Інтегрування раціональних функцій

Пошукова робота на тему:

Інтегрування раціональних функцій.

План.

Інтегрування раціональних функцій.

Прості раціональні дроби.

Неправильні раціональні дроби.

Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського.

1. Інтегрування раціональних дробів.

Прості раціональні дроби Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів :

,.

не розкладається на лінійні множники в множині дійсних чисел .

Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів :

;

Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у знаменнику повного квадрата, а в чисельнику похідної від знаменника, помноженої на деяку константу .

.

Отже,.

Якщо позначити.

то одержимо.

їх значеннями.

г) Четвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й третій, зведеться до вигляду.

Тому.

Останній же інтеграл може бути про інтегрований за рекурентною формулою (9.3).

Неправильні раціональні дроби.

і правильного дробу. Цілу частину неправильного дробу можна виділити прямим діленням чисельника на знаменник. Ділення це продовжується доти, поки остача від ділення (це буде деякий поліном або просто число) матиме менший степінь, ніж степінь полінома, що є дільником.

Приклад 1. Виділити цілу частину дробу.

, то дріб неправильний. Ми можемо безпосередньо виділити цілу частину, додавши і віднявши в чисельнику 8:

Приклад 2. Виділити цілу частину дробу.

Отже,.

.

Інтегрування правильного раціонального дробу.

) не представляє ніяких труднощів. Тому розглянемо саме інтегрування правильних раціональних дробів.

Нехай знаменник правильного дробу має вигляд.

.

коренів на множині комплексних чисел.

тобто комплексні корені входять у поліном комплексно спряженими парами.

 — корені полінома, тобто.

. Їх добуток.

. Серед коренів полінома можуть виявитися кратні. Якщо врахувати це, то розклад полінома на множники запишеться так:

(8.21)

 — кратності пар комплексно спряжених коренів.

простих дробів:

простих дробів:

Розглянемо конкретний приклад розкладу на прості дроби правильного раціонального дробу.

).

Отже, заданий дріб може бути поданий як.

 — невідомі коефіцієнти, які треба обчислити, виходячи з того, що написана рівність є тотожністю. Її можна записати, звільнившись від знаменників:

то одержимо систему дев’яти лінійних рівнянь із дев’ятьма невідомими відносно невідомих коефіцієнтів, які й знайдемо із вказаної системи рівнянь. У курсі алгебри доведено, що необхідна система рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів завжди має єдиний розв’язок .

підставляти довільні числа.). В результаті одержимо шість невідомих коефіцієнтів. Отже, залишиться знайти ще три коефіцієнти .

.

Після визначення всіх невідомих коефіцієнтів цієї системи рівнянь вже легко буде проінтегрувати заданий дріб, користуючись формулами простих раціональних дробів (п. 9.7.1).

.

Приклад. Обчислити інтеграл:

Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо знаменник на множники.

Тоді розкладемо підінтегральний дріб на прості дроби:

=.

Одержимо.

і.

Виділення раціональної частини інтеграла.

Метод Остроградського.

. При розкладі його на прості дроби одержимо таку суму простих дробів:

(8.22).

Перша група доданків у цій сумі в результаті інтегрування дає.

.

тобто ірраціональний вираз. Друга група доданків, якщо її проінтегрувати, буде такою:

.

Третя група доданків після інтегрування:

.

— поліном, степінь якого буде меншим, ніж степінь полінома в знаменнику. Тому.

(8.23).

 — теж раціональний дріб, усі множники знаменника якого.

.

Із (8.23) знаходимо.

(8.24)

.

Приклад.

.

Р о з в ‘ я з о к. Підінтегральну функцію, користуючись формулою (8.24), подамо у вигляді.

— невідомі числа.

.

.

Тоді.

. Якщо цього не зробити, то далі виникнуть труднощі, викликані тим, що отримаємо систему рівнянь, в якій буде більше рівнянь, ніж невідомих коефіцієнтів.

одержимо таку систему рівнянь:

На підставі формули (8.24) матимемо.

Інтеграл у правій частині цієї рівності знаходять точно так само, як це було зроблено в попередньому прикладі. Пропонується довести цю роботу до кінця.

Методом Остроградського можна користуватися в разі інтегрування правильного раціонального дробу, знаменник якого має кратні корені.

(дійсні або комплексні).

У результаті інтегрування виділяється правильний раціональний дріб і новий інтеграл, знаменник підінтегрального виразу якого має лише прості корені. Ця обставина дозволяє дуже легко знайти невідомі коефіцієнти в чисельниках підінтегральної функції після її розкладу на прості дроби, не вдаючись до розв’язування системи рівнянь, якій задовольняють невідомі коефіцієнти розкладу.