Властивості визначеного інтеграла

Властивості визначеного інтеграла.

.

.

1. Властивості визначеного інтеграла.

10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

.

Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.

Визначений інтеграл .

20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.

30. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

.

Властивості 20 і 30 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона — Лейбніца.

40. Якщо функція f (x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність.

.

(адитивність визначеного інтеграла).

Припустимо спочатку, що a<c<b. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на частинні відрізки, то розіб «ємо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбиття. Якщо, наприклад, с=хт, то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

.

Переходячи в цій рівності до границі при .

Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого.

Якщо, наприклад, a<b<c, то за формулами (34) і (33) маємо.

.

На рис. 7.5 показано геометрично цю властивість для випадку, коли .

Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо.

.

Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл (27) при a<b дорівнює алгебраїчній сумі площ відповідних криволінійних трапецій, розміщених над віссю Ох, мають знак плюс, а нижче осі Ох — знак мінус. Якщо a>b то все формулюється навпаки .

Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 7.6 фігури виражається інтегралом.

.

Дійсно.

.

Для довільного τ - розбиття маємо.

.

Властивості 50 і 60 називають лінійністю визначеного інтервала.

70. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо .

(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).

Оскільки.

.

80. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо .

(монотонність визначеного інтеграла).

Оскільки .

Використовуючи властивість 40, дістанемо нерівність (38).

Якщо .

Застосовуючи формулу (38) до нерівності.

.

Звідки й випливає нерівність (39).

.

.

Звідси й одержуємо нерівність (40), оскільки.

.

(оцінки інтеграла по області).

За умовою .

тому з властивості 70 маємо.

.

120. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що.

.

Покладемо.

.

звідки й випливає дана властивість.

Для випадку, коли a>b, приводимо ті самі міркування для інтеграла .

Термін «середнє значення функції» добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (44) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b] (п. 2.2), то середнє значення f© означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f (t).

130. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.

.