Електронний варіант методичного посібника з теорії рядів для студентів математичних спеціальностей університетів

ЗМІСТ Вступ Розділ 1: Електронні підручники як засіб впровадження інформаційних технологій у навчальний процес

§ 1. Поняття про електронний підручник. Вимоги до нього

§ 2. Технологія створення електронного підручника

§ 3. Характеристика та етапи створення електронного підручника Розділ 2: Ряди

§ 1. Деяка допоміжна інформація

§ 2. Практичне заняття № 1

§ 3. Практичне заняття № 2

§ 4. Практичне заняття № 3

§ 5. Практичне заняття № 4

§ 6. Практичне заняття № 5

§ 7. Практичне заняття № 6

§ 8. Практичне заняття № 7

§ 9. Практичне заняття № 8

§ 10. Практичне заняття № 9

§ 11. Практичне заняття № 10

§ 12. Практичне заняття № 11

§ 13. Практичне заняття № 12

§ 14. Практичне заняття № 13

§ 15. Практичне заняття № 14

§ 16. Практичне заняття № 15

§ 17.Практичне заняття № 16

§ 18. Практичне заняття № 17

§ 19. Практичне заняття № 18

§ 20. Практичне заняття № 19

§ 21. Практичне заняття № 20

§ 22. Практичне заняття № 21

§ 23. Зразки задач, які потрібно вміти розв’язувати для успішного складання модуля на тему: «Числові ряди»

§ 24. Зразки задач, які потрібно вміти розв’язувати для успішного складання модуля на тему: «Функціональні ряди»

Висновки Список використаної літератури

ВСТУП У дипломній роботі розглянуто один із засобів підвищення ефективності навчального процесу — створення і використання на практиці електронного підручника. Проаналізувавши багато програмних продуктів та технологій, ми створили власний гіпермедіапідручник із розділу математичного аналізу «Ряди».

Як відомо, математичний аналіз, на відміну від елементарної математики, вивчає динамічні процеси і нескінченні множини. Один із розділів цієї дисципліни розглядає суми нескінченної кількості доданків. Саме цьому розділу присвячена наша дипломна робота, в основу якої покладено зміст практичних занять, які проводив один із її наукових керівників.

Робота складається з деякої допоміжної інформації, двадцять одного практичного заняття та зразків задач, які треба вміти розв’язувати для успішного складання модуля з теорії числових і функціональних рядів. Спочатку ми висвітлюємо деякі поняття і факти, які необхідні для наступного розв’язування задач. Потім подаємо розробки практичних занять, кожне із яких має таку структуру:

1) контрольні запитання, які дають можливість студенту перевірити свій рівень засвоєння теоретичного матеріалу з даної теми;

2) приклади розв’язування найтиповіших задач, в тому числі далеко не тривіальних;

3) задачі для розв’язування в аудиторії;

4) задачі для домашнього розв’язування;

5) задачі підвищеної складності, що дають можливість поглибленого вивчення теми.

Перше практичне заняття присвячене обчисленню сум рядів, необхідній умові збіжності ряду, гармонійному ряду та геометричній прогресії. Потім ми вивчаємо знакододатні ряди, використовуючи для їх дослідження ознаки порівняння, Даламбера, Коші, Раабе, Гауса. Що стосується знакозмінних рядів, то тут ми розглядаємо ознаки Абеля-Діріхле збіжності таких рядів, які дозволяють розв’язувати багато складних задач, які важко розв’язувати за допомогою критерію Коші. Для дослідження функціональних рядів застосовуємо ознаку Вейєрштрасса, а також ознаки Абеля-Діріхле рівномірної збіжності, які часто ефективні там, де не допомагає ознака Вейєрштрасса. Закінчується ця частина роботи степеневими рядами і основними розкладами функцій у степеневі ряди.

Використання у навчальному процесі електронних засобів дає студенту можливість переходити по сторінках вперед і назад, проглядати теорію чи практику з початку або з кінця параграфа чи розділу, у будь-який момент зупинити вивчення теми, відшукати необхідне питання за змістом.

При створенні посібника нами були використані елементи технології гіпермедіа, які дозволяють пов’язати гіпертекстові посилання з елементами тексту інших сторінок. Застосування таких технологій суттєво удосконалює навчальний процес.

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕКТРОННІ ПІДРУЧНИКИ ЯК ЗАСІБ ВПРОВАДЖЕННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ У НАВЧАЛЬНИЙ ПРОЦЕС

§ 1. Поняття про електронний підручник. Вимоги до нього У даний час у нашій країні йде інтенсивне впровадження комп’ютерної техніки, сучасних інформаційних технологій в усі сфери людської діяльності, у тому числі й в освіту. Відбувається процес розробки методики застосування сучасних інформаційних технологій в різноманітних видах навчальної діяльності загальноосвітньої й вищої професійної школи.

