Диференціальні рівняння вищих порядків

Диференціальні рівняння вищих порядків.

.

.

План Диференціальні рівняння вищих порядків.

Рівняння виду .

Рівняння виду .

Рівняння виду .

Задача про другу космічну швидкість.

12.7. Диференціальні рівняння вищих порядків.

Нехай задано диференціальне рівняння .

.

Загальний розв «язок рівняння .

.

де .

його називають загальним інтегралом.

Задамо початкові умови для рівняння (12.25): нехай при.

.

Для задачі (12.25)-(12.26) має місце теорема Коші існування та єдиності розв «язку: початкові значення визначають один і тільки один розв «язок, якщо при цих значеннях функція .

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь .

12.7.1. Рівняння виду .

Щоб знайти загальний інтеграл цього рівняння, необхідно .

.

де .

.

Продовжуючи аналогічно, отримаємо загальний розв «язок.

.

Приклад 1. При подачі деталей за допомогою транспортуючої стрічки диференціальне рівняння руху ведучого барабана має вигляд.

.

де .

Інтегруючи це рівняння двічі, будемо мати загальний розв «язок.

.

12.7.2. Рівняння виду .

.

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, одержимо.

.

.

.

що також не містить явно .

12.7.3. Рівняння виду .

.

і рівняння стає після заміни рівнянням першого порядку.

.

Загальний інтеграл рівняння має такий вигляд.

.

.

.

В рівнянні (12.27) взято знак мінус тому, що в задачі прискорення від «ємне. Диференціальне рівняння (12.27) належить до виду, що розглядався в п. 12.7.3. Будемо шукати розв «язок рівняння при таких початкових умовах:

.

.

.

Із умови, що на поверхні Землі при .

Тоді.

.

.

Отже, найменша швидкість буде визначатися рівністю.

.

Враховуючи, що .

.

.

_.

.