Завдання 4. Наближене розв'язування трикутників за теоремою Лежандра

Після визначення кінцевих значень виміряних кутів або напрямків у тріангуляції на поверхні еліпсоїду розпочинають розв’язування трикутників, яке зводиться до послідовного обчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників. При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сферою можна нехтувати, а трикутники вважати сферичними. Отже, їх можна розв’язувати за правилами сферичної тригонометрії.

Сферичний трикутник Плоский трикутник.

Теорема Лежандра: Малий сферичний трикутник АВС можна розв’язувати як плоский, якщо кожний з його кутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку:

Кути А, В, С називають плоскими приведеними кутами. Величину називають сферичним надлишком трикутника. Оскільки, то Тому слід розглядати як різницю сум кутів сферичного і плоского трикутників.

R_m — радіус сфери, який дорівнює середньому радіусу кривизни поверхні еліпсоїду, на якій побудований трикутник:

;

— перша функція геодезичної середньої широти трикутника; а, Ь — велика та мала півосі, е — перший ексцентриситет референц-еліпсоїду.

З метою забезпечення точності обчислень довжин сторін m_s = 0,001 м у тріангуляції1 класу помилка е не повинна перевищувати величини порядку m_s = 0,0005''.

При довжинах сторін трикутника не більше 90 км його сферичний надлишок не перевищує величини е'' 17''.

Якщо розв’язування сферичного трикутника розпочинати за виміряними кутами, то попередньо потрібно позбутися його кутової нев’язки і визначити виправлені сферичні кути. Кожен з виправлених кутів розраховують як суму виміряного кута і поправки, де нев’язка. Далі за обчисленими плоскими приведеними кутами та довжиною вихідної сторони трикутник розв’язують на основі теореми синусів плоскої тригонометрії:

Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо довжина вихідної сторони метрів, середня широта N — номер варіанту. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.

Вихідні дані

Результати вимірів кутів

№ трикутника.	Позначення кутів.	Виміряні сферичні кути.
	А1
В1
С1
	А2
В2
С2

Номер варіанту N = 42

Довжина вихідної сторони.	c1 = (70 000- 500 * N)	49 000 метрів
Середня широта.	48°01'01,1111' + 7'*N.	52° 55' 01,1111″ .

Сталі величини

b	6 356 863,019 м.	е2	0,669 342.	с°	57°, 29 577 951.

Робочі формули

Радіус сфери.

= 6 384 058,220.

Трикутник № 1.

Трикутник № 2.

№ три кутн.	Верш.	Виміряні сферичні кути.	— w/3.	Виправлені сферичні кути.	— є/З.	Виправлені плоскі кути.	Синуси кутів.	Довжини сторін.
	С.	49° 59' 51,20″ .	1,065.	49° 59' 52,265″ .	— 2,029.	49° 59' 50,237″ .	0,76 601 402.	49 000,000.
В.	51° 33' 02,51″ .	1,065.	51° 33' 03,575″ .	— 2,029.	51° 33' 01,547″ .	0,78 315 577.	50 096,515.
А.	78° 27' 09,18″ .	1,065.	78° 27' 10,245″ .	— 2,029.	78° 27' 08,217″ .	0,97 975 833.	62 672,689.
У1	180° 00' 02,89″ .	3,196″ .	180° 00' 6,086″ .	— 6,086″ .	180°00' 00,000″ .
е1	6,086″ .
w1	— 3,196″ .
	D.	59° 25' 19,10″ .	2,169.	59° 25' 21,269″ .	— 2,819.	59° 25' 18,450″ .	0,86 093 557.	62 672,689.
В.	51° 46' 48,52″ .	2,169.	51°46' 50,689″ .	— 2,819.	51° 46' 47,870″ .	0,78 564 059.	57 191,513.
С.	68° 47' 54,33″ .	2,169.	68° 47' 56,499″ .	— 2,819.	68° 47' 53,680″ .	0,93 231 272.	67 868,661.
У2	180° 00' 01,95″ .	6,506″ .	180° 00' 08,456″ .	— 8,456″ .	180°00' 00,000″ .
е2	8,456″ .
w2	— 6,506″ .