Освітній портал MyReferatik

Зміст

Вступ
Розділ 1. Властивості середніх ліній.
Розділ 2. Трикутник, чотирикутник, паралелограм.
Розділ 3. Чотирикутник, тетраедр. Центри мас.
Розділ 4. Тетраедр, октаедр, паралелепіпед, куб.
Висновок
Список використаної літератури
Додаток

Уривки

Тетраедр, октаедр, паралелепіпед, куб

Ищешь качественный велосипед для скоростного катания? На pridebikes.com ты сможешь выбрать легкие, быстрые, маневренные велосипеды в Запорожье, как для новичков так и для профессиональных райдеров. Поддержи отечественного производителя велосипедов Pride.
На початку роботи ми розглянули трикутник, розбитий середніми лініями на чотири однакових трикутника (див. рис. 1). Спробуємо зробити ту ж побудову для довільної трикутної піраміди (тетраедра). Розпиляємо тетраедр на частини таким чином: через середини трьох ребер, що виходять з кожної вершини, проведемо плоский розріз (рис. 11, а). Тоді від тетраедра буде відрізано чотири однакових маленьких тетраедра. За аналогією з трикутником можна було б думати, що в серединці залишиться ще один такий же тетраедр. Але це не так: у багатогранника, який залишиться від великого тетраедра після видалення чотирьох маленьких, буде шість вершин і вісім граней - він називається октаедром (рис. 11,6). Зручно перевірити це, використовуючи шматок сиру у формі тетраедра. Отриманий октаедр має центр симетрії, оскільки середини протилежних ребер тетраедра перетинаються в загальній точці і діляться нею навпіл.
З трикутником, розбитим середніми лініями на чотири трикутника, пов'язана одна цікава конструкція: цей малюнок ми можемо розглянути як розгортку деякого тетраедра.
Уявімо собі гострокутній трикутник, вирізаний з паперу. Перегнув його за середніми лініях так, щоб вершини зійшлися в одній точці, і склеївши сходяться в цій точці краю паперу, ми отримаємо тетраедр, у якого всі чотири грані - рівні трикутники, його протилежні ребра рівні (рис. 12). Такий тетраедр називається напівправильний. Кожне з трьох «середніх перерізів» цього тетраедра - паралелограмів, сторони яких паралельні протилежним ребрам і рівні їх половині, - буде ромбом.
Тому діагоналі цих паралелограмів - три відрізки, що з'єднують середини протилежних ребер - перпендикулярні один одному. Серед численних властивостей напівправильного тетраедра відзначимо таке: сума кутів, що сходяться в кожній його вершині, дорівнює 180 ° (ці кути відповідно рівні кутам вихідного трикутника). Зокрема, якщо почати з розгорнення у формі рівностороннього трикутника, ми отримаємо правильний тетраедр, у якого всі сторони рівні.
На початку роботи ми бачили, що кожен трикутник можна розглядати як трикутник, утворений середніми лініями більшого трикутника. Прямої аналогії в просторі для такої побудови немає. Але виявляється, що будь-який тетраедр можна розглядати як «серцевину» паралелепіпеда, у якого всі шість ребер тетраедра служать діагоналями граней. Для цього потрібно виконати наступну побудову в просторі. Через кожне ребро тетраедра проведемо площину, паралельну протилежного ребру. Площини, проведені через протилежні ребра тетраедра, будуть паралельні одна одній (вони паралельні площині «середнього перетину» - паралелограма з вершинами в серединах чотирьох інших ребер тетраедра). Так виходять три пари паралельних площин, при перетині яких утворюється потрібний паралелепіпед (дві паралельні площини перетинаються третьою по паралельним прямим). Вершини тетраедра служать чотирма несуміжними вершинами побудованого паралелепіпеда (рис. 13). Навпаки, в будь-якому паралелепіпеді можна вибрати чотири несуміжні вершини і відрізати від нього площинами, що проходять через кожні три з них, кутові тетраедри. Після цього залишиться «серцевина» - тетраедр, ребра якого є діагоналями граней паралелепіпеда.
Якщо вихідний тетраедр напівправильний, то кожна грань побудованого паралелепіпеда буде паралелограмом з рівними діагоналями, тобто прямокутником.
Вірно і зворотне: «серцевиною» прямокутного паралелепіпеда служить напівправильні тетраедр. Три ромба - середні перетину такого тетраедра - лежать в трьох взаємно перпендикулярних площинах. Вони служать площинами симетрії октаедра, отриманого з такого тетраедра відрізанням кутів.
Для правильного тетраедра описаний навколо нього паралелепіпед буде кубом (рис. 14), а центри граней цього куба - середини ребер тетраедра - будуть вершинами правильного октаедра, всі грані якого - правильні трикутники. (Три площини симетрії октаедра перетинають тетраедр по квадратах.)
Таким чином, на малюнку 14 ми бачимо відразу три з п'яти платонових тіл (правильних багатогранників) - куб, тетраедр і октаедр.