Комплексні числа

Комплексні числа.

.

.

При вивчення математики ми багато раз зустрічаємося з ідеэю розширення множини дійсних чисел .Наше представлення про число змінюється по мірі розширення кругу задач, які необхідно розв «язувати .Якщо для рахунку окремих предметів нам досить натуральних чисел, то, наприклад, для розв «язування рівнянь px+q=0, де p є N і q є N, натуральних чисел мало потрібні раціональні числа. В свою чергу раціональні чисел виявляється не досить для вимірювання довжини відрізків. Щоб довільному відрізку можна було надати довжини, необхідно добавити до раціональних чисел ірраціональні числа, тобто можна вже дрібні числа. Обмежуватись розглядом тільки ірраціональні чисел, неможливо розв «язувати рівняння x2−2=0,так як у множені раціональних чисел це рівняння немає розв «язків.

Але й дійсних чисел виявляється не досить для розв «язування алгебраїчних рівнянь. Адже у множені дійсних чисел не мають розв «язків квадратні рівняння з від «ємним дискримінантом, у тому числі простіші квадратні рівняння з натуральними коефіцієнтами, наприклад х+1=0, х2+х+1=0.

Щоб кожний раз для розв «язування все більш складних рівнянь не вводити нові, більш складні числа, ввели нову множину чисел комплексні числа. Виявляється у множенні комплексних чисел містяться не тільки всі розв «язки кожного квадратного рівняння, але всі розв «язки алгебраїчних рівнянь будь-якого степеня з дійсними або комплексними коефіцієнтами.

Комплексні числа часто називають уявними. Це назва не досить удачна, так як можна створити представлення про комплексні числа як про щось нереальне.

Воно пояснюється тим, що, хоча комплексні числа стали використовуватись ще в ХVIII віці, вони довго продовжувались здаватися навіть видатним математикам чимось нереально існуючим, уявленням в буквальному змісті цього слова засновників. Одному з диференціального і інтегрального числення, німецькому математику Г. Лейбніцу (1646−1716) належить, наприклад, такі слова: «Комплексне число — це тонкій і ражаючий засіб божого духу, майже амфібія між буттям і небуттям.» Від Зараз від всієї містики не залишилось нічого, крім, можливо, назви «уявні числа.» Уже у часи Г. Гауса (1777−1855) було дано геометричне тлумачення комплексних чисел як точок площини. Працями видатних математиків ХIХ століття О. Коші, Б. Рімана і К. Вейнетраса на базі комплексних чисел була побудована одна із самих гарних математичних дисциплін — теорія функцій комплексної змінної.

Контрольні запитання.

Дати означення комплексного числа.

Сформулювати означення уявної одиниці.

Як знайти степінь уявної одиниці.

Які комплексні числа називаються рівними, спряженими.

Як зображаються комплексні числа? Геометричний зміст комплексного числа.

Записати формулу для знаходження довільного степеня уявної одиниці.

Як виконуються дії додавання і віднімання комплексних чисел записаних в алгебраїчній формі?

Як виконуються дії множення та ділення комплексних чисел записаних в алгебраїчній формі?

Вправи для самоконтролю Обчислити: і35, і42, і144, і3+і9+і10+і15; і10+і11−3і111+5і47.

Серед наведених прикладів виберіть:

А). чисто уявні комплексні числа;

Б). чисто дійсні комплексні числа;

В). спряжені комплексні числа;

Г). рівні комплексні числа;

.

Знайти значення х та у:

.

Розкласти на множники:

.

Зобразіть дані комплексні числа на координатній площині:

.

Дано:

.

Знайти:

.

Дано комплексні числа z1 i z2. Знайти:

.

є). Зобразити на рисунках .

.

Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.

Приклад 1. Дано два комплексних числа:

z1=3+i· 4, z2=4-i. Знайти:

1). z1+z2 (зобразити на рисунку).

.

Розв «язування.

.

у.

.

0 х.

.

5). Перевіримо, чи справджується умова .

.

Ділення можна виконати, домноживши знаменник і чисельник на спряжене до знаменника комплексне число.

.

6). Піднесемо z2 до третього степеня. Виконавши всі перетворення, одержимо.

.

Приклад 2. Знайти комплексне число .

Розв «язування.

Виконавши в знаменнику піднесення до степеня, отримаємо:

.

Домноживши чисельник та знаменник на число, спряжене до знаменника, тобто на -2−12і, отримаємо:

.

Відповідь: z= - i.

.

.

_.

.