Кінематика і динаміка матеріальної точки

Фізика тісно зв’язана з технікою і цей зв’язок носить двосторонній характер. Значні фізичні відкриття рано чи пізно приводять до технічних переворотів, створенню нових галузей техніки. Важко знайти таку галузь техніки, яка б не виросла з фізики. Фізика є найбільш широкою теоретичною основою техніки. Прогрес в техніці - впровадження нового в техніку — зв’язаний з новими науковими відкриттями у всіх галузях науки, і особливо, в області фізики. На підставі досягнень фізичної науки створені заново такі сучасні галузі, як атомне машинобудування, космічна техніка, електронна та мікроелектронна, мікробіологічна промисловість, лазерна техніка, виробництво штучних алмазів та інших синтетичних матеріалів.

Сучасна теорія електромагнетизму є основою розвитку всієї промислової електротехніки та радіотехніки. Фізика напівпровідників привела до створення надмініатюрних приладів, швидкодіючих обчислювальних машин, зручних нагрівників та холодильників. Важливе значення зараз має ядерна енергетика, що народилась з фізики атомного ядра.

В свою чергу, розвиток техніки впливає на вдосконалення експериментальних методів фізичних досліджень, дає змогу застосування нових точніших приладів і установок, тобто сприяє прогресу в фізиці.

Науково-технічна революція спричинила швидкий зріст вимог до засобів зв’язку і одночасно відкрила широкий шлях для їх подальшого розвитку. Автоматичні системи керування технічними процесами, підприємствами і цілими галузями господарства зажадали створення сітки зв’язку для одержання вихідних даних, вводу їх в обчислювальні центри і передачі переробленої інформації споживачам.

Математика відіграє виключно важливу роль в фізиці. Без неї сучасна фізика немислима. Математика адекватний кількісний апарат для фізиків. В процесі розвитку фізика і математика взаємно збагачують одна одну. Але необхідно правильно уявляти істинну роль математики і фізики. Чиста математика має справу з абстрактними об'єктами і поняттями. При побудові теорії фізика замінює реальні об'єкти їх ідеалізованими моделями, що приблизно правильно передають не всі властивості реального об'єкт, а тільки ті з них, які суттєві в тому колі питань, що розглядаються. Які властивості реальних об'єктів суттєві, а які не відіграють помітної ролі - на це питання може відповісти тільки дослід, якому належить вирішальне слово в питанні про правильність будь-якої фізичної теорії і межах її-використання.

Досягнення в області фізики мають велике значення для обороноздатності України. Армія має саму сучасну техніку, яка постійно удосконалюється нашими вченими. Вдосконалення бойової техніки і створення нових їх зразків відбувалось і відбувається за рахунок використання нових досягнень в фізиці. Наприклад, в сучасних нових ракетах і літаках використали закон реактивного руху, а в атомних бомбах — реакцію поділу ядра, в водневих-термоядерну реакцію синтезу; лазерна зброя, нейтронна і багато іншого основані на знаннях законів фізики і її досліджень.

Сучасна військова техніка зв’язку широко використовує досягнення фізики. Десятки фізичних явищ використовуються для побудови радіоелектронних приладів (це лазерний ефект, тунельний ефект, ефект Холла, ефект Фарадея, ефект Ганна, Пельтьє та ін.) Розвиток радіофізики привів до створення дальнього та наддальнього зв’язку. Вивчення фізики атмосфери і умов розповсюдження радіохвиль привело до створення тропосферного та космічного зв’язку.

Фізика дуже тісно пов’язана з філософією. Вивчення фізики пов’язано з філософією. Вивчення фізики відіграє важливу роль у формуванні діелектрико-матеріалістичного світогляду.

Діалектичний матеріалізм виходить з того, що світ матеріальний, існує незалежно від нашої свідомості, а наша свідомість об'єктивно відображає існуючий світ. Фізика підтверджує це положення діалектичного матеріалізму. Дійсно, якщо ми можемо за бажанням викликати, відтворити яке-небудь явище природи (наприклад, штучно створити блискавку), можемо використовувати в промисловості, в техніці відкриття і вивченні явища природи (електрика, магнетизм і т.д.), то це означає, що вони існують об'єктивно, а наш мозок відображає їх правильно.

Діалектичний матеріалізм стверджує, що матерія знаходиться в постійному русі, що рух і матерія незнищенні. Незнищенність руху стверджується законом збереження енергії.

