Цифрова обробка моделі суміші сигналів на фоні завад в середовищі MATLAB

ЗМІСТ РЕФЕРАТ ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ ВСТУП ОСНОВНА ЧАСТИНА

1. Моделі шуму та гармонічних сигналів

2. Основні характеристики рекурсивних та нерекурсивних цифрових фільтрів

2.1 Нерекурсивні цифрові фільтри

2.2 Рекурсивні цифрові фільтри

3. Застосування цифрових фільтрів для виділення сигналу з шуму ВИСНОВКИ Список літератури

РЕФЕРАТ Пояснювальна записка до курсової роботи «Цифрова обробка моделі суміші сигналів на фоні завад в середовищі MATLAB»: 38 с., 21 рис., 3 табл., 7 літературних джерел.

Обєкт досліджень — модель суміші сигналів на фоні завад.

Метод дослідження — моделювання в середовищі MATLAB.

Мета роботи — розробка програми цифрової обробки моделі суміші сигналів на фоні завад в середовищі MATLAB, розробка рекурсивних і нерекрусивних фільтрів та дослідження співвідношеннь сигнал-завада.

Встановлено: — що розроблена цифрова модель суміші сигналів на фоні завад в програмному середовищі MATLAB з використанням інтерактивної оболонки SPTool подібна реальній моделі сигналів;

— розроблено програми моделювання сигнально-завадної ситуації;

— оцінено спектральні характеристики сигналів та співвідношення сигнал/завада;

— розроблено рекурсивний та нерекурсивний ФНЧ для виділення першого сигналу;

— розроблено рекурсивний та нерекурсивний смуговий фільтр для виділення другого сигналу;

— зроблено аналіз результатів виділення сигналів із сигнально-завадної суміші та порівняльний аналіз рекурсивних та нерекурсивних фільтрів.

Результати курсової роботи рекомендується використовувати при проведені наукових досліджень та в практичній діяльності фахівців.

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ ФНЧ — фільтр нижніх частот ФВЧ — фільтр верхніх частот СФ — смуговий фільтр НЦФ — нерекурсивний цифровий фільтр РЦФ — рекурсивний цифровий фільтр КІХ-фільтр — фільтр з кінцевою імпульсною характеристикою НІХ-фільтр — фільтр з нескінченною імпульсною характеристикою АЧХ — амплітудно-частотна характеристика ФЧХ — фазочастотна характеристика

SPTool — Signal Processing Tool — інтерактивне середовище для цифрової обробки сигналів

FIR — finite impulse response filter — КІХ-фільтр

IIR — infinite impulse response filter — НІХ-фільтр

Equiripple FIR — КІХ-фільтр оптимальної фільтрації Чебишева

Least Square FIR — КІХ-фільтр найменших квадратів

Chebyschev IIR — НІХ-фільтр Баттерворта

Chebyschev IIR — НІХ-фільтр Чебишева

Lowpass — фільтр нижніх частот

Highpass — фільтр верхніх частот

Bandpass — смуговий фільтр

F1 — частота першого сигналу

F2 — частота другого сигналу

U1 — амплітуда першого сигналу

U2 — амплітуда другого сигналу

Uz — амплітуда шуму

Sampling Frequency (Fs) — частота дискретизації

Fp — гранична частота смуги пропускання фільтру;

Fs — гранична частота смуги затримки;

Rp — пульсації (нерівномірність) АЧХ в смузі пропускання;

Rs — подавлення сигналу в смузі затримки.

F3db — частота зрізу фільтра

FFT — швидке перетворення Фур'є

Nfft — кількість відліків вихідного сигналу при Welch-перетворенні

Nwind — довжина реалізацій розбиттів вихідного сигналу (ширина вікна)

Order — порядок фільтру

ВСТУП цифровий обробка фільтр сигнал Цифрова обробка сигналів містить у собі створення засобів чисельного перетворення масиву заданного (вимірюваного в дискретні моменти часу) процесу зміни деякої безперервної фізичної величини з метою добування з нього корисної інформації про іншу фізичну величину, що міститься в виміряному сигналі.

