Класифікація електромагнітних явищ

РЕФЕРАТ

на тему:

Класифікація електромагнітних явищ

Існують загальні підходи для спрощення:

1. 1.Рівняння стаціонарного електромагнітного поля. Інколи можна розглядати постійні струми. При цьому в рівнянні (*) зникають похідні: $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{H}\end{array}=\frac{4}{c}\stackrel{}{j}\\ \text{div {}\stackrel{}{B}=0\text{rot {}\stackrel{}{E}=0\text{div {}\stackrel{}{D}=4\end{array}$$

   Приклад використання: розрахунок наводок.

   Приклад використання: розрахунок наводок.

2. 2.Розглянемо систему рівнянь у вакуумі, де $$=0$$

   . Рівняння магнітостатики:

   $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{H}\end{array}=\frac{4}{c}\stackrel{}{j}\\ \\ \text{div {}\stackrel{}{B}\\ \{0\end{array}$$

   рівняння електростатики:

   $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{E}\end{array}=0\\ \\ \text{div {}\stackrel{}{D}\\ \{4\end{array}$$

   . Рівняння магнітостатики має місце і там, де.

   $$E->0$$

   .Рівняння Максвела нехвильове. Хвильовим воно стає в однорідному ізотропному середовищі. Звідси.

   $$E=-$$

   тобто.

   $$\text{div}=4$$

   звідки одержуємо рівняння Лапласа:

   $$\mathit{}=-\frac{4}{}$$

   (з урахуванням заряду), Пуасона:

   $$\mathit{}=0$$

   (без).

   . Рівняння магнітостатики: $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{H}\end{array}=\frac{4}{c}\stackrel{}{j}\\ \\ \text{div {}\stackrel{}{B}\\ \{0\end{array}$$

   рівняння електростатики:

   $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{E}\end{array}=0\\ \\ \text{div {}\stackrel{}{D}\\ \{4\end{array}$$

   . Рівняння магнітостатики має місце і там, де.

   $$E->0$$

   .Рівняння Максвела нехвильове. Хвильовим воно стає в однорідному ізотропному середовищі. Звідси.

   $$E=-$$

   тобто.

   $$\text{div}=4$$

   звідки одержуємо рівняння Лапласа:

   $$\mathit{}=-\frac{4}{}$$

   (з урахуванням заряду), Пуасона:

   $$\mathit{}=0$$

   (без).

   , рівняння електростатики: $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{E}\end{array}=0\\ \\ \text{div {}\stackrel{}{D}\\ \{4\end{array}$$

   . Рівняння магнітостатики має місце і там, де.

   $$E->0$$

   .Рівняння Максвела нехвильове. Хвильовим воно стає в однорідному ізотропному середовищі. Звідси.

   $$E=-$$

   тобто.

   $$\text{div}=4$$

   звідки одержуємо рівняння Лапласа:

   $$\mathit{}=-\frac{4}{}$$

   (з урахуванням заряду), Пуасона:

   $$\mathit{}=0$$

   (без).

   . Рівняння магнітостатики має місце і там, де $$E->0$$

   .Рівняння Максвела нехвильове. Хвильовим воно стає в однорідному ізотропному середовищі. Звідси.

   $$E=-$$

   тобто.

   $$\text{div}=4$$

   звідки одержуємо рівняння Лапласа:

   $$\mathit{}=-\frac{4}{}$$

   (з урахуванням заряду), Пуасона:

   $$\mathit{}=0$$

   (без).

   .Рівняння Максвела нехвильове. Хвильовим воно стає в однорідному ізотропному середовищі. Звідси $$E=-$$

   тобто.

   $$\text{div}=4$$

   звідки одержуємо рівняння Лапласа:

   $$\mathit{}=-\frac{4}{}$$

   (з урахуванням заряду), Пуасона:

   $$\mathit{}=0$$

   (без).

   тобто $$\text{div}=4$$

   звідки одержуємо рівняння Лапласа:

   $$\mathit{}=-\frac{4}{}$$

   (з урахуванням заряду), Пуасона:

   $$\mathit{}=0$$

   (без).