Діалектичний метод розглядає природу як єдине ціле, де всі предмети і явища взаємодіють, залежать одне від одного. Фізика це стверджує. Наприклад, електричні властивості величини залежать від природи хімічних елементів, що входять до складу речовини, від типу взаємодії їх в речовині.

Діалектичний метод розглядає природу в стані неперервного руху, зміни, оновлення, де завжди щось виникає, розвивається. А щось руйнується, відмирає. Розвиток природи діалектичний метод розглядає як такий процес, в якому кількісні зміни ведуть до якісних змін, причому ці якісні зміни відбуваються стрибком. Яскравим фізичним ствердженням цього є зміна агрегатного стану речовини.

Одним з важливіших законів діалектики є закон єдності та боротьби протилежностей. Сучасна фізика яскраво це підтверджує. Доказано, що всі мікрочастини одночасно мають хвильові і корпускулярні властивості, хоч ці властивості протилежні, виключають одна одну.

Діалектичний матеріалізм як вища форма матеріалізму установлює загальні закони розвитку природи., суспільства, мислення. Він не установлює ніяких конкретних уявлень про будову матерії та формах її руху.

Таким чином, науковою методологією фізики, базою її світогляду є діалектичний матеріалізм.

Прискорення та початкові умови повністю визначають закон руху матеріальної точки. Подальший розвиток науки показав, що в мікросвіті неможливо задати такі початкові умови, які, як і в ньютонівській механіці, повністю визначили б траєкторію мікрочастинки.

Динаміка матеріальної точки базується на трьох основних законах, сформульованих уперше І. Ньютоном.

За допомогою законів Ньютона вирішуються усі задачі динаміки. Закони Ньютона дозволяють звести динамічні задачі до кінематичних.

Згідно з принципом відносності Галілея у всіх інерційних системах відліку закони механіки однаково справедливі.

Діалектичний матеріалізм розглядає рух як важливий атрибут, спосіб існування матерії. Рух включає в себе всі процеси, які відбуваються в природі і суспільстві. В загальному вигляді рух — це зміни взагалі, всяка взаємодія матеріальних об'єктів.

Рух матерії різноманітний по своєму прояву і існує в різноманітних формах. Взагалі розглядають три групи руху матерії:

— в неорганічній природі;

— в живій природі;

— в суспільстві.

В кожній і з цих груп є множина форм руху матерії, що пов’язано з невичерпаністю матерії.

До форм руху матерії неорганічної природи відносяться:

просторові переміщення різних тіл; рух елементарних частинок і полів — електромагнітні, гравітаційні, ядерні взаємодії, процеси перетворення атомів і молекул, враховуючи і хімічну форму руху, зміна в структурі макроскопічних тіл — теплові процеси, зміна агрегатних станів, звукові коливання і інші; зміна космічних систем різних порядків — планет, зірок, галактики і інших.

В живій природі - це різноманітні прояви життя: обмін речовин, процеси, відбиваючі зовнішні умови і інші.

Суспільні форми руху включають в себе різноманітні форми прояву діяльності людей від матеріального способу виробництва до людської свідомості.

Закони механічних рухів були в значній мірі пояснені Галілеєм (1564−1642 рр.) і остаточно сформульовані Ньютоном (1642−1727 рр.). Механіка Галілея — Ньютона одержала назву класичної механіки.

Згідно Ньютонівської концепції простір — це пусте «вмістилище» подій, рівномірно протікаючи від минулого до майбутнього. Простір і час є абсолютною системою відліку. З точки зору класичної механіки можна було говорити про довжину тіла, не вказуючи, в якій системі відліку ці події розглядаються. Основою, правда, яка явно не формулювалася, для такої точки зору була впевненість в існуванні скільки завгодно швидших сигналів.

Кінематика матеріальної точки

Механіка — це розділ фізики, в якому вивчається найпростіша форма руху матерії - механічний рух, тобто переміщення одних тіл відносно других тіл (або одних частин тіла відносно других його частин). Механічний рух виникає в результаті взаємодії даного тіла з другими тілами.

Питання про взаємодію (природа сил діючих на тіла) виходить за рамки механіки. Взаємодія тіл вивчається в розділах фізики: молекулярної фізики, електродинаміки та ін.

Основна задача механіки в тому, щоб, знаючи сили, діючі на тіло, визначити положення (координати) цього тіла в любий проміжок часу. Це пряма задача механіки. Оберненою задачею є знаходження сил, які спричинили цей рух.

