Об"ємні резонатори

Реферат на тему:

Об'ємні резонатори.

У них хвиля «б'ється» між стінками (див. Мал.):

$$=n\frac{{}_{\text{хв}}}{2}$$, тоді хвиля, що заходить у резонатор, і відбита, будуть у фазітобто це — умова резонансу.

Розв’яжемо рівняння Максвела для даної системи — знайдемо коливання, що існують у цій коробці.

$$\begin{array}{c}H\mathrm{:}{}_{}^2{H}_z+\left(k_0^2-{}^2\right)H_z=0\\ E\mathrm{:}{}_{}^2{E}_z+\left(k_0^2-{}^2\right)E_z=0\end{array}$$. З урахуванням граничних умов на бокових стінках (стінках хвильовода): $$H_z=H_0\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}x\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}{\text{ye}}^{-\mathit{i}}$$. Накладемо ще дві граничні умови: $$H_z=0{|}_{z=\mathrm{0,}l}$$ звідки одержимо $$H_0=0$$ — неправильно. Це тому, що не врахували відбиття від торцівправильно буде записати:

$$H_z=H_0\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}x\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}{\text{ye}}^{-\mathit{i}}+H_0^{\text{'}}\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}x\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}{\text{ye}}^{\mathit{i}}$$. Тоді при накладанні умови $$H_z=0{|}_{z=\mathrm{0,}l}$$ одержимо $$H_0+H_0^{\text{'}}=0=>H_0=-H_0^{\text{'}}$$ .

$$H_z=H_0\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}x\text{Cos}\frac{\mathit{n}}{a}y\left[e^{-\mathit{i}}-e^{\mathit{i}}\right]$$ .

Розглянемо $$H_z=0{|}_{z=\mathrm{0,}l}$$, одержимо $$e^{-\mathit{i}}-e^{\mathit{i}}=0=>\text{Sin}\mathit{}=0$$. Тоді $$\mathit{}=\mathit{}=\frac{2}{{}_{\text{хв}}}l=>{}_{\text{хв}}=\frac{2l}{p}$$ .

Типи коливань: (останній індекс — кількість півхвиль).

В круглому резонаторі:

Існує дуже багато типів резонаторів. Наприклад, резонатор хвилі, що біжить, такий резонатор ще називають кільцевим. Резонанс: $$2\mathit{}={\mathit{n}}_{\text{хв}}$$ .

Добротність резонаторів $$Q$$

.

.

Для будь-якого резонатора звичайно існує АЧХ, яка має ширину.

Напівширина $$\mathit{}$$ вимірюється для $$P_{\text{вих}}$$ на 0.5- а для вихідної амплітуди — на 0.7 висоти контуру. $$\mathit{}=\frac{\mathit{}}{2}$$. Хвиля затухає із декрементом $$$$: $$W=W_0{e}^{-2\mathit{}}$$, $$a=a_0{e}^{-\mathit{}}$$. Доведемо, що $$=\mathit{}$$. Це випливає з розв’язку рівняння: $$\stackrel{"}{x}+2\stackrel{}{x}+{}_0^{2}x=\text{fCos}t$$. Втрати $$\frac{\text{dW}}{\text{dt}}=-2W=\frac{W}{Q}$$ — тут добротність $$Q=\frac{}{2}$$. Втрати можуть бути в металі, на випромінювання в діелектрику:

$$\begin{array}{c}{P}_{\text{вт}}=P_{м}+P_{в}+P_{д}\\ \frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{м}}+\frac{1}{Q_{в}}+\frac{1}{Q_{д}}\end{array}$$.

Підрахуємо добротність, пов’язану з втратами у діелектрику:

$$\begin{array}{c}a=a_0{e}^{-i{}_0^{\text{'}}t}=a_0{e}^{-{\mathit{i}}_0\sqrt{}t}\\ {}_0^{\text{'}}\mathrm{:}l=\raisebox{1ex}{${}^{0_{\text{хв}}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\\ {}_0\mathrm{:}l=\raisebox{1ex}{${}_{\text{хв}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.=\raisebox{1ex}{${}^{0_{\text{хв}}}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2\sqrt{}$}\right.\end{array}$$.

Таким чином, $${}_0^{\text{'}}={}_0\sqrt{}$$ ($${}_0^{\text{'}}$$ — коливання резонатора з діелектриком, $${}_0$$ — порожнього) .

$$a=a_0{e}^{-{\mathit{i}}_0\sqrt{{}^{\text{'}}-i{}^{\text{'}\text{'}}}t}$$, де $$\sqrt{{}^{\text{'}}-i{}^{\text{'}\text{'}}}=\sqrt{{}^{\text{'}}\left(1-i\frac{{}^{\text{'}\text{'}}}{{}^{\text{'}}}\right)}=\sqrt{{}^{\text{'}}}{\left(1+i\text{tg}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\sqrt{{}^{\text{'}}}\left(1+\frac{1}{2}i\text{tg}\right)$$, отже $$a=a_0{e}^{-{\mathit{i}}_{0}t\sqrt{{}^{\text{'}}}\left(1+\frac{1}{2}i\text{tg}\right)}=a_0{e}^{-i{}_0^{\text{'}}t\left(1+\frac{1}{2}i\text{tg}\right)}=a_0{e}^{i{}_0^{\text{'}}t}{e}^{-{}_0^{\text{'}}\frac{1}{2}\text{tg}t}$$. Таким чином ми одержали $$a=a_0{e}^{-{}_0^{\text{'}}\frac{1}{2}\text{tg}t}$$, $${}_{\text{діел}}={}_0^{\text{'}}\frac{1}{2}\text{tg}=>Q_{д}=\frac{1}{\text{tg}}$$. Для розрахунку $$Q$$ в металі треба знайти потік енергії (як у смушковому резонаторі).