У зв’язку з тим, що термінологія комп’ютерно-орієнтованих засобів навчання перебуває на етапі становлення, то єдиного визначення термінів «електронний посібник», «електронний підручник» не існує. Ми використовували вказані у [3], означення цих термінів.

Отже, під електронним підручником будемо розуміти програмний засіб, що містить відомості з навчального предмету в обсязі, достатньому для підготовки учня з усього навчального курсу, і методичні вказівки, що визначають послідовність навчання.

Електронний підручник повинен містити не лише фактичний матеріал з навчального предмету, але й методичні вказівки, що регулюють пізнавальну діяльність учнів. У випадку, якщо учень буде чітко й сумлінно додержуватися цих вказівок, це сприятиме формуванню необхідних знань. Електронний підручник повинен поєднувати різні способи роботи із курсом, що полягає в чергуванні вивчення теорії, розв’язуванні прикладів, опрацюванні методів та вдосконаленні навичок розв’язання типових завдань, проведенні самостійних досліджень і формуванні мотивів подальшої пізнавальної діяльності.

Електронний підручник повинний визначати зміст і послідовність навчання, координувати дії учасників навчального процесу, бути основою самоосвіти.

Проаналізувавши вітчизняні та деякі закордонні програмні продукти навчального призначення з’ясувалося, що більшість фірмових програмних засобів, в особливості мультимедійних, розроблені людьми, які або взагалі не мають педагогічної освіти, або давно не працювали в школі. Більшість програмних продуктів, які в широкому асортименті з’явилися на нашому комп’ютерному ринку, російськомовні, пристосовані до російських шкільних програм, а також орієнтовані на самостійну роботу учнів та студентів удома. При роботі з такими підручниками вся технологія навчання полягає в тому, що учні та студенти мають «пройти й здати» матеріал, але скористатися для цього комп’ютером. У результаті формується методика репродуктивного комп’ютерного навчання, яка має ті ж недоліки, що і традиційні методики.

Слід зазначити, що ми далекі від протиставлення роботи з комп’ютерними програмами роботі зі звичайними «паперовими» підручниками і тим більше заміни ними учителя чи викладача. На нашу думку, ефективною є періодична зміна цих форм діяльності. Але повне нехтування тими можливостями та перевагами, які надають електронні підручники у порівнянні з їхніми друкованими аналогами в наш час уже недоцільне й неможливе. До основних переваг електронного підручника належать:

· широке використання дидактичних можливостей графіки та звуку;

· можливість забезпечити навчальний матеріал динамічними малюнками;

· можливість швидко та ефективно тестувати або в інший спосіб перевіряти знання учнів;

· можливість створення гіпертекстових посилань, що полегшує пошук необхідної інформації за ключовими словами, виділеними в тексті;

· можливість реалізації інтенсивних методів та форм навчання, організації самостійної роботи учнів та розвитку їхньої пізнавальної самостійності, підвищення якості засвоєння матеріалу завдяки підсиленню мотиваційно-орієнтувального, операційного, контрольно-оцінюючого аспектів навчання.

Немає сумнівів, що електронні підручники мають широкі перспективи використання як у традиційному навчальному процесі, так і в системі дистанційного навчання. Саме вони зможуть забезпечити інтерактивність навчання.

Електронні навчальні матеріали можуть суттєво відрізнятися стосовно добору засобів для подання змісту підручника, проте їх найчастіше створюють в форматі HTML, адже у цьому форматі вони мають малий обсяг, тому не потребують потужних каналів зв’язку для їх передавання до студента. Крім того, вони можуть бути прийняті за допомогою стандартного Інтернет-браузера. У наступному параграфі буде розглянуто деякі головні можливості й особливості подання документів у форматі HTML.

§ 2. Технологія створення електронного підручника Особливості мови HTML

Поняття про мову розмітки гіпертексту Основою всесвітнього «павутиння» World Wide Web є мова гіпертекстової розмiтки HTML (Hyper Text Markup Laпguage). Вона була створена вченими Європейського центру ядерних досліджень (CERN, м. Женева). HTML — набiр угод для розмiтки документiв, що визначають зовнішній вигляд документiв на eкpaнi комп’ютера при доступі до них із використанням програми браузера. Документи, підготовлені мовою HTML, називаються НТМL-документами. НТМL-документ (або Web-сторінка) — це звичайний текстовий файл із розширенням htm або html, складений мовою HTML, який містить інформацію для публікації в World Wide Web. Код HTML дуже компактний, i НТМL-документи мають значно менший обсяг, ніж документи, підготовлені в текстових процесорах типу Word. Це одна з основних причин широкого застосування мови HTML для кодування інформації, що розповсюджується через мережу Інтернет.

