теореми НСД (a, n) = 1. З останніх двох рівностей випливає, що НСД (a * x, n) = 1, тобто числа a * x взаємно прості з n.

Приклад. Розглянемо множину чисел {1, 3, 7, 9}, яка є зведеною системою лишків для n = 10. Нехай a = 7, НСД (7, 10) = 1. Тоді мають місце співвідношення:

7 * 1 (mod 10) xF0BA 7 (mod 10) xF0BA 7.

7 * 3 (mod 10) xF0BA 21 (mod 10) xF0BA 1.

7 * 7 (mod 10) xF0BA 49 (mod 10) xF0BA 9.

7 * 9 (mod 10) xF0BA 63 (mod 10) xF0BA 3.

Означення. Оберненням числа a за модулем n (позначається a-1) називається таке число x xF0CExF020Zn, що ax xF0BA 1 (mod n).

Приклад. Обчислити 5−1 (mod 7). Знайдемо всі значення 5 * x (mod 7), x = 0, …, 6.

5 * 0 (mod 7) xF0BA 0 mod 7 xF0BA 0.

5 * 1 (mod 7) xF0BA 5 mod 7 xF0BA 5.

5 * 2 (mod 7) xF0BA 10 mod 7 xF0BA 3.

5 * 3 (mod 7) xF0BA 15 mod 7 xF0BA 1.

5 * 4 (mod 7) xF0BA 20 mod 7 xF0BA 6.

5 * 5 (mod 7) xF0BA 25 mod 7 xF0BA 4.

5 * 6 (mod 7) xF0BA 30 mod 7 xF0BA 2.

Оскільки 5 * 3 (mod 7) xF0BA 1, то 5−1 (mod 7) xF0BA 3.

Твердження. Обернене число a-1 за модулем n існує тоді і тільки тоді, коли НСД (a, n) = 1.

Якщо НСД (a, n) = k > 1, то для довільного елемента x xF0CE Zn вираз ax (mod n) буде ділитися на k і ніколи не буде дорівнювати 1 (тому що 1 не ділиться на k при k > 1).

Алгоритм обчислення оберненого числа. Якщо необхідно обчислити a-1 (mod n), то знайдемо за розширеним алгоритмом Евкліда НСД (a, n) = d та такі значення x та y, що ax + ny = d. Якщо d > 1, то оберненого значення не існує. Інакше a-1 (mod n) = x, тому що ax (mod n) xF0BA ax + ny (mod n) xF0BA d = 1.

Приклад. Обчислити 2−1 (mod 7).

НСД (2, 7) = 1, отже обернене значення існує.

За розширеним алгоритмом Евкліда матимемо:

2 * (-3) + 7 * 1 = 1, звідки 2−1 (mod 7) xF0BA -3 (mod 7) xF0BA 4.

Перевірка: 2 * 4 (mod 7) xF0BA 8 (mod 7) xF0BA 1.

Означення. Діленням числа a на число b за модулем n називається множення a на b-1 за умови існування b-1.

Приклад. Результатом 4: 5 (mod 7) буде 4 * 5−1 (mod 7) xF0BA 4 * 3 (mod 7) xF0BA 12 (mod 7) xF0BA 5.

Перевірка: 5 * 5 (mod 7) xF0BA 25 (mod 7) xF0BA 4.

Теорема Ейлера. Якщо a та n взаємно прості, то axF06A (n) xF0BA 1 (mod n).

Доведення. Скористаємося другою теоремою про лишки лінійної форми. Нехай r1, …, rk, k = xF06A (n) — лишки зведеної системи за модулем n, взяті у формі найменших додатних лишків. Тоді найменшими додатними лишками чисел a * ri будуть r1', …, rk', які у сукупності утворюють також зведену систему. Отже.

ar1 xF0BA r1' (mod n).

ar2 xF0BA r2' (mod n).

…

ark xF0BA rk' (mod n).

Звідки ak * r1 * … * rk xF0BA r1' * … * rk' (mod n). Але оскільки добутки r1 * … * rk та r1' * … * rk' рівні і взаємно прості з модулем, то розділивши рівність на цей добуток, отримаємо: ak xF0BA 1 (mod n). За припущенням k = xF06A (n), отже axF06A (n) xF0BA 1 (mod n).

Приклад. Нехай a = 7, n = 9. Тоді 7 xF06AxF020(9) (mod 9) xF0BA 79 * (1 — 1/3) (mod 9) xF0BA 76 (mod 9) xF0BA 493 (mod 9) xF0BA 43 (mod 9) xF0BA 64 (mod 9) xF0BA 1.

Теорема Ферма. (Частковий випадок теореми Ейлера).

Якщо p просте, a xF0CE Zp*, то ap-1 xF0BA 1 (mod p).

Наслідок. Якщо помножити рівність ap-1 xF0BA 1 (mod p) на a, то отримаємо.

ap xF0BA a (mod p).

Приклад. Нехай p = 11 — просте число.

Виберемо, а = 3. Тоді повинна виконуватись рівність:

310 (mod 11) xF0BA 1.

Дійсно, 310 (mod 11) xF0BA 95 (mod 11) xF0BA (-2)5 (mod 11) xF0BA -32 (mod 11) xF0BA 1.

Теорема. Китайська теорема про залишки. Нехай n1, n2, …, nk — взаємно прості числа. Тоді система порівнянь.

x xF0BA a1 (mod n1).

x xF0BA a2 (mod n2).

.. .. .. .. .. .

x xF0BA ak (mod nk).

має єдиний розв «язок за модулем n = n1 * n2 * … * nk.

Алгоритм Гауса розв «язку системи лінійних порівнянь з китайської теореми про залишки.

Значення x обчислюється наступним чином:

mod ni.

Приклад. Розв’язати систему порівнянь:

n = 11 * 13 = 143. Обчислимо Ni та їх обернені хначення Mi:

N1 = 143 / 11 = 13, N2 = 143 / 13 = 11.

M1 = 13−1 (mod 11) = 6, M2 = 11−1 (mod 13) = 6.

Таким чином.

x = 5 * 13 * 6 + 8 * 11 * 6 (mod 143) xF0BA 390 + 528 (mod 143) xF0BA 60.

Відповідь: x = 60 (mod 143).

Приклад. Обчислити значення виразу 46 * 67 mod 561, якщо відомо розклад модуля на прості множники: 561 = 3 * 11 * 17.

Обчислимо лишки множників за модулями 3, 11 та 17.

{46 mod 3, 46 mod 11, 46 mod 17} = {1, 2, 12},.

{67 mod 3, 67 mod 11, 67 mod 17} = {1, 1, 16}.

46 * 67 = {1, 2, 12} * {1, 1, 16} = {1 * 1 mod 3, 2 * 1 mod 11, 12 * 16 mod 17} = {1, 2, 5}.

Тепер для обчислення значення 46 * 67 mod 561 слід розв’язати систему лінійних порівнянь.