Збурення псевдообернених та проекційних матриць

Реферат на тему:

Збурення псевдообернених та проекційних матриць.

Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою подальшого використання при розв «язанні задач ідентифікації, нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.

збурену матрицю.

.

збурену псевдообернену матрицю.

.

збурену проекційну матрицю.

.

а також наступну проекційну матрицю.

.

.

.

відповідно, тобто.

. (2.1).

визначається наступною теоремою.

виконуються умови (2.1), то.

.

їхній вид визначається наслідками з теореми 1.

Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то.

. (2.2).

Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно.

.

Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то.

. (2.3).

Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і.

.

то.

. (2.4).

Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2.3) і співвідношень.

.

тобто.

. (2.5).

Тут має місце наступна теорема [8].

виконуються умови (2.5), то.

(2.6).

де.

.

то.

(2.7).

де.

. (2.8).

Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то.

(2.9).

визначається по формулі (2.8).

Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень.

.

Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то.

. (2.10).

.

тобто.

(2.11).

і при цьому.

. (2.12).

У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно наступної теореми.

виконуються умови (2.11), (2.12), то мають місце співвідношення.

(2.13).

. (2.14).

Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то.

. (2.15).

.

де використані властивості.

.

(відповідно до (2.11)),.

(відповідно до (2.12)).

Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то.

(2.16).

визначається по формулі (2.14).

При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.

має наступну псевдообернену матрицю.

. (2.17).

Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї деякого її стовпця або рядка.

Випадок 4. Нехай мають місце умови (2.11).

але при цьому не виконується рівність (2.12), тобто.

. (2.18).

Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова.

. (2.19).

виконуються умови (2.11), (2.18), то мають місце співвідношення.

(2.20).

Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна задовольняти псевдообернена матриця.

Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то.

. (2.21).

Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то.

.(2.22).

Довести останню формулу можна наступним чином.

.

то.

(2.23).

(2.24).

(2.25).

. (2.26).

наслідку 4 і 5.

. В якості збурень без обмеження спільності будемо розглядати поповнення матриці або вилучення останнього рядка. При поповненні матриці новим рядком для визначення збуреної псевдооберненої матриці використовуються добре відомі формули Гревіля [5].

тоді.

(2.27).

(2.28).

(2.29).

то.

(2.30).

(2.31).

. (2.32).

останнього рядка псевдообернена і проекційні матриці набувають наступні зміни при.

(2.33).

де.

(2.34).

(2.35).

(2.36).

(2.37).

b) при.

(2.38).

(2.39).

(2.40).

(2.41).

тобто.

(2.42).

а умова (2.38) — відсутність зниження рангу.

(2.43).

Наведемо доведення формули (2.35). Якщо.

одержимо.

.

і, відповідно до (2.17).

.

.

.

Тут використані співвідношення.

.

Подібним чином доводиться і формула (2.37).

відповідно до (2.30).

і з рівняння.

одержимо.

.

Формули (40) і (41) доводяться простим використанням формули (2.39).