Програми для створення НТМL-файлiв Документ, складений за допомогою мови розмiтки HTML, є текстовим файлом. Такий файл можна створити в звичайному текстовому редакторі, наприклад, у програмах Блокнот чи WordPad, що входять до складу ОС Windows. Однак нині існують більш зручні та розвинутi програми підготовки НТМL-документiв. Їх умовно можна поділити на візуальні редактори HTML i редактори HTML-текстів.

Працюючи у візуальному НТМL-редакторi, користувач має справу з графічними образами елементів HTML, а не з кодом документа. Biн може шляхом перетягування мишею i простими операціями в інтерфейсі розміщати на сторінці необхідні елементи. Завдяки цьому навіть користувачеві, що не знає мови HTML, під силу створювати прості Web-сторінки. До візуальних редакторів HTML належать програми Microsoft FrontPage, Macromedia Dreamveawer, Netscape Navigator Gold та iн.

Редактори власне НТМL-текстiв, серед яких найбiльш вiдомi HomeSite i HotDog, мають основні можливості текстових редакторiв (використання буфера обміну, засобів пошуку слів тощо). Але, на відміну від звичайних редакторів тексту, ці додатки надають у розпорядження розроблювача візуальне середовище програмування (типу Visual Basic або Delphi) i дозволяють автоматизувати створення НТМL-коду. Редактори HTML-текстiв дають можливiсть користувачевi швидко i легко вставляти в документ елементи HTML, перевiряти синтаксис команд, виконувати запуск і налагодження сторінки, не залишаючи вікнa редактора.

При cтвореннi сайту користувач звичайно сам визначає, працювати йому в візуальному чи в НТМL-редакторi, вручну складаючи НТМL-код. Але при цьому потрібно врахувати, що ефективно керувати НТМL-документами i вирішувати питання Web-дизайну можна тільки використовуючи мову розмiтки.

Розглянемо основи НТМL-кодування.

Теги i структура HTML-документа Щоб виконати розмітку документа за допомогою HTML потрібно його розбити на елементи: заголовки, абзаци, малюнки, таблиці. Для кожного елементу задати команду мови HTML, яка називається тегом (або дескриптором). Ця команда містить інформацію про те, який вигляд повинен мати даний елемент на Web-сторiнцi, якi зв’язки він має з іншими елементами або документами.

У мові HTML є багато тeгів, серед яких — теги створення заголовка документа, задання параметрів шрифту, креслення ліній, вставки гiперпосилань, вставки графічних елементів. Тож Web-сторінка, окрім тексту i посилань, може містити графіку, звуки, відео.

Тег (у перекладі tag — покажчик, мітка) — це фрагмент коду, що описує певні елементи документа HTML і вміщений у кутові дужки < >.

Найпростішим тегом є, наприклад, тег з ім'ям HTML. Тег визначає початок НТМL-документа. Початковому тегу відповідає кінцевий тег

із тим самим ім'ям, але з косою рискою «/». Отже, початок i кінець НТМL-документа позначаються парою тегів: ….

НТМL-документ умовно можна розбити на три частини:

1) службова інформація для браузера, що вміщена у рядок з тегом < ! DOCTYPE>;

2) заголовок документа, який містить назву документа, а також службову інформацію для cepверів, описи невеликих програм-сценарiїв. Ця частина документа знаходиться між тегами і

;

3) тіло документа, що обмежене тегами

…(iнодi замість тегів можуть використовуватися теги фреймової структури

задає для всього тексту червоний колiр.

Koлip фону всього НТМL-документа визначається атрибутом bgcolor тегу <�ВОDY>. Наприклад, тег <�ВОDY bgcolor="olive" > призначає оливковий колiр для фону Web-сторiнки.

Створення спискiв Мова HTML надає спецiальнi елементи, що дозволяють подавати текстову iнформацiю у виглядi подiбних спискiв.

Як відомо виділяють марковані (неупорядковані) i нумеровані (упорядковані) списки, причому код списку є структурою iз вкладених елементiв. Зовнiшнiм елементом є пари тегів:

1)

...

... < /UL> - для маркованого списку;
.. .
— для нумерованого списку.

У серединi цих тегів містяться елементи списку, якi записуються за допомогою одиночних тегів: Bміст рядка списку.

Отже, кiлькiсть елементiв LІ дорiвнює кiлькостi рядкiв у списку. Iменa наведених вище тегів є скороченнями слiв: UL (Unordered List) — неупорядкований список, тобто список без номерів; OL (Ordered List) — упорядкований список, LI (List Item) — елемент списку.