На практиці доводиться зіштовхуватися з тим, що фізична величина, яка несе в собі корисну інформацію, не має таку фізичну форму, що може бути визначена безпосередньо. При цьому будь-який реальний прилад сам вносить власні похибки у вимірювану величину, які прийнято називати шумами прилада. Так що в ряді практичних задач обробки сигналів, що мають відношення, наприклад :

а) до придушення шуму, що маскує сигнал;

б) до усунення перекручувань, внесених інформаційним каналом;

в) до виділення двох або декількох сигналів, які були спеціально змішані.

Для ефективного використання каналу передачі інформації необхідне використання пристроїв, що забезпечують мінімізацію перекручування корисних сигналів у вимірювальних каналах. У випадку цифрової обробки сигналів у якості таких пристроїв виступають цифрові фільтри.

У даній роботі ставиться задача виділення гармонічних сигналів з нормального шуму з використанням рекурсивних Chebyschev IIR

і нерекурсивних Equiripple FIR цифрових фільтрів. Рішення такої задачі дозволить краще зрозуміти процес фільтрації та особливості кожного із зазначених типів цифрових фільтрів.

Дана курсова робота розрахована для студентів широкого кола спеціальностей, таких як радіотехніка, інформатика, електроніка та інші. Головна задача — не тільки в конкретній та доступній формі відповісти на поставлені задачі, а також спонукати виконавця до самостійної творчої роботи.

Для виконання даної курсової роботи необхідно було оволодіти певними знаннями з загальнонаукових дисциплін, і в першу чергу вищої математики, фізики, та теорії кіл. Розуміння фізичного змісту теорії та умов змістової частини розрахункових формул являється основою їхнього практичного застосування.

Дану курсову роботу з дисципліни «Обробка сигналів «рекомендовано виконувати з прослуховуванням лекцій або самостійного вивчення відповідних тем по різним посібникам.

В курсовій роботі наглядно розглянуто методи вирішення поставлених задач, їх особливості та можливості для дослідження систем інформаційних сигналів. В ході розробки курсової роботи, наведено багато прикладів, які наглядно ілюструють особливості поставлених задач, підходів до їх розв’язання і дають змогу засвоїти матеріал, самостійно розібравшись в ньому, усвідомити та узагальнити його.

ОСНОВНА ЧАСТИНА

1. Моделі шуму та гармонічних сигналів

При аналітичних дослідженнях процесів і систем використовуються різні моделі сигналів і перешкод. У даній роботі розглядається задача виділення детермінованого гармонійного сигналу з адитивної суміші двох детермінованих гармонічних сигналів і білого шуму з нормально розподіленими значеннями. Тому розглянемо дві моделі сигналів, з яких складається суміш.

Гармонічний сигнал визначається виразом

де ,

— амплітуда сигналу,

— частота сигналу.

Найбільше часто при аналізі сигналів і шумів використовуються спектральні характеристики. Зокрема для опису нормального шуму використовується його подання у вигляді спектральної щільності.

(1.1)

Тут — верхня частота шуму. Дійсно в практичних розрахунках ми змушені встановлювати граничну частоту шуму з ряду причин. Укажемо дві основні:

1) обмеженим по частоті спектрам відповідають шуми з кінцевою дисперсією, що спостерігається практично;

2) при дискретному поданні частота дискретизації обмежує спектр сигналів і шумів.

Кореляційна функція для шуму (1.1) відповідно до перетворення Вінера-Хінчіна

дорівнює:

.

Тоді дисперсія шуму знаходиться як значення кореляційної функції в точці, і тому параметр знаходиться як

(1.2)

Співвідношення перешкода-сигнал для суміші гармонічного сигналу обчислюється по формулі

(1.3)

де енергія гармонічного сигналу Е визначається:

(1.4)

2. Основні характеристики нерекурсивних і рекурсивних цифрових фільтрів

2.1 Нерекурсивні цифрові фільтри

Відмінною рисою НЦФ є залежність вихідного сигналу y (n) тільки від вхідних сигналів у даний момент часу x (n) і попередні моменти x (n-k). Алгоритм (рівняння) НЦФ порядку N записують у вигляді

.

