Абсолютно неперервні випадкові величини

Реферат на тему:

Абсолютно неперервні випадкові величини.

Функція розподілу випадкової величини (- це ймовірність F (x)=P{(.

(-(, +(); в) F (-()=0, F (+()=1.

Для кожної функції F (x), яка має ці властивості можна побудувати ймовірний простір ((, (, Р) і випадкову величину ((() на ньому, яка має функцію розподілу F (x).

.

= F (b) — F (a) (a.

Рівномірний розподіл. Випадкова величина (має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо щільність розподілу (дорівнює.

Нормальний розподіл N (a, (2). Випадкова величина має нормальний N (a, (2) розподіл, якщо щільність розподілу (дорівнює.

Показниковий розподіл. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром (, якщо щільність розподілу (дорівнює.

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань..

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань..

Функція розподілу випадкового вектора ((1,…, (n) — це ймовірність.

F (x1,…, xn)=P{(1 < x1…, (n < xn}..

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини (1,…, (n незалежні, якщо.

P{(1< x1,…, (n< xn}= P{(1< x1}… P{(n< xn}..

n незалежні тоді і тільки тоді, коли.

хn)..

Щільність розподілу випадкового вектора. Якщо функцію розподілу F (x1,…, xn) вектора ((1,…, (n) можна подати у вигляді.

то кажуть, що випадковий вектор ((1,…, (n) має щільність розподілу р (x1,…, xn). Щільність розподілу р (x1,…, xn) випадкового вектора ((1,…, (n) є невід «ємна функція і.

..

Знаючи щільність розподілу випадкового вектора, можна знайти щільність розподілу кожної його компоненти.

..

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай.

((() — випадкова величина на ймовірному просторі ((,(, Р)..

Випадкова величина ((() має математичне сподівання, якщо існує інтеграл.

,.

де р (х) — щільність розподілу ((()..

, то.

..

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань..

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань..

Дисперсія випадкової величини..

..

Випадковий вектор ((1,…, (n) має нормальний розподіл, якщо його щільність розподілу дорівнює.

i ,.

— визначник, який складений з елементів матриці коваріацій,.

..

Задача 1. В книзі Г. Крамера дана функція розподілу рівних доходів осіб, які обкладаються податком:.

Визначити розмір річного доходу, який для випадково вибраного платника податку може бути перевершеним з ймовірністю 0,5..

Розв’язування. Р{((x}= 0,5, за умовою задачі..

Р{((x}=1 — Р{(< x}=1−1+ (х0 (х)(= 0,5 ((х0 (х)(= 1(2, х0 (х=(½)1/(,.

х0 = (½)1/(х, х=2(х0.

Задача 2. Нехай (- випадкова величина з неперервною функцією розподілу F (x) і (= F ((). Обчислити функцію розподілу (..

Отже, (має рівномір-ний розподіл на [0,1)..

Задача 3. Нехай ((рівномірно розподілена на [0, 1] випадкова величина. Знайти функцію розподілу випадкової величини (= 1((ln (1-(). (Відповідь: показниковий розподіл з параметром ()..

..

Задача 5. Випадкова величина (має нормальний розподіл N (0,(2). При якому (ймовірність попадання в інтервал (а, b) буде максимальною?.

..

)..

Задача 7. Нехай ((випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром (. Знайти розподіл випадкової величини (= [(]. Обчислити М (..

(Відповідь.Геометричний розподіл з параметром р=1- е-()..

..

Задача 9. Нехай ((випадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку [-a, a]. Обчислити: а) М (; б) D (; в) Р{ |(| > a/2 }.

Задача 10. Щільність випадкової величини (має вигляд р (х)=Ае-х при х (0 й р (х)=0 при х<0. Знайти коефіцієнт А. Обчислити дисперсію (..

, а та ((додатні постійні. Знайти математичне сподівання та дисперсію (. (М (= 0; D (= а2(2).

..

Задача13. Нехай випадкова величина (задана наступним чином:..

Знайти а) коефіцієнт, А й функцію розподілу; б) математичне сподівання та дисперсію (. (А=½, F (x)=½ (sin x -1) при -(/2.

.Знайти математичне сподівання та дисперсію (..

(закон Коші).

а) коефіцієнт, А та функцію розподілу (; б) знайти ймовірність нерівності.

-1(х (1, в) яке математичне сподівання, цього розподілу?.

; Р (-1(((1(=½; математичного сподівання не існує)..

)..

зрізано значенням х=b, а значення менше b відкинуті. Знайти математичне сподівання та дисперсію цього розподілу..

(відповідь: Щільність зрізаного розподілу.

) має нормальний розподіл.

)..

) на площині, якщо його щільність.

,.

..

Зробимо заміну змінних.

v.

..

..

має.

). (Скористатись формулою.

,.

, і=1,2.)..

) з невід'ємними компонентами має функцію розподілу.

..

)..

. Розлянути випадки парного та непарного n..

..

..

x=a.

b.

b.