Iнодi на початку списку розташовують заголовок, що видiляється парним тегом. Ім'я цього тегу LH — скорочення вiд List Header (заголовок списку).

Гiперпосилання i графіка на Web-сторінках Створення гіперпосилань Гiперпосилання або просто посилання є найпопулярнiшим елементом Web-сторінок. За їx допомогою користувач може переходити до рiзних частин поточної сторiнки, звертатися до iнших cторінок або Web-вузлiв.

Посилання створюють у такий спосiб: на вихiднiй Web-сторiнцi визначають вiдправну точка посилання, наприклад, підкреслене слово або малюнок, а на цiльовiй задають точку призначення посилання, що вiдповiдає як конкретному НТМL-елементу (тексту, малюнку, аудiоабо вiдеоклiпу), так i документу в цілому.

Відправну точку посилання задають тегом <�А>. Iм’я цього тегу походить вiд першої лiтери слова anchor — якiр. Сам елемент, А називається елементом прив’язки або якiрним елементом. Усередині тегу <�А> ставиться обов’язковий атрибут href, за допомогою якого визначається точка призначення посилання (цiльовий ресурс). Мiж тегами <�А> i </А> розмiщують текст посилання або елемент малюнка. Найпростiше посилання може виглядати так: <�А 'href="rest.html" >ознака Даламбера</А>. На Web-сторiнцi це посилання вiдображатиметься у виглядi тексту «ознака Даламбера».При клацаннi мишею на цьому посиланні буде завантажуватись НТМL-файл rest.html.

В атрибутi href зазначене лише ім'я файла, що вiдповiдає відносному посиланню на файл, який розмiщений у тій самій папці, що й вихідний документ. Якщо потрiбно створити посилання на ресурс, розмiщений у World Wide Web, то в атрибутi href указується URL цього ресурсу, наприклад, <�А href="http://www.samsung.com" > Продукцiя фiрми Samsung </А>.

Види гіперпосилань Мова HTML підтримує внутрiшнi i зовнiшнi гiперпосилання. Якщо посилання здійснює перехід у межах того самого документа, то його називають внутрiшнiм. Taкi посилання звичайно застосовують у великих документах для переміщення по розділах. Якщо посилання забезпечує перехід до іншого документа, розташованого на іншому Web-вузлі, то це зовнішнє посилання.

Вказівник URL ресурсу може бути абсолютним i відносним. Абсолютний URL містить yci компоненти, необхiднi для того, щоб браузер зміг знайти Web-сторінку у WWW. Але якщо посилання вказує на ресурс, що міститься на тому самому вузлі, що i вихідний документ, зручніше користуватися скороченим записом URL, у якому вказується тільки папка i файл. Такий запис адреси називається відносним URL. Прикладом відносного URL є значення атрибута href="rest.html".

Створення внутрішнього посилання Отже, для переходів з однієї частини документа до іншої застосовують внутрiшнi посилання. Цей вид посилань доцільно використовувати, коли вci частини великого документа не відображаються цілком у вікнi браузера. Внутрішнє посилання, як i зовнішнє, задають за допомогою елемента тегу <�А> з атрибутом href. Але, на вiдмiну вiд зовнішнього посилання, у значенні атрибута href вказується не URL, а ім'я мітки (мітка позначається знаком #). Наприклад, такий тег

<�А hrеf="#розділ1 «> Елементи HTML </А>

задає посилання на елемент документа, позначеного міткою «розділ1». Саме посилання має вигляд виділеного тексту «Елементи HTML». Мітку створюють за допомогою якоря <�А>, однак у ньому замість атрибута href використовується атрибут name.

Зробимо кілька зауважень iз приводу оформлення посилань. По-перше, текст посилання не повинен бути довгим, щоб не утруднювати вибір потрібного посилання при швидкому перегляді документа користувачем. По-друге, текст посилання повинен відображати змicт об'єкта, на який вказує посилання. Не слід, наприклад, використовувати для посилань малоінформативні фрази типу «Клацніть тут» чи «Клацни i побачиш».

Вставка зображення Вставка зображення на Web-сторінку виконується тегом . Усередині цього тегу обов’язково записується атрибут src, що містить URL зображення. Назва цього атрибута походить вiд слова source — джерело.

Наприклад, якщо потрібно розмicтити на сторiнцi картинку з файла Max. jpg. Для цього необхідно зберегти файл iз зображенням у певній папці (наприклад, у тій самій папці, що i НТМL-документ), а у документ ввести тег .

За замовчуванням браузер використовуватиме реальні розміри зображення, яке зберігається в графічному файлі. Якщо потрібно змінити ці розміри, застосовують атрибути width (ширина) i height (висота). Значення розмірів зображення задаються звичайно у пiкселах, наприклад, width="133″ height="33″.