Для розрахунків зручніше використати фільтр порядку 2N з алгоритмом фільтрації виду:

(2.1)

При N=2 відповідно до (1.1) можна записати

де x (n) — вхідний сигнал (відлік сигналу) у момент часу nTд ,

y (n) — відповідний вихідний сигнал,

Tд — період дискретизації.

При такому записі алгоритму фільтрації вихідний сигнал у момент часу n можна обчислити тільки тоді, коли стануть відомими «майбутні» вхідні відліки. Це означає необхідність затримки вихідного сигналу фільтра щодо вхідного.

Якщо на НЦФ подать одиничний імпульс

те відповідно до (1.1) на виході повинна з’явитися послідовність із (2N+1) відліків, що відповідають ваговим коефіцієнтам фільтра ak. Очевидно, що ця послідовність кінцева, тому НЦФ має кінцевий імпульсний відгук і називається фільтром з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ-фільтром або FIR (finite impulse response) фільтром).

Якщо на НЦФ подать дискретне гармонійне коливання:

тоді з (1.1) випливає

звідки передатна функція НЦФ

.

Неважко перевірити, що — періодична з періодом функція частоти, тобто Таким чином, може бути представлена рядом Фур'є в частотній області, причому коефіцієнти цього ряду визначаються співвідношенням:

.

При розрахунках зручно оперувати парними або непарними відносно коефіцієнтами. У цьому випадку спрощується вид передатної функції. Для парних передатна функція дійсна та складається із суми зважених косинусоїд:

а для непарних — - уявна та складається із суми синусоїд:

.

Для визначення параметрів цифрового нерекурсивного ФНЧ за основу береться ідеальний ФНЧ. Ідея методу розрахунку зводиться до апроксимації ідеального ФНЧ, передатна функція якого має вигляд:

(2.2)

де c — частота зрізу (іноді її позначають і називають «верхня гранична частота»).

Ця передатна функція H (j) може бути періодизована з періодом, після чого також може бути представлена рядом Фур'є, що буде тим краще апроксимувати H (j), чим більше доданків буде містити. Якщо ж таке розкладання «усікти», тобто залишити в ньому стільки складових, скільки коефіцієнтів фільтра ми хочемо обчислити, тоді результат такого усікання природно трактувати як Hд (j). З’являється різниця між H (j) і її апроксимацією Hд (j). Одним з кількісних критеріїв такої різниці є метод найменших квадратів Гауса: середній квадрат різниці повинен бути мінімальним:

.

Можна показати, що відповідно до цього критерію помилка апроксимації буде мінімальною, якщо вагові коефіцієнти шуканого фільтра обчислювати як коефіцієнти Фур'є розкладання в ряд періодизованої функції H (j). З огляду на (1.2), можна записати для парних функцій :

(2.3)

Таким чином, коефіцієнт ak (k = 0, …, N) залежить від відношення частоти зрізу до частоти дискретизації. Тому при розрахунках зручно використати відносну частоту зрізу

.

У цьому випадку

(2.4)

де .

Розрахунок ФВЧ, СФ і РФ виконується на підставі теореми додавання перетворень Фур'є.

Як відзначалося вище, найважливіший параметр, що визначає коефіцієнти нерекурсивного ФНЧ — це відношення. Інший не менш важливий параметр — порядок фільтра 2N. Виявляється, фіксуючи порядок фільтра, ми «автоматично» ставимо задачу про оптимальний у деякому сенсі виборі співвідношення між частотою дискретизації й частотою зрізу. Виходячи із цього, на практиці рекомендують вибирати «оптимальні» значення або .

Джерела таких рекомендацій стають зрозумілими, якщо врахувати зв’язок між й ІПХ неперервного (аналогового) фільтра:

(2.5)

. (2.6)

Порівнюючи (2.6) і (2.4), дійдемо висновку, що, тобто з точністю до множника коефіцієнти цифрового фільтра збігаються зі значеннями ІПХ аналового фільтра, узятими в дискретні моменти часу .

