Типовой розрахунок по теоретичної механике

Завдання Д-1 Дано: [pic].

Найти: [pic] і рівняння траєкторії дільниці BC.

Решение: 1. Розглянемо рух тіла прийнятого за матеріальну точку на участке.

AB [pic].

Покажемо сили які діють тіло: [pic]- гравітація, [pic]- нормальна реакція поверхні, [pic]- сила трения.

Знаємо: [pic].

У проекціях на осі [pic] і [pic] имеем:

[pic].

Оскільки тіло рухається вздовж осі [pic], то проекції переміщення швидкості і прискорення на вісь [pic] рівні 0, тоді рівняння [pic] приймає вид:

[pic], звідки [pic].

Знаємо: [pic].

В Україні: [pic].

Врахуємо [pic] в рівняння [pic].

[pic] или.

[pic], де [pic]- стала величина.

Інтегруємо рівняння [pic].

[pic] или.

[pic] тобто. [pic].

[pic].

Для визначення постійних інтегрування [pic] і [pic] запишемо початкові умови руху тіла дільниці AB. При [pic] вагітною, А маємо: [pic].

Підставимо початкові умови в рівняння [pic] і [pic] получим:

[pic], звідки [pic].

[pic], звідки [pic].

Запишемо рівняння [pic] і [pic] з урахуванням постійних интегрирования.

[pic] і [pic].

[pic].

У положенні B, при [pic] имеем:

[pic].

[pic].

Запишемо рівняння [pic] при [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic] 2. Розглянемо рух тіла дільниці BC [pic], T — час руху тіла від B до C.

Знаємо: [pic].

У проекціях на осі имеем:

[pic].

[pic] или.

[pic], тобто. [pic].

[pic] чи [pic] чи [pic], тобто. [pic].

Для визначення постійних інтегрування [pic] запишемо початкові умови руху дільниці BC.

При [pic] вагітною B:

[pic].

[pic].

Підставимо ці початкові умови в рівняння [pic]:

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

Запишемо рівняння [pic] з урахуванням знайдених постійних интегрирования:

[pic].

У положенні З при [pic]:

[pic].

[pic].

З [pic] висловлюємо t:

[pic].

Підставимо в [pic]:

[pic].

[pic] Відповідь: [pic].

[pic].