Можна також задавати ширину i висоту у відсотках розмірів зовнішнього елемента (сторiнки). Наприклад, зображення, що задається тегом , займе по ширині 30% сторінки, а висота буде розрахована браузером із зберіганням пропорцій.

Користувач бажає скласти уявлення про зміст сторiнки, коли вона тiльки почала завантажуватися. Тоді він зможе вирішити, чи варто чекати повного завантаження сторiнки. У цьому йому допоможуть написи на мiсцi малюнків, що не завантажилися. Їх задають атрибутами alt. Наприклад, така інструкція замість малюнка, що не завантажився, виведе рамку iз межами малюнка i помістить у неї текст «…».

Зображення-посилання Гiперпосилання на Web-сторінках можна подавати не тiльки як виділений текст, а й у виглядi малюнка. Клацання мишею по такому малюнку призводить до завантаження нового HTML-документа або переходу в межах поточного документа.

Для створення зображення-посилання встановлюють у потрібному мiсцi документа тег <�А> i вкладають до нього елемент IMG. Наприклад, якщо у документі розмістити елемент <�А href=''http://www.rambler.соm" > </А>, то можна буде клацанням по малюнку з файла Logo. jpg завантажувати пошукову систему Рамблер.

Щодо компонування й обсягу Web-сторiнок, то така сторінка повинна займати щонайменше половину робочої ділянки вікна браузера. Оптимальним спiввiдношенням є, коли під змicтову частину видiляється приблизно 80% простору сторiнки, а під елементи навiгацiї (списки, меню, кнопки) — 20%.

Розмір НТМL-файлiв не повинен перевищувати 20−30 Кб, а оптимальним розміром файлів зображень є декілька кілобайти. Якщо зображення не поміщається у файл такого розміру, потрібно виконати обробку зображення, щоб підсумковий обсяг у форматi GIF або JPEG не перевищував одного-двох десяткiв Кб.

Якщо обсяг сторiнки великий, потрібно забезпечити швидке початкове завантаження, при якому на eкpaнi найперше з’являться данi, що відображають зміст сторінки. Taкi данi найкраще розмістити у верхній частині сторінки.

У верхній частині сторінки повинна розташовуватися зведена інформація з питань, яким присвячена дана сторінка. Потрібно врахувати, що при швидкому знайомстві з матеріалом вiдвiдувачi читають тільки перші речення в кожному абзацi. Тому початок абзацу має адекватно відбивати його наступний зміст.

Робота з таблицями Таблиці у Web-документах застосовуються не тiльки для розміщення табличних даних, а й для вставки зображень i посилань, для раціонального компонування Web-сторінок.

Елементи таблиці

Таблиці будуються за принципом вкладення i вводяться на Web-сторінку за допомогою ряду елементів. Кожна таблиця починається тегом

i закінчується тегом. Створювана таблиця ніби розгортається по рядках, а рядки заповнюються комірками. При цьому всередину тегів …можуть вставлятися такі елементи:

TR — елемент створення рядка;

TD — елемент, що визначає вміст комірки даних;

TH — елемент, що визначає комірку заголовка.

Наприклад, для створення таблицi 3×2 використовується такий шаблон:

.. .	.. .
.. .	.. .
.. .	.. .

,

де крапками позначений вміст кожної комiрки. Усерединi тегів першого рядка

замiсть елементів TD можуть розміщуватися заголовки кожного стовпця — елементи ТН.

§ 3. Характеристика та етапи створення електронного підручника Проаналізувавши декілька програмних продуктів та технологій, їх використання у навчальному процесі, я і мої наукові керівники створили власний електронний гіпермедіа підручник із математичного аналізу навчального призначення по темі «Ряди».

При створенні посібника нами були використані елементи технології гіпермедіа, які дозволили пов’язати гіпертекстовими посиланнями елементи тексту інших сторінок. Застосування таких технологій дає змогу активізувати навчально-пізнавальну діяльність студентів.

Інформаційний блок нашого програмного продукту містить теоретичний матеріал та практичні заняття, розроблені у відповідності з чинними програмою та підручниками з математичного аналізу, що передбачає засвоєння навчального матеріалу на рівні вимог стандарту. Також у підручнику містяться задачі і запитання для модульної перевірки.