2.2 Рекурсивні цифрові фільтри

Вихідний сигнал рекурсивного фільтра в кожен момент часу залежить не тільки від вхідних сигналів, але й від вихідних у попередні моменти часу. У загальному випадку рівняння РЦФ записують у вигляді:

(2.7)

Більше із двох чисел M й N визначає порядок фільтра.

На найпростіших прикладах можна показати, що ІПХ рекурсивного фільтра нескінченна, тому такий фільтр іменують IIR (infinite impulse response) фільтром. Дійсно, нехай рівняння РЦФ має вигляд:

.

Подамо на такий фільтр одиничний імпульс:

Оскільки в моменти часу, що передують, фільтр не був збуджений, тобто, одержуємо:

і т.д., тобто ІПХ триває нескінченно довго.

Для одержання передатної функції рекурсивного фільтра прийнято використовува Z-перетворення:

.

Множачи на й піддаючи обидві частини рівняння (2.1) Z-перетворенню, одержимо

.

Оскільки в рівнянні (2.1) прийнято

ak = 0 при k<0 й k>N,

bk = 0 при k<0 й k>M,

можна розширити границі підсумовування до :

або Позначивши m = (n — k), одержимо або в компактному виді

B (z) Y (z) = A (z) X (z),

де A (z), B (z), X (z), Y (z) — Z-перетворення відповідних числових послідовностей.

Звідси треба, що Z-перетворення передатної функції фільтра (тобто відношення вихідної реакції до вхідного впливу) має вигляд:

(2.8)

Після підстановки в (2.2) одержимо передатну функцію в явному виді, тобто у вигляді залежності коефіцієнта передачі від частоти:

.

Коефіцієнт передачі - періодична функція частоти з періодом .

В окремому випадку нерекурсивного фільтра

.

Розрахунок (проектування) рекурсивних фільтрів істотно складніше розрахунку нерекурсивних фільтрів. Існує велика кількість різних методик, однак багато з них розраховані на висококваліфікованих професіоналів в області фільтрації сигналів, знайомих як з методиками проектування аналогових фільтрів, так і з областю математичного аналізу, присвяченої перетворенням Лапласа, Z-перетворенням, теорії відрахувань. Найбільш простою і популярною є методика, що називається «частотне перетворення».

Сутність цієї методики полягає в трансформації передатної характеристики якогось ФНЧ, іменованого «ФНЧ-прототип», у передатну характеристику потрібного фільтра (НЧ, ВЧ, смугового, режекторного), з наступною заміною .

Представимо таку методику у вигляді алгоритму:

1) виходячи з вимог до якості проектованого фільтра (гладкість у смузі пропускання, фазова характеристика, припустимий рівень пульсацій у смугах пропускання й запирання), вибирають тип фільтра й порядок фільтра N. ФНЧ Баттерворта забезпечує максимально плоску характеристику в зоні пропуcкання, однак погано передає фронти прямокутних імпульсів. Крутість перехідної зони (зі смуги пропускання в смугу запирання) росте зі збільшенням N.

2) після вибору типу фільтра звертаються до однієї з таблиць фільтрів-прототипів, з яких вибирають числові значення коефіцієнтів і. До таких таблиць «прив'язаний» також числовий параметр — відношення частоти дискретизації до частоти зрізу фільтра-прототипу. В літературі пропонуються таблиці для, що мають вид:

Таблиця 2.1. Коефіцієнти для прототипів ФНЧ Баттерворта N-го порядку

Розглядаючи таблиці, неважко помітити що, коефіцієнти залежать також від якогось індексу — номера каскаду. Справа в тому, що рекурсивні фільтри порядку N>2 прийнято одержувати шляхом послідовного з'єднання фільтрів 2-го порядку. Тому якщо передатна функція фільтра-прототипу 2-го порядку має вигляд:

те передатна функція фільтра-прототипу більш вищого порядку виходить як добуток передатних характеристик P фільтрів:

.

