Модуляція неперервного гармонічного коливання

Модуляція неперервного гармонічного коливання

Вступ

Розглянемо спочатку модульовані коливання у випадку гармонічного переносника. Математична модель (MM) неперервного модульованого коливання може бути записана в загальному вигляді:

(1а) де — функція, що описує закон зміни амплітуди переносника в часі;

— функція, що описує закон зміни повної фази в часі.

Зміна функції повинна бути повільною порівняно з, так що за час, протягом якого зміниться на, функцію можна вважати сталою. Функцію називають обгинаючою, a — повною фазою модульованого коливання. MM такого коливання інколи записують у вигляді:

(1б) де та — повільно змінні в часі кутова частота та фаза коливання.

Миттєві значення кутової частоти та повної фази взаємопов'язані співвідношеннями:

; (2.а)

(2.б)

тобто кутова частота є похідною від повної фази, а повна фаза дорівнює інтегралові від кутової частоти. Зокрема, якщо повна фаза змінюється пропорційно часові (тобто за лінійним законом, то згідно з (1a) кутова частота є сталою. Якщо крім того, то отримуємо звичайне гармонічне коливання, яке описуємо виразом (1).

Отже, залежно від того, який із параметрів гармонічного коливання змінюється відповідно до зміни керуючого (модулюючого) сигналу, розрізняють амплітудну, частотну та фазову модуляції.

1. Математичні моделі та основні параметри АМ-сигналів

АМ-сигнал утворюється при зміні амплітуди несучого коливання пропорційно до модулюючого сигналу:

(3)

де — амплітуда несучого (немодульованого) коливання;

— коефіцієнт пропорційності;

— модулюючий (керуючий) сигнал.

Повна фаза АМ-сигналу змінюється у часі так, як і повна фаза несучого коливання, тобто за лінійним законом:

(4)

де та — кутова частота та початкова фаза несучого коливання.

Отже, математична модель АМ-сигналу записуємо у вигляді:

(5а) або з урахуванням (3):

(5б) З виразів (5a, б) бачимо, що АМ-сигнал є добутком обгинаючої і високочастотного коливання .

Ha рис. 1a зображено приклад модулюючого сигналу, на рис.1б — обгинаючу амплітуди, на рис. 1в — АМ-сигнал при, а на рис. 1 г — при .

Із рис. 1 бачимо, що між миттєвими значеннями модулюючого сигналу та обгинаючої за умови, що, існує однозначний пропорційний зв’язок. При невиконанні вказаної умови форми обгинаючої та модулюючого коливання не збігаються (рис.1г) — виникає небажане явище спотворення обгинаючої АМ-сигналу.

Рисунок 1 — Осцилограми модулюючого сигналу (а), обгинаючої амплітуди (б) та АМ-сигналів при різних значеннях коефіцієнта модуляції (в, г)

У найпростішому випадку однотональної модуляції модулюючий сигнал є гармонічним коливанням з частотою та початковою фазою, тобто:

Для цього випадку ММ АМ-сигналу можна записати:

(6)

Графік цього коливання показано на рис.

Рисунок 2 — Часова діаграма АМ-сигналу при однотональній модуляції

Відношення називають коефіцієнтом модуляції. Для здійснення модуляції без спотворень треба, щоб коефіцієнт модуляції задовольняв умову: .

При цьому амплітуда коливання змінюється у межах від мінімальної величини до максимальної. Коефіцієнт модуляції можна також визначити через Аmax та Аmіn:

(7)

Такий спосіб визначення значення часто використовують на практиці, коли наявна осцилограма АМ-сигналу. У більш загальному випадку, коли модулююче коливання складається з гармонічних складових, тобто

.

ММ модульованого коливання записуємо у вигляді:

(8)

B отриманому виразі величини називають парціальними (частинними) коефіцієнтами модуляції. Вони характеризують вплив окремих складових багатотонального коливання з частотами на загальну зміну амплітуди модульованого коливання. Коливання, описане виразом (8), називають складно-модульованим. Коливання (6) с частинним випадком складно-модульованого коливання при .