На початковому етапі роботи створила електронні версії практичних занять та задач і питань для модульної перевірки в текстовому редакторі Microsoft Word 2003. При цьому використовувала інструментальні засоби створення малюнків, формульний редактор, можливості вставки зображень. Маючи Web-версію курсу, особливу увагу приділяла структуруванню матеріалуза розділами, підрозділами, складанню змістів розділів. Кожна мінімальна логічна частина (підрозділ) є окремим файлом, а всі створені файли розмістила в одному каталозі, який має підкаталоги. При структуруванні посібника було враховано, що розмір кожного файлу повинен бути таким, щоб при його відображенні в Web-браузері він не займав більше 3−4 екранів.

В принципі, робота з текстом матеріалу на розглянутому (підготовчому) етапі на цьому завершилася. Проте, я зробила ще одну операцію — перетворення тексту в HTMLформат. Для цього в меню «Файл» вибрала режим «Зберегти як веб-сторінку», в результаті чого був створений файл *.htm, де * - ім'я doc-файлу. Отримані файли я далі редагувала для доробки електронного посібника. Потім створювала необхідні гіпертекстові внутрішні та зовнішні посилання, що встановлюють зв’язки між окремими файлами та їх фрагментами.

Погоджуючись із думками фахівців про те, що читання об'ємних текстів з екрана монітора — шкідлива для зору форма роботи з комп’ютером, а сприймання з екрана текстової інформації є набагато менш зручним та ефективним, ніж читання книги, ми додаємо до електронного варіанту підручника ще й друкований варіант. У такий спосіб ми забезпечимо чергування різноманітних форм роботи, наприклад, частину матеріалу студент може опрацювати з допомогою комп’ютера, а іншу частину прочитати з друкованого варіанту.

Розроблений мною і моїми науковими керівниками електронний підручник має наступну структуру.

Електронний посібник складають три вікна (фрейми): верхній, лівий, головний (рис. 1.1).

Рис. 1.1

У верхньому фреймі відображено назву та навігаційне меню, яке призначене для завантаження підменю у ліве вікно. Лівий фрейм призначений для завантаження змісту лекцій чи практичних занять у головний фрейм, де за допомогою смуги прокрутки користувач може його проглядати. При наведені курсора миші на пункт параграфа змінюється колір фону гіперпосилання, а при клацанні лівою клавішею відбувається гіперпосилання, і у головному фреймі зявляється зміст матеріалу даного параграфа.

Отже, наш програмний продукт є комплексом, який забезпечує свідоме та міцне засвоєння навчального матеріалу. Він дозволяє в цікавій та зрозумілій формі подавати матеріал та засвоювати його. Він може бути використаний як у вузі, так і вдома (у якості програми-репетитора). Викладач може у будь-який час внести якісь зміни чи корективи до підручника, при цьому не потрібно чекати довгий проміжок часу поки підручник буде перевидано. До того ж не всі студенти мають можливість взяти підручники у бібліотеці. А електронні варіанти підручників доступні всім, хто має комп’ютер. У наступному розділі буде розглянуто друкований варіант практичних занять, які містить створений електронний підручник.

РОЗДІЛ 2. РЯДИ

§ 1. Деяка допоміжна інформація При розв’язуванні задач на практичних заняттях з теорії числових рядів, ми будемо часто користуватися формулами, де використовуються асимптотичні оцінки.

Скажемо, що (читається «о маленьке» від),, де і - дві послідовності дійсних чисел, якщо. Зокрема, поклавши будемо мати, що запис означає, що — нескінченно мала послідовність.

Крім того, ми ще користуватимемось записом (читається «о велике» від). Це означає, що. Зокрема те, що — обмежена послідовність можна записати у вигляді .

Використовуючи властивості нескінченно малих та обмежених послідовностей, можна стверджувати, що, Доведемо наступні асимптотичні формули:

(1)

(2)

(3)

(4)

і з’ясуємо при цьому, якими в цих формулах є послідовності

.

Розглянемо (1). Знайдемо

.

Нехай. Тоді

Таким чином, маємо, що якщо позначити через

(5)

то, по-перше,

(6)

і, по-друге, з (5)(1). З рівності (6) ми маємо, що, тому рівність (1) можна записати в іншій, більш загальній формі:

. ()

Для того, щоб встановити, якою є розглянемо (2). Знайдемо

.

Позначивши, матимемо, що

.

Тобто, якщо позначити через

(7)

то, по-перше,

(8)

і, по-друге, з (7)(2). Оскільки з (8) маємо, що, тому (2) запишемо таким чином:

()

Аналогічно встановлюємо, якою є. Для цього покладемо

(9)

Знайдемо Нехай. Тоді

.