   звідки одержуємо рівняння Лапласа: $$\mathit{}=-\frac{4}{}$$

   (з урахуванням заряду), Пуасона:

   $$\mathit{}=0$$

   (без).

   (з урахуванням заряду), Пуасона: $$\mathit{}=0$$

   (без).

   (без).

3. 3.Квазістатичне наближення: $$\raisebox{1ex}{$D$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$$}\right.\text{<<}1$$

   .

   $$D$$

   — розмір об'єкту. Тоді рівняння Максвела спрощуються. Розглянемо метал: там просторові переходи дуже швидко зростають (швидке затухання) тобто частинними похідними можна знехтувати.

   , $$D$$

   — розмір об'єкту. Тоді рівняння Максвела спрощуються. Розглянемо метал: там просторові переходи дуже швидко зростають (швидке затухання) тобто частинними похідними можна знехтувати.

   — розмір об'єкту. Тоді рівняння Максвела спрощуються. Розглянемо метал: там просторові переходи дуже швидко зростають (швидке затухання) тобто частинними похідними можна знехтувати.

4. 4.Для монохроматичного лінійного поля можна використати метод комплексних амплітуд: позбавляємося частинних похідних тобто спрощуємо рівняння Максвела. Рівняння ЕМП в комплексній формі будемо розглядати лише для лінійних рівнянь, хоча існує метод і для нелінійних. Розглянемо рівняння: $$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\text{rot {}\stackrel{}{H}\end{array}=\frac{1}{c}\frac{\stackrel{}{D}}{t}+\frac{4}{c}\stackrel{}{j}\\ \\ \text{rot {}\stackrel{}{E}\\ \{-\frac{1}{c}\frac{\stackrel{}{B}}{t}\end{array}$$

   . Зробимо наступну заміну:

   $$\stackrel{}{H}=\stackrel{}{H}\left(\stackrel{}{r},t\right)=\frac{1}{2}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}+h^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)=\text{Re}\left(h^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   та аналогічно.

   $$j=\frac{1}{2}\left(j_0{e}^{\mathit{i}}+j_0^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Підставивши отримаємо:

   $$\text{rot}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}+h^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)=\frac{1}{c}\frac{}{t}\left(\stackrel{}{e}{e}^{\mathit{i}}+{\stackrel{}{e}}^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)+\frac{4}{c}\left(j_0{e}^{\mathit{i}}+j_0^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   прирівнявши коефіцієнти отримуємо:

   $$\{\begin{array}{c}\text{rot}\stackrel{}{h}=\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{e}+\frac{4}{c}{\stackrel{}{j}}_0\\ \text{rot}\stackrel{}{e}=-\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{h}\end{array}$$

   — ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні змінніб) замість похідних по часу треба записати.

   $$\mathit{i}$$

   . Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів:

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)$$

   або.

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

   $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   . Зробимо наступну заміну: $$\stackrel{}{H}=\stackrel{}{H}\left(\stackrel{}{r},t\right)=\frac{1}{2}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}+h^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)=\text{Re}\left(h^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   та аналогічно.

   $$j=\frac{1}{2}\left(j_0{e}^{\mathit{i}}+j_0^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Підставивши отримаємо:

   $$\text{rot}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}+h^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)=\frac{1}{c}\frac{}{t}\left(\stackrel{}{e}{e}^{\mathit{i}}+{\stackrel{}{e}}^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)+\frac{4}{c}\left(j_0{e}^{\mathit{i}}+j_0^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   прирівнявши коефіцієнти отримуємо:

   $$\{\begin{array}{c}\text{rot}\stackrel{}{h}=\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{e}+\frac{4}{c}{\stackrel{}{j}}_0\\ \text{rot}\stackrel{}{e}=-\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{h}\end{array}$$

   — ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні змінніб) замість похідних по часу треба записати.

   $$\mathit{i}$$

   . Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів:

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)$$

   або.