2. Спектральний опис АМ-сигналів

Амплітудно-модульований сигнал може бути поданий у вигляді суми гармонічних коливань. Найпростіше це показати для випадку однотональної (гармонічної) модуляції. Для цього у виразі (6), розкриваючи дужки та провівши прості перетворення, отримуємо:

. (9)

Перший доданок — це несуче коливання, а другий та третій — нові гармонічні коливання, які з’являються у процесі модуляції. Частоти цих коливань та називають «верхньою» та «нижньою» боковими частотами модуляції. Амплітуди цих двох коливань однакові між собою і становлять від амплітуди немодульованого коливання, а їх фази зсунуті симетрично стосовно фази несучого коливання.

Ha рис. 3 показана спектральна діаграма АМ-сигналу при однотональній модуляції. 3 діаграми бачимо, що ширина спектра АМ-сигналу дорівнює подвоєній частоті модуляції, а амплітуди коливань бокових частот (при M 1) не можуть перевищувати половини амплітуди немодульованого коливання.

Рисунок 3 — Спектральна діаграма АМ-сигналу при однотональній модуляції

Дані результати можна поширити на випадок модуляції складним сигналом. Розкриваючи дужки у виразі (8) та провівши нескладні перетворення, отримуємо:

. (10)

Перший доданок, як і раніше, це несуче коливання. Групу гармонічних складових з частотами називають верхньою боковою смугою частот, а групу гармонічних складових із частотами та — нижньою боковою смугою частот. Разом у складі АМ-сигналу є (2N+1) гармонічних складових.

Отже, в разі складномодульованого коливання кожна складова спектра модулюючого коливання u (t) дає свою пару бокових частот, а повний спектр складається з двох смуг, симетричних стосовно несучої частоти .

Ha рис. 3. показана побудова спектра складномодульованого коливання за заданим спектром модулюючого сигналу u (t). Ha рис. 3a зображено лінійчатий спектр модулюючого коливання, а на рис. 3б — спектр модульованого коливання.

Звідси бачимо, що для одержання структури спектра АМ-сигналу необхідно змістити спектр модулюючого коливання по осі частот на величину праворуч, а відтак дзеркально відобразити його стосовно вертикальної прямої .

Рисунок 4 — Спектральні діаграми модулюючого (а) та складномодульованого АМ-сигналу (б) при багатотональній модуляції

Згідно із вказаною методикою на рис. 4 показана побудова амплітудного спектра для випадку, коли модулююче коливання є періодичною послідовністю прямокутних імпульсів. Ha рис. 4a показано спектр послідовності модулюючих відеоімпульсів; а на рис. 4б — спектр радіоімпульсів, отриманих унаслідок модуляції.

Рисунок 5 — Амплітудні спектральні діаграми модулюючого (а) та модульованого (б) сигналів Часто при вирішенні деяких завдань зручно користуватися векторною діаграмою амплітудно-модульованого сигналу (AMC). Для цього кожну гармонічну складову спектра AMC зображають вектором і знаходять результуючий вектор. Ha рис. 5 зображена векторна діаграма AMC для випадку однотональної (гармонічної) модуляції, MM якого описує вираз (6).

Рисунок 6 — Векторна діаграма АМ-сигналу при однотональній модуляції

Ha цій діаграмі вісь проекцій OK обертається за годинниковою стрілкою з кутовою частотою. При цьому несуче коливання зображене нерухомим вектором OA завдовжки, повернутим на кут стосовно початкового положення осі OK. Його проекція на вісь, що обертається, у кожний момент часу дорівнює, тобто дорівнює миттєвому значенню несучого коливання.

Верхнє бокове коливання зображають вектором AC завдовжки, що розміщений під кутом стосовно початкового положення осі проекцій (при). Оскільки частота верхнього бокового коливання дорівнює +, то на векторній діаграмі вектор AC повинен обертатися проти годинникової стрілки з частотою .