Таким чином, по-перше,

(10)

і, по-друге, з (9)(3). З рівності (10) ми маємо, що, тому рівність (3) можна записати в іншій, більш загальній формі:

. ()

Подивимось, якою є. Нехай

(11)

Покладемо З самого початку скажемо, що з допомогою правила Лопіталя легко показуємо, що, а тому звідси маємо,

. (12)

Тепер оцінимо величину при цьому скористаємось вже відомою нам рівністю

. (13)

Будемо мати, якщо скористаємось описаними вище операціями з о («о маленьке») і О («о велике»),

Отже, Або

і

Значить

або простіше

()

Обчислимо суму Помножимо обидві частини рівності на. Будемо мати,

Звідси, якщо, то,

(14)

або

. (15)

В наступних параграфах будемо користуватись такою термінологією: № 4, ІІ, 1). Це означає практичне заняття № 4, пункт ІІ, задача 1).

§ 2. Практичне заняття № 1

Поняття ряду. Збіжність ряду. Обчислення сум рядів. Необхідна умова збіжності ряду. Гармонійний ряд. Геометрична прогресія Контрольні запитання

1. Дати означення збіжності та розбіжності ряду.

2. Показати зв’язок між рядами і послідовностями.

3. Сформулювати і обґрунтувати необхідну умову збіжності (або достатню умову розбіжності) ряду і з’ясувати чи буде вона достатньою умовою.

4. Встановити розбіжність гармонійного ряду.

5. Розкрити проблему збіжності геометричної прогресії.

Приклади розв’язування задач Безпосередньо за означенням довести збіжність наступних рядів 1) і 2), знайти їх суми.

Розв’язок. Даний ряд — це геометрична прогресія із знаменником Сума геометричної прогресії обчислюється за формулою:

.

Тому

отже, ряд збіжний до суми .

1)

Розв’язок. Даний ряд — це сума двох геометричних прогресій

таким чином,

отже, ряд збіжний до суми .

2) Довести, що, якщо ряд збіжний, то ряд, де

3)

отриманий в результаті групування членів даного ряду без порушення порядку їх слідування, також збіжний і має ту саму суму. Обернене твердження невірне; навести приклад.

Доведення. Із збіжності ряду випливає існування границі будь-якої підпослідовності послідовності його часткових сум, що дорівнює сумі ряду S. Візьмемо цю підпослідовність таким чином, Тоді за умовою. Оскільки послідовність часткових сум ряду

дорівнює то

також дорівнює, що й потрібно було довести.

Обернене твердження не вірне, через те, що із збіжності підпослідовності не випливає збіжність самої послідовності. Підтвердимо це прикладом. Нехай Ряд, очевидно, розбіжний, проте, наприклад, ряд, отриманий із попереднього в результаті групування його членів по два, збіжний.

Задачі для розв’язування Безпосередньо довести збіжність наступних рядів, і знайти їх суми:

1) ;

2)

3) Довести, що якщо ряди і збіжні і то ряд також збіжний. Що можна сказати про збіжність ряду, якщо ряди і розбіжні?

4) Довести, що, якщо ряд збіжний, то ряд також збіжний. Обернене твердження невірне; навести приклади.

Задачі для домашнього розв’язування Безпосередньо довести збіжність наступного ряду, і знайти його суму

1)

Дослідити на збіжність ряди:

2)

3)

4) Довести, що ряд чисел, обернених членам арифметичної прогресії, розбіжний.

5) Довести, що, якщо ряди і збіжні, то збіжні також ряди

6) Довести, що, якщо то ряд розбіжний.

Задачі підвищеної складності

1) Довести, що, якщо ряд з додатними і монотонно спадними членами збіжний, то .

2) Довести, що, якщо члени ряду додатні і ряд, отриманий в результаті групування членів цього ряду, збіжний, то даний ряд також збіжний.

§ 3. Практичне заняття № 2

Ознаки збіжності знакододатних рядів. Критерій збіжності знакододатних рядів з монотонно спадними членами Контрольні запитання

1. Сформулювати і обґрунтувати ознаку порівняння в найпростішій формі через нерівності.

2. Розкажіть, як практично використовувати ознаку порівняння в найпростішій формі.

3. Як одержати ознаку порівняння в граничній формі?

4. Обґрунтуйте як практично використовувати ознаку порівняння в граничній формі.

5. Сформулювати і обґрунтувати критерій збіжності знакододатних рядів з монотонно спадними членами.

6. Проілюструвати застосування ознаки з попереднього питання на прикладі узагальненого гармонійного ряду.

Приклади розв’язування задач Дослідити на збіжність ряди 1) і 2):

1)

Розв’язок. Застосуємо ознаку порівняння в граничній формі. Порівняємо даний ряд з рядом

:

Оскільки ряд — розбіжний, то ряд

теж буде розбіжний.

2)

Розв’язок. Для дослідження ряду знову застосуємо ознаку порівняння в граничній формі. Порівняємо даний ряд з рядом :

Оскільки ряд — збіжний, то ряд

теж буде збіжний.

