Послідовності та їхні границі
Тут загальний член послідовності {xn} заданий формулою xn = n2. Означення. Послідовністю називається множина чисел {xn} =. То послідовності {xn ± yn}, {xn (yn} також є збіжними, причому. Це послідовність вигляду {xn (yn}. Згідно з теоремою. X1, x2,…, xn,…, яка підпорядковується певному закону. Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; -½; ¼; -1/8;.. Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; ½; ¼… Читати ще >
Послідовності та їхні границі (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат на тему:
Послідовності та їхні границі.
Означення. Послідовністю називається множина чисел {xn} =.
= x1, x2,…, xn,…, яка підпорядковується певному закону.
Числова послідовість може бути як скінченною, так і нескінченною.
Приклади послідовностей.
1. {xn} = 0, 1, 4, 9, 16, …
Тут загальний член послідовності {xn} заданий формулою xn = n2.
xn — n-е за порядком просте число, тобто.
x1=1; x2=2; x3=3; x4=5; x5=7; x6=11;…
Означення. Число A називається границею послідовності {xn}, якщо для довільного числа (>0 знайдеться такий номер N, починаючи з якого всі члени послідовності потрапляють у (-окіл числа A .
.
За допомогою кванторів x2203 («існує») та x2200 («для всіх») останнє означення можна записати так:
x2261 (x2200(>0)(x2203N)(x2200n)[n>N (|A-xn| < (].
. Її границею є число 10. Зокрема, для (=0,1 номер N дорівнюватиме 10, оскільки.
|A-x11|=|10−10−1/11|<0,1=(; |A-x12|=|10−10−1/12|<0,1=(;.. .
Для (=0,02 таким номером буде N=50 і так далі.
Послідовність xn=n2 границі не має. Не має границі також послідовність 1,1; 2,1; 1,01;2,01;1,001;…
Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, границею якої є число нуль, називається нескінченнно малою.
., тобто xn — нескінченно мала послідовність.
Наведена нижче теорема описує властивості границь послідовностей.
то послідовності {xn ± yn}, {xn (yn} також є збіжними, причому.
.
.
Приклади.
.
Це послідовність вигляду {xn (yn}. Згідно з теоремою.
.
.
X.
A.
>
x0161.
Z.
j.
l.
|.
~.
x017D.
c.
¤.
x00B2.
x00B4.
A.
O.
ae.
ae.
;
>
n.
p.
'.
".
-.
x0161.
E.
E.
e.
e.
j.
j.
jI.
x0324xFD6Ax2C89x0A3Dx0108×6816x7B1Dcx0855×5601×0108×486Dx0400×486Ex0400×4873Тx0875×2001ій як послідовність {xn}={n+5}, так і послідовність {yn}={4n} не є збіжними. Для того, щоб застосувати попередню теорему, потрібно спершу виконати штучний прийом: поділити як чисельник, так і знаменник на n .
.
.
.
Розглянемо дві числові послідовності спеціального вигляду.
Приклад. Задано арифметичну прогресію:
{an} = a1, a1+d, a2+d, a1+3d,…
.
Наприклад, для прогресії {xn} =2; 12; 32; 42;.. .
an = 2+10(n-1) = 10n-8.
Очевидно, що будь-яка арифметична прогресія є розбіжною послідовністю.
Приклад. Задано геометричну прогресію.
b1; b1q; b1q2; b1q3;.. .
. (3.1).
зокрема, S2=3/2.
При |q| < 1 послідовність b1; b1q; b1q2; b1q3; … є нескінченно малою. Така послідовність називається нескінченою геометричною прогресією.
Сума всіх членів нескінченної (нескінченно спадної) геометричної прогресії.
(3.2).
Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; ½; ¼; 1/8;.. .
.
Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; -½; ¼; -1/8;.. .
(тут q = - ½).