Лінійний векторний простір

РЕФЕРАТ на тему:

«Лінійний векторний простір».

називаються HYPERLINK «internet координатами вектора .

.

(скалярним опосередкованим узагальненням З-мірного простору є n-мірний HYPERLINK «internet евклідовий простір.

). Багато класів функцій, наприклад, поліноми заданого порядку, функції безупинні, диференційовані, що інтегруються, аналітичні і тому подібні, також утворять безкінечномірні векторні простори.

У кожнім векторному просторі, крім операцій додавання і множення на число, звичайно маються ті чи інші додаткові операції і структури (наприклад, визначений скалярний добуток). Якщо ж не уточнюють природи елементів векторного простору і не припускають у ньому ніяких додаткових властивостей, то векторний простір називають абстрактним. Абстрактний векторний простір L задають за допомогою наступних аксіом:

будь-якій парі елементів х и у з L зіставлений єдиний елемент z, називаний їхньою сумою z=x+y і приналежний L;

і приналежний L;

операції додавання і множення на число є асоціативними і дистрибутивними.

.

називають полем скалярів L. Поняття векторного простору можна ввести і для довільного полючи, наприклад, полючи кватерніонів.

підмножини S з L називається системою утворюючих S, якщо будь-який вектор х з S можна представити у виді лінійної комбінації цих елементів. Лінійно незалежна система утворюючих S називається базисом S, якщо розкладання будь-якого елемента S по цій системі єдино.

Базис, елементи якого яким-небудь образом параметризовані, називається системою координат у S. Базис векторного простору завжди існує, хоча і не визначається однозначно. Якщо базис складається з кінцевого числа n елементів, то векторний простір називається n-мірним (конечномірні); якщо базис — нескінченна безліч, той векторний простір називається безкінечномірні. Виділяють також лічильномірні векторні простори, у яких мається рахунковий базис.

. Для кінцевого сімейства підпросторів S1, …, Ss сукупність усіх векторів, які представлені у виді.

. Сума підпросторів є прямої тоді і тільки тоді, коли перетинання цих підпросторів складається тільки з HYPERLINK «internet нульового вектора. HYPERLINK «internet Розмірність суми підпросторів дорівнює сумі розмірностей цих підпросторів мінус розмірність їхнього перетинання. Векторний простір L1 і L2 називають ізоморфним і, якщо існує взаємно однозначна відповідність між їх елементами, погоджена з операціями в них; L1 і L2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову розмірність.

.

Основні фізичні приклади — простору векторів станів різних систем мікрочастинок, досліджуваних у HYPERLINK «internet квантовій механіці, HYPERLINK «internet квантовій статистичній фізиці і HYPERLINK «internet квантовій теорії поля. Знаходять застосування і такі векторні полючи, у яких поле скалярів не збігається з безліччю речовинних чи комплексних чисел: так, гільбертово простір над полем кватерніонів використовується й однієї з формулювань HYPERLINK «internet квантовой механики, а гільбертовий простір над полем октоніонов — в одній з формулювань HYPERLINK «internet квантової хромодинаміки. У сучасних HYPERLINK «internet теориях суперсимметрии інтенсивно застосовуються так називані градуйовані векторні полючи, тобто лінійні простори разом з їхнім фіксованим розкладанням у пряму нескінченну суму підпросторів.

Використана література:

Векторний простір. — М., 1992.

Вища математика в прикладах. — К., 1998.

Математична енциклопедія. — М., 1983.