Аналогічно вектор АД нижнього бокового коливання розміщений у початковий момент під кутом та обертається за годинниковою стрілкою з частотою .

Отже, положення обох векторів AC та АД у кожний момент часу є симетричним стосовно вектора OA несучого коливання, а результуючий вектор завжди розміщений на лінії OB і змінюється за довжиною відповідно до зміни модулюючого коливання. У разі складномодульованого коливання при побудові векторної діаграми необхідно враховувати всі бокові складові, коливання, подаючи їх векторами, які попарно обертаються у протилежні боки з частотами

3. Енергетичні характеристики АМ-сигналів. Різновиди АМС

Відповідно до зміни амплітуди змінюється і середня за період T0 високої частоти потужність модульованого коливання. Середню потужність, яка виділяється на одиничному опорі, визначаємо:

. (11)

Оскільки частота модулюючого коливання <<, то протягом одного періоду амплітуду можна вважати постійною. Тому можемо записати:

Розрізняють такі характерні значення у разі однотональної модуляції:

потужність режиму мовчання (за відсутності модуляції):

; (12)

потужність у максимальному режимі:

; (13)

потужність у мінімальному режимі:

. (14)

Часто використовують поняття середньої потужності за період модуляції (де):

. (15)

Отже, при стовідсотковій модуляції (М=1):

;; .

Звідси бачимо, що корисний приріст середньої потужності несучого коливання за рахунок модуляції не перевищує половини потужності режиму мовчання. Це означає, що при стовідсотковій модуляції 66,6% усієї коливальної потужності передавача тратиться на передавання несучої частоти і лише 33,3% потужності припадає на коливання бокових частот.

У максимальному режимі передавач повинен віддавати потужність у 4 рази більшу від потужності режиму мовчання. Ця особливість амплітудної модуляції є суттєвим недоліком, який погіршує енергетичні, експлуатаційні та економічні характеристики передавальних пристроїв.

Отже, з енергетичного погляду доцільно передавати лише бокові складові АМ-сигналу без коливання несучої частоти .

АМ-сигнал з усунутим коливанням несучої частоти називають балансно-модульованим сигналом. Математична модель такого коливання має вигляд:

(16)

де — модулюючий сигнал, — коефіцієнт пропорційності.

Ha рис. 7 зображена осцилограма балансно-модульованого сигналу; та його амплітудна спектральна діаграма при однотональній модуляції.

Рисунок 7 — Балансно-модульований сигнал (а) та його амплітудна спектральна діаграма (б) Особливістю балансної модуляції є те, що в режимі мовчання за відсутності модуляції передавальний пристрій не випромінює потужності. Вона випромінюється лише за наявності модулюючого коливання. Необхідно зауважити, що для здійснення детектування сигналу на приймальному пункті треба відновлювати коливання несучої частоти, що ускладнює приймальний пристрій.

Отже, балансна модуляція дає змогу усунути витрати потужності на передавання коливання несучої частоти. Проте при балансній модуляції передається надлишкова інформація, тому що обидві бокові складові є симетричними стосовно частоти несучого коливання, отже, містять одну й ту ж інформацію. Тому для зменшення ширини смуги, яку займає модульований сигнал, достатньо передавати лише одну бокову смугу частот (нижню або верхню), приглушивши другу за допомогою частотних фільтрів. Хоча цей спосіб не поліпшує енерґетичних характеристик AMC, проте він у два рази звужує смугу частот, в якій зосереджений спектр AMC, і тому дає змогу у два рази збільшити кількість повідомлень, що передаються у каналі зв’язку.

У техніці зв’язку такий спосіб називають частотним ущільненням каналу зв’язку, а спосіб передавання — односмуговою амплітудною модуляцією. Ha приймальному пункті треба відновлювати коливання несучої частоти та усунуту бокову смугу частот.