Механіка тісно пов’язана з багатьма розділами фізики. Ряд понять і методів механіки при відповідних узагальненнях знаходять застосування в статичній фізиці, оптиці, квантовій механіці, електродинаміці, теорії відносності і ін.

Механіка являється однією з наукових основ багатьох областей сучасної техніки. Класичною механікою називають механіку, в основі якої лежать закони Ньютона і предметом якої являється рух макроскопічних тіл зі швидкостями малими в порівнянні зі швидкістю світла.

Рух тіла зі швидкостями, близькими до швидкості світла, вивчається в теорії відносності, а рух мікрочастинок розглядається в квантовій механіці.

Кінематика вивчає рух тіл, не розглядаючи ті причини, які цей рух обумовили.

Динаміка вивчає закони руху тіл і ті причини, що спричиняють чи змінюють цей рух.

Статика вивчає закони рівноваги системи тіл. Статику розглядають як один із випадків динаміки.

Переходимо до розгляду кінематики та динаміки матеріальної точки.

Нехай матеріальна точка переміщується з точки, А в точку В (рис. 1). Відстань від точки, А до точки В, взята вздовж траєкторії, являє собою пройдений шлях S. Вектором переміщення називають відрізок прямої, проведеної з початкового положення в кінцеве положення тіла (вектор). Якщо тіло перемістилося з точки С в точку В, то другим переміщенням буде вектор. Результуючим переміщенням буде вектор, який дорівнює сумі векторів та, оскільки, як видно з рис. 1, відрізок АВ є діагоналлю паралелограма, побудованого на відрізках АС та СВ.

Рис. 1

Вектор переміщення співпадає з ділянкою траєкторії лише прямолінійному русі. При криволінійній траєкторії шлях не співпадає з переміщенням. Але, якщо взяти достатньо мале переміщення, то з визначеною точністю можна замінити відрізок шляху S вектором переміщення. Таке мале переміщення називається елементарним переміщенням.

Шлях, пройдений тілом, являється функцією часу. При рівномірному русі швидкість тіла визначається просто як шлях, пройдений тілом за одиницю часу.

Для більш повної характеристики змінного руху вводять поняття миттєвої швидкості. Якщо за невеликий проміжок часу тіло проходить шлях, то швидкість дорівнюватиме:

(I)

Величина миттєвої швидкості (швидкість в даній точці шляху) рівна границі до якої наближається відношення приросту шляху до відповідного приросту часу при умові, що наближається до нуля.

(2)

В математиці ця границя називається похідною від шляху по часу і позначається так:

(3)

Формулу (3) можна записати і через нескінченно мале переміщення :

(4)

Вектор швидкості співпадає по напрямку з нескінченно малим переміщенням (тобто з дотичною до траєкторії) і чисельно рівний похідній від шляху до часу. В більшості випадків при русі швидкість змінюється і по величині і по напрямку. Для характеристики зміни швидкості вводиться поняття прискорення.

В випадку прямолінійного нерівномірного руху середнє прискорення за проміжок часу t дорівнює відношенню зміни швидкості до цього проміжку часу.

;; (5)

Прискорення, яке тіло має в даний момент (в даній точці шляху) дорівнює границі, до якої наближається права частина рівняння (5) при зменшенні проміжку часу t до нуля, тобто дорівнює похідній швидкості від часу.

(6)

Враховуючи, що швидкість дорівнює похідній шляху по часу, знаходимо, що прискорення дорівнює другій похідній шляху по часу:

(7)

Таким чином, якщо відомий шлях тіла як функція часу, то легко визначити його швидкість і прискорення в будь — який проміжок часу.

З курсу середньої школи відомі ще такі співвідношення кінематики (знайти їх інтегруванням):

;; 8)

де — швидкість тіла в момент часу t = 0; S — шлях пройдений тілом за t часу.

Динаміка матеріальної точки. Інерційні системи відліку

Як уже було сказано, кінематика вивчає рух тіл, не розглядаючи причини, що обумовили цей рух. Динаміка ж розглядає закони руху тіл і ті причини, які його викликають чи змінюють. Динаміка є основним розділом механіки, в її основі лежать закони Ньютона.

Перший закон Ньютона:

Всяка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху до тих пір, поки дія з боку других тіл не заставить його змінити цей стан.