Задачі для розв’язування Дослідити на збіжність ряди:

1) ;

2) ;

3) .

Задачі для домашнього розв’язування Дослідити на збіжність ряди:

1) ;

2);

3) ;

4)

Задачі підвищеної складності

Дослідити на збіжність ряди:

1); 2) ;3);4).

§ 4. Практичне заняття № 3

Критерій Коші збіжності ряду Контрольні запитання

1. Сформулювати критерій Коші збіжності ряду, розказати як він одержується і застосовується.

2. Розказати, що слід зробити для доведення розбіжності ряду, використовуючи критерій Коші.

Приклади розв’язування задач Користуючись критерієм Коші, довести збіжність наступного ряду

1)

Розв’язок

Звідси Отже, маємо, що

,

а це і означає збіжність даного ряду за критерієм Коші.

Користуючись критерієм Коші, довести розбіжність наступного ряду

2)

Розв’язок. Заперечимо висновок критерію Коші:

. (1)

Оцінимо наступну суму поки-що

Нехай, тоді. Поклавши, матимемо,

а це значить, що даний ряд розбіжний (див. (1)).

Таким чином, аналіз розв’язування цих задач приводить до наступних висновків. Якщо потрібно довести збіжність ряду, використовуючи критерій Коші, то потрібно спочатку взяти модуль частини ряду від n-го до n+p-го члена, де n i p поки що довільні, і спробувати одержати оцінку зверху цього модуля, яка не залежно від р, прямує до нуля при. Якщо ж потрібно довести розбіжність ряду за допомогою того ж критерію, то слід цей модуль оцінити знизу так, щоб цю оцінку можна було зробити за рахунок вибору р, більшою якогось додатного, для довільного n.

Задачі для розв’язування Користуючись критерієм Коші, довести збіжність наступних рядів:

1) ;

2) ;

Користуючись критерієм Коші, довести розбіжність наступного ряду:

3) .

Задачі для домашнього розв’язування.

Користуючись критерієм Коші, довести збіжність, чи розбіжність наступних рядів:

1) ;

Примітка. Використати нерівність

2) .

§ 5. Практичне заняття № 4

Ознаки Даламбера і Коші збіжності знакододатних рядів Контрольні запитання

1. Як одержати ознаку Даламбера із ознаки Куммера?

2. Сформулювати і обґрунтувати ознаку Даламбера з допомогою границі, нерівності і верхньої, нижньої границь.

3. Аналогічні запитання і для ознаки Коші.

4. Розказати про співвідношення між ознаками Даламбера і Коші.

Приклади розв’язування задач Користуючись ознаками Даламбера або Коші, дослідити на збіжність ряди 1)-3).

1)

Розв’язок. Використаємо ознаку Даламбера:

отже, ряд збіжний.

2)

Розв’язок. Використаємо ознаку Даламбера. Маємо,

отже, ряд збіжний.

3)

Розв’язок. Тут ознаку Даламбера використовувати незручно, тому застосуємо ознаку Коші,

отже, ряд збіжний.

Відповідаючи на четверте контрольне запитання, ми посилаємось на таке твердження: якщо — ряд такий, що і якщо, то існує, яка теж дорівнює А. Використаємо цю теорему для обчислення. Для цього покладемо. Ясно, що .

Тоді обчислимо Значить із попереднього твердження маємо, що

. (1)

Остання границя часто використовується в теорії рядів (і не тільки).

Задачі для розв’язування Користуючись ознаками порівняння, Даламбера, або Коші, дослідити на збіжність ряди:

1) ;

2) а);

б);

3) ;

4) .

Задачі для домашнього розв’язування Користуючись ознаками порівняння, Даламбера, або Коші, дослідити на збіжність ряди:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;5).

Задачі підвищеної складності

1) Скільки членів ряду, де, достатньо взяти, щоб відповідна часткова сума, відрізнялась від суми ряду менше, ніж на ?

2) Довести, що, якщо, то ряд збіжний.

3) Довести, що, якщо для ряду існує то існує також Обернене твердження невірно: якщо існує границя, то границя може і не існувати. Розглянути приклад

.

4) Довести, що, якщо, то а) при ряд збіжний; б) при ряд цей ряд розбіжний (узагальнена ознака Коші).

Дослідити збіжність рядів:

5) ;

6);

7) ;

8).

§ 6. Практичне заняття № 5

Ознака Раабе та Гауса збіжності знакододатних рядів Контрольні запитання

1. Сформулювати ознаку Куммера і одержати із неї ознаку Раабе в різних формах.

2. Порівняти ознаки Раабе і Даламбера.

3. Сформулювати і одержати ознаку