Похідні і диференціали вищих порядків.
Функції, задані параметрично, їх диференціювання
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання. Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то. Як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу: Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом. Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку: Похідна другого порядку від функції… Читати ще >
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Пошукова робота на тему:
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.
План Похідні вищих порядків.
Диференціали вищих порядків.
Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.
6.9. Похідні вищих порядків.
.
Похідна другого порядку позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто.
.
треба функцію продиференціювати два рази.
.
.
цей результат диференціюємо ще раз. Маємо.
.
Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом.
.
як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:
.
.
Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.
Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.
має похідну першого порядку .
Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням.
.
Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.
.
.
Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо.
.
Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:
.
.
— ю похідною, позначається одним із символів:
.
— го порядку маємо таку рівність:
.
раз.
. Похідні п’ятого, шостого і т. д.
.
6.10. Диференціали вищих порядків.
існує диференціал.
.
.
.
. Матимемо.
.
є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:
. (6.68).
.
Отже, згідно з означенням.
.
— го порядку:
(6.69).
.
:
.
Тоді.
.
.
Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.
.
.
. Згідно з означенням.
.
Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то.
Остаточно дістанемо таку рівність:
. (6.70).
не дорівнює нулю.
Якщо функція задана параметрично.
то її друга похідна обчислюється за формулою.
(6.71).