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

   $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   , та аналогічно $$j=\frac{1}{2}\left(j_0{e}^{\mathit{i}}+j_0^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Підставивши отримаємо:

   $$\text{rot}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}+h^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)=\frac{1}{c}\frac{}{t}\left(\stackrel{}{e}{e}^{\mathit{i}}+{\stackrel{}{e}}^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)+\frac{4}{c}\left(j_0{e}^{\mathit{i}}+j_0^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   прирівнявши коефіцієнти отримуємо:

   $$\{\begin{array}{c}\text{rot}\stackrel{}{h}=\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{e}+\frac{4}{c}{\stackrel{}{j}}_0\\ \text{rot}\stackrel{}{e}=-\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{h}\end{array}$$

   — ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні змінніб) замість похідних по часу треба записати.

   $$\mathit{i}$$

   . Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів:

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)$$

   або.

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

   $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   . Підставивши отримаємо: $$\text{rot}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}+h^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)=\frac{1}{c}\frac{}{t}\left(\stackrel{}{e}{e}^{\mathit{i}}+{\stackrel{}{e}}^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)+\frac{4}{c}\left(j_0{e}^{\mathit{i}}+j_0^{}{e}^{-\mathit{i}}\right)$$

   прирівнявши коефіцієнти отримуємо:

   $$\{\begin{array}{c}\text{rot}\stackrel{}{h}=\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{e}+\frac{4}{c}{\stackrel{}{j}}_0\\ \text{rot}\stackrel{}{e}=-\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{h}\end{array}$$

   — ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні змінніб) замість похідних по часу треба записати.

   $$\mathit{i}$$

   . Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів:

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)$$

   або.

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

   $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   , прирівнявши коефіцієнти отримуємо: $$\{\begin{array}{c}\text{rot}\stackrel{}{h}=\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{e}+\frac{4}{c}{\stackrel{}{j}}_0\\ \text{rot}\stackrel{}{e}=-\frac{\mathit{i}}{c}\stackrel{}{h}\end{array}$$

   — ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні змінніб) замість похідних по часу треба записати.

   $$\mathit{i}$$

   . Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів:

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)$$

   або.

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

   $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   — ми спростили рівняння. Для того, щоб записати лінійне ДР у комплексних амплітудах, потрібно: а) замість дійсних змінних записати комплексні змінніб) замість похідних по часу треба записати $$\mathit{i}$$

   . Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів:

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)$$

   або.

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

   $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   . Для того щоб знайти розв’язок рівняння, потрібно розв’язати спрощене рівняння, а потім знайти реальну частину від одного з виразів: $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{\mathit{i}}\right)$$

   або.

   $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

   $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   або $$H=\text{Re}\left({\text{he}}^{-\mathit{i}}\right)$$

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор

   $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   . Часто рівняння записують з урахуванням того, що хвильовий вектор $$k=\frac{}{c}=\frac{2}{}$$

   де.

   $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   , де $$=\frac{2}{T}=2\mathit{}$$

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

   . Надалі ми будемо працювати в комплексних амплітудах.

Було б зручно звести рівняння Максвела до хвильових, але це можна зробити лише у деяких випадках, які і розглянемо.

Плоскі хвилі

Розглядатимемо плоскі хвилі в однорідному ізотропному середовищі.

Задача: знайти характеристики плоскої хвилі в такому середовищі.

Розв’язок:

1. 1.Обираємо декартову систему координат;

2. 2.Рівняння Максвела: $$\mathit{}+k^{2}U=0$$ — де $$U=\left\{H_x,H_y,\text{.}\text{.}\text{.},E_z\right\}$$. У плоскої хвилі на хвильовому фронті амплітуда і фаза однакова. Нехай хвиля розповсюджується в напрямку $$z$$, то $$\frac{}{x}=\frac{}{y}=0$$. Отримаємо $$\frac{{}^2{E}_x}{z^2}+k^2{E}_x=0$$ (з $${\mathit{}}_x+k^2{E}_x=0$$). Розв’язок отриманог рівнянння осцилятора: $$E_x=C_1{e}^{-\text{ikz}}+C_2{e}^{\text{ikz}}$$ .

Перейдемо до справжньої компоненти поля: $$E_x^{\text{спр}}=\text{Re}\left(E_x{e}^{\text{iwt}}\right)=\text{Re}\left(C_1{e}^{-\text{ikz}}{e}^{\mathit{i}}\right)=C_1\text{cos}\left(\mathit{}-\text{kz}\right)$$ де $$\mathit{}-\text{kz}=\text{Const}$$ — рівняння хвильового фронту (фаза $$=\text{Const}$$). Цей фронт розповсюджується зліва направо. Якби ми взяли замість $$C_1{e}^{-\text{ikz}}$$ компоненту $$C_2{e}^{\text{ikz}}$$, то одержали б $$\mathit{}+\text{kz}=\text{Const}$$ — фронт, що рухається справа наліво.

Розглянемо $$\text{rot {}\stackrel{}{E}=-\text{ik}{\stackrel{}{H}}_0$$ .

$$|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{}{x}& \frac{}{y}& \frac{}{z}\\ E_x& 0& 0\end{array}|=|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 0& 0& \frac{}{z}\\ E_x& 0& 0\end{array}|=\stackrel{}{j}\frac{E_x}{z}=-\text{ik}\stackrel{}{H}=\stackrel{}{j}\left(-\text{ik}{\mathit{}}_y\right)$$. $$-\text{ik}{\mathit{}}_y=C_1\left(-\text{iK}\right)E_x$$ — $$H_y=E_x\frac{K}{\mathit{k}}$$, тобто маємо дійсно праву трійку $$\stackrel{}{E},\stackrel{}{H},\stackrel{}{k}$$. Оскільки $$K=k\sqrt{}$$, то $$E_x=\sqrt{\frac{}{}}{H}_y,\frac{E_x}{H_y}=\sqrt{\frac{}{}}=\left(\right)$$ .

Таким чином у плоскій хвилі $$E$$ і $$H$$ залежні величини: якщо одне з них задане, то друге визначається лише серидовищем (див. *). Це в СГСЕ, в інших системах по іншому. Наприклад, в СІ у вакуумі $$\frac{E_x}{H_y}=\sqrt{\frac{{}_0}{{}_0}=}$$ 377 (Ом) — опір вільного простору (хвильовий опір простору).

Затухання електромагнітних хвиль (ЕМХ).

Нехай вздовж осі $$Z$$ розповсюджується ЕМХ: $${\text{Ae}}^{-\text{iKz}}={\text{Ae}}^{-\text{ik}\sqrt{}z}={\text{Ae}}^{-i\frac{}{c}\sqrt{}z}{\text{Ae}}^{-\text{ik}\sqrt{}z}$$ — тут $$\mathit{}-k\sqrt{}z=\text{Const}-\mathit{}=k\sqrt{}z-$$ $$\frac{}{k\sqrt{}}=\frac{\mathit{}}{\sqrt{}}=\frac{c}{\sqrt{}}$$. Розглянемо в середовищі, де $$=1$$, (найрозповсюдженіший випадок) — $$={}^{\text{'}}-i{}^{\text{'}\text{'}}$$. Тоді $${\text{Ae}}^{-\text{iKz}}={\text{Ae}}^{-\text{ik}\sqrt{{}^{\text{'}}-i{}^{\text{'}\text{'}}}z}={\text{Ae}}^{-i\left(K^{\text{'}}-i{K}^{\text{'}\text{'}}\right)z}=\left[\begin{array}{c}{K}^{\text{'}}=\text{Re}K\\ K^{\text{'}\text{'}}=\text{Im}K\end{array}\right]={\text{Ae}}^{-i{K}^{\text{'}}z}{e}^{-K^{\text{'}\text{'}}z}$$. З’явилася дійсна величина $$-K^{\text{'}\text{'}}z$$ в експоненті. Тобто кожна хвиля затухає.