Методи обчислення визначеного інтеграла

Реферат на тему:

Методи обчислення визначеного інтеграла.

І. Навчальна мета: розширити поняття студентів про методи обчислення визначеного інтеграла.

II. Міжпредметна інтеграція: математика.

III. Зміст.

1. Опрацювати навчальний матеріал.

2. Дати відповідь на питання.

3. Опрацювати приклади.

IV. План.

1. Безпосереднє обчислення.

2. Метод заміни змінної(або метод підстановки).

3. Метод інтегрування частинами.

V. Контрольні питання.

1. Які методи обчислення визначеного інтеграла ви знаєте?

2. Сформулюйте правило обчислення визначеного інтеграла методом безпосереднього інтегрування.

3. Розкажіть про обчислення визначеного інтеграла методом замінни змінної(або методом підстановки).

4. Сформулюйте правило обчислення визначеного інтеграла методом інтегрування частинами.

VI. Література Дубовик В. П., Юрик 1.1. Вища математика: Навчальний посібник. -К.:А.С.К., 2001.-648с.

І.І. Литвин, О. М. Конончук, Г. О. Желізняк, Вища математика.

Навчальний посібник — Львів, 2002. — 272 с.

Безпосереднє інтегрування Для обчислення визначеного інтеграла при умові існування первісної користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

З цієї формули видно порядок обчислення визначеного інтегралу:

1. знайти невизначений інтеграл від даної функції;

2. в отриману первісну підставити на місце аргументу спочатку верхню, а потім нижню межу інтеграла;

3. знайти приріст первісної, тобто обчислити інтеграл.

Приклади:

1. Обчислити інтеграл:

о Використавши вказане правило, обчислимо даний визначений інтеграл:

2. Обчислити інтеграл:

о Використаємо означення степеня з дробовим і від «ємним показником та обчислимо визначений інтеграл:

3. Обчислити інтеграл:

о Інтеграл від різниці функції замінимо різницею інтегралів від кожної функції.

Метод заміни При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, широко користуються методом заміни змінної (або методом підстановки).

Теорема 1. Нехай виконуються умови:

1) функція f (x) неперервна на відрізку [а;b];

];

(t).

Тоді справджується рівність.

(1).

]. Застосувавши формулу Ньютона — Лейбніца, маємо.

Формула (1) називається формулою заміни змінної(або підстановки) у визначеному інтегралі.

(t).

які задовільняють умови теореми 1 в цьому випадку можна взяти будь-яку з таких пар.

J.

L.

R.

x.

z.

x20AC.

i.

i.

o.

p.

r.

x.

J.

z.

i.

r.

jx02C6.

змінна x (t) має змінюватися від, а до b.

Найзручніше виконувати заміну монотонно диференційовними функціями. Такі функції гарантують однозначність як прямої, так і оберненої функції.

Приклади.

тощо.).

Далі маємо.

2. Обчислити інтеграл.

на цьому відрізку.

Маємо.

.

sin xdx.

о Нехай cos x = t, — sin x dx = dt, sin x dx = -dt. Визначимо границі інтегрування для змінної t:

Виразимо підінтегральний вираз через t i dt, та перейдемо до нових границь, отримаємо:

5. Довести, що.

коли f (x) — парна функція;

коли f (x) — непарна функція.

o Маємо.

У першому інтегралі виконаємо підстановку х = - t:

Далі дістаємо.

Знайдені формули дуже корисні. Можна, наприклад, зразу, не виконуючи обчислень, сказати, що.

Метод інтегрування частинами.

мається на відрізку [а;b] мають неперервні похідні, то справедлива формула.

(2).

o Оскільки функція uv є первісною функції (uv) «-u «v + uv », то за формулою Ньютона-Лейбніца дістанемо.

.

Формула (2) називається формулою інтегрування частинами визначеного інтеграла.

Всі зауваження відносно формули інтегрування частинами невизначеного інтеграла переносяться і на формулу (2).

Приклади:

Обчислити інтеграли:

звідки.

Дістали рекурентну формулу, за якою інтеграл In послідовно зводиться до інтеграла.

або до інтеграла.

Методом індукції можна довести, що.

Запитання:

1. Яка сума називається інтегральною?

2. Що називається визначеним інтегралом?

3. За яких умов функція є інтегральною?

4. Формула Ньютона — Лейбніца?

5. Властивості визначеного інтеграла?

6. Алгоритм заміни змінної у визначеному інтегралі?