Властивість тіл зберігати стан спокою та рівномірного прямолінійного руху при відсутності дії на нього інших тіл називається інерцією. Тому перший закон називають також законом інерції.

Для формулювання другого закону Ньютона необхідно ввести нові фізичні величини: маси, імпульсу і сили.

З першого закону Ньютона випливає, що будь — яке тіло чинить опір при намаганні привести його в рух чи змінити швидкість. Ця властивість називається інертністю. Надати одне і те ж прискорення великому каменю важче, ніж маленькому. Міра інертності тіла називається масою. Добуток маси тіла на його швидкість називається імпульсом тіла (кількістю руху).

Імпульс є вектор, який має напрямок швидкості. При взаємодії тіл (удар, тяга) виникає явище двоякого роду: змінюється швидкість (значить і імпульс) або виникає деформація (тобто змінюється форма і розмір). Фізична величина, яка є мірою механічної взаємодії тіл, називається силою. Силу можна виміряти по величині деформації пружини. Сила — величина векторна.

Другий закон Ньютона (основний закон динаміки).

Зміна імпульсу (матеріальної точки) пропорційна прикладеній рушійній силі і відбувається по напрямку тої прямої, по якій ця сила діє.

(9)

тобто

; (10)

(10) — рівняння руху матеріальної точки.

Якщо маса тіла стала, останнє рівняння запишеться так:

(11)

Із (9) маємо:

Третій закон Ньютона:

Сили, з якими діють одне на друге тіла, завжди рівні по модулю, протилежно напрямлені і діють вздовж прямої, що з'єднує центри мас цих тіл.

;

Інерціальною системою координат називають таку систему, в якій справедливий перший закон Ньютона (закон інерції). Відносно інерційних систем закони руху мають найбільш простий вигляд.

Галілей сформулював принцип, згідно якому в двох інерційних системах, що рухаються прямолінійно і рівномірно одна відносно другої, механічні процеси протікають однаково.

Для доведення розглядають дві інерційні системи відліку.

Рис. 2

Продиференціювавши вираз (12), одержимо:

(13)

Це закон складання швидкостей. Тобто швидкість тіл залежить від системи координат, вони відносні.

Знайдемо прискорення в нерухомій та рухомій системі координат, виходячи з перетворень Галілея.

;; (14)

тобто .

Співвідношення (14) є доказом принципу відносності Галілея: рівняння динаміки при переході від однієї інерційної системи до другої не змінюються.

Із рис. 3 видно, що

.

Значить, тобто віддаль між двома точками при переході від однієї системи до другої не змінюється (інваріантне).

А координати точок при переході від однієї системи до другої змінюються. Отже, є відносні величини, які залежать від вибору системи координат і які не залежать від вибору системи, названі інваріантними величинами.

Рис. 3

Теорія відносності і квантова механіка, а також сучасна теорія елементарних частинок неможлива без застосування понять абсолютного і відносного.

Під абсолютним розуміється те, що існує (має смисл — в цьому випадку мається на увазі поняття, а не об'єктивно — реальне) через самого себе, або саме по собі.

Під відносним розуміється те, що існує (або має смисл) через друге чи у відношенні до другого.

В сучасній фізиці значення абсолютного (без всякого метафізичного уявлення) належить поняттю інваріантного.

Під інваріантністю розуміють властивість незмінності відносно деякого класу змін фізичних умов.

В математичному смислі інваріантність означає незмінність відносно групи перетворень. Властивість інваріантності можуть мати різні величини і різні рівняння, які відображають закони природи.

Висновки

У криволінійному русі напрям швидкості завжди змінюється, тому тіло має нормальне прискорення напрямлене перпендикулярно до швидкості в даній точці, тобто вздовж радіуса кривизни траєкторії. Модуль швидкості або сталий, або змінюється. Якщо модуль швидкості змінюється, тіло має тангенціальне прискорення. Повне прискорення при криволінійному русі дорівнює векторній сумі нормального і тангенціального прискорення. Модуль і напрям повного прискорення залежить від форми криволінійної траєкторії.

Використовуючи закони Ньютона, можна розв’язати основну задачу механіки. Пряму задачу розв’яжуть у такому порядку:

1. Встановлюють, які сили діють на тіло, і знаходять їхню рівнодійну.

2. За рівнодійною силою і масою тіла обчислюють прискорення.

3. За рівнянням кінематики, знаючи початкові координати і початкову швидкість тіл, знаходять швидкість і координати його в будь — який момент часу.