3) виходячи з необхідного співвідношення (при розрахунку НЧ або ВЧ фільтра) або необхідної пари співвідношень та, (при розрахунку смугового або режекторного фільтра), заміняють змінну на функцію змінної, для чого використовують співвідношення з таблиці 2.2.

Таблиця 2.2

4) отриманий аналітичний вираз передатної характеристики спрощують так, щоб у чисельнику й знаменнику виявилися поліноми змінної .

5) чисельник і знаменник функції ділять на таке число, щоб виконувалася умова. Результуючі коефіцієнти в чисельнику й знаменнику (після такого нормування) і утворять шукані множини коефіцієнтів і .

6) в аналітичному виразі для роблять заміну, одержуючи в такий спосіб частотну характеристику синтезованого фільтра. АЧХ фільтра одержують як корінь квадратний із суми квадратів дійсної та уявної частин комплексної функції .У випадку, коли отримана АЧХ не влаштовує користувача, роблять перерахунок коефіцієнтів для іншого типу фільтра або збільшують порядок фільтра.

3. Застосування цифрових фільтрів для виділення сигналів із шуму Відразу обумовимо вибір частоти дискретизації, частоти другого сигналу й способу формування шуму. Частота дискретизації, починаючи з етапу формування сигналів та шуму і включаючи вибір частоти дискретизації цифрових фільтрів, встановлюється на рівні 1000 Гц. Це дозволить спростити формування вихідних даних, а також уникнути зміни маштабу осі частот. Шум формується як стандартний гаусівский шум з нульовим математичним очікуванням і СКО рівним 0,6. Тривалість сигналів і шумів (T) встановлюється на рівні 1 с.

Для формування суміші сигналів і побудови графіків кожного сигналу, шуму й суміші сигналів із шумом використається програма, написана у середовищі MATLAB (додаток 1). Далі наведені результати роботи програми.

Рисунок 3.1 — Перший сигнал (U=0,5 В, F=3,5Гц) Рисунок 3.2 — Другий сигнал (U=1 В, F=10Гц) Рисунок 3.3 — Шум із нормальним законом розподілу M=0, СКВ=0,6

Рисунок 3.4 — Суміш шуму, першого сигналу та другого сигналу Рисунок 3.5 — Спектр суміші

Оцінка співвідношення сигнал-завада виконується по формулі (1.4) за допомогою підпрограми Sig/Shym.

Для вхідної суміші одержуємо -29,6656 Дб, що не перевищує заданої -30Дб.

Для відфільтрованих сигналів співвіднощення сигнал-завада буде обчислюватись за допомогою тієї самої підпрограми.

Щоб відфільтрувати задані сигнали з суміші її вектор із «робочої області» MATLAB «імпортується» в інтерактивну оболонку SPTool з частотою Fs=100*F2=1000Гц (виходячи з завдання), після чого здійснюється розробка заданих фільтрів Розробка нерекурсивного ФНЧ (Equiripple FIR) для виділення першого сигналу:

Рисунок 3.6 АЧХ фільтра типу Equiripple FIR (ФНЧ) налаштованого на відфільтрування першого сигналу Рисунок 3.7 ФЧХ фільтра типу Equiripple FIR (ФНЧ) налаштованого на відфільтрування першого сигналу Після застосування фільтра до суміші отримали відфільтрований сигнал (рис. 3.8):

Рисунок. 3.8 Результат фільтрації першого сигналу з суміші за допомогою Equiripple FIR ФНЧ Рисунок 3.9 Фрагмент спектру суміші після її обробки ФНЧ типу Equiripple FIR налаштованого на виділення першого сигналу Розробка рекурсивного ФНЧ (Chebyschev IIR) для виділення першого сигналу:

Рисунок 3.10 АЧХ фільтра типу Chebyschev IIR (ФНЧ) настроєного на відфільтрування першого сигналу Рисунок 3.11 ФЧХ фільтра типу Chebyschev IIR (ФНЧ) настроєного на від фільтрування першого сигналу Після застосування фільтра до суміші отримали відфільтрований сигнал (рис. 3.12):

Рисунок 3.12 Результат фільтрації першого сигналу з суміші за допомогою Chebyschev IIR ФНЧ Рисунок 3.13 Фрагмент спектру суміші після її обробки ФНЧ типу Chebyschev IIR налаштованого на виділення першого сигналу Розробка рекурсивного ПФ (Chebyschev IIR) для виділення другого сигналу:

Рисунок 3.14 АЧХ фільтра типу Chebyschev IIR (ПФ) настроєного на відфільтровку другого сигналу Рисунок 3.15 ФЧХ фільтра типу Chebyschev IIR (ПФ) настроєного на відфільтровку другого сигналу Після застосування фільтра до суміші отримали відфільтрований сигнал (рис. 3.16):

Рисунок 3.16 Результат фільтрації другого сигналу з суміші за допомогою ПФ Chebyschev IIR

Рисунок 3.17 Фрагмент спектру суміші після її обробки ПФ типу Chebyschev IIR налаштованого на виділення другого сигналу Розробка нерекурсивного ПФ (Eqiripple FIR) для виділення другого сигналу:

Рисунок 3.18 АЧХ фільтра типу Eqiripple FIR (ПФ) настроєного на відфільтрування другого сигналу Рисунок 3.19 ФЧХ фільтра типу Eqiripple FIR (ПФ) настроєного на відфільтрування другого сигналу Після застосування фільтра до суміші отримали відфільтрований сигнал (рис. 3.20):

Рисунок 3.20 Результат фільтрації другого сигналу з суміші за допомогою ПФ Eqiripple FIR

Рисунок 3.21 Фрагмент спектру суміші після її обробки ПФ типу Eqiripple FIR налаштованого на виділення другого сигналу Таблиця 3.1 Коефіцієнти фільтрів

Повні набори коефіцієнтів ФНЧ Equiripple FIR та ПФ Equiripple FIR не приводяться тут, оскільки, через високий порядок, зайняли б багато місця.

ВИСНОВКИ У даній курсовій роботі проводилося проектування цифрових рекурсивних та не рекурсивних ФНЧ та ПФ типів Eqiripple FIR та Chebyschev IIR за допомогою інтерактивної оболонки SPTool середовища Matlab. У результаті було розроблено програмне забезпечення, та власне фільтри для виділення заданих складових сигналу. Необхідно відмітити, що використання фільтра нижніх частот для виділення вузьких смуг у спектрі тестової суміші не є оптимальним, адже внаслідок обмеженої розподільної здатності у полосу пропускання фільтра потрапляє чимало складових, що не мають ніякого відношення до необхідного результату. Даний недолік також, але у значно меншій мірі, присутній при використанні полосових фільтрів обох типів.

За результатами обробки найкращі результати дав фільтр типу Chebyschev IIR, завдяки властивостям АЧХ якнайкраще працював з необхідними компонентами як в режимі ФНЧ так і ПФ, забезпечуючи таким чином оптимальні співвідношення сигнал-завада.

Список літератури

1. Белецкий А. Я., Бабак В. П. Детерминированные сигналы и спектры: Учебное пособие. — К.: КИТ, 2002. — 502 c.

2. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. — М.: Мир, 1989. — 378 c.

3. Темников Ф. Е., Афонин В. А., Дмитриев В. И. Теоретические основы информационной техники. — М.: Енергия, 1979. — 424 с.

4. Е. Шрюфер, Обробка сигналів. Цифрова обробка дискретизованих сигналів. Київ, Либідь, 1992. -294с.

5.

Введение

в цифровую фильтрацию. Под ред. Р. Богнера и А.Констандинидиса. — М., Мир, 1976 — 216с.

6. Дьяконов В. П., Matlab 6: Учебный курс. СПб: Питер, 2001.

7. Сергиенко А. Б., Цифровая обработка сигналов. СПб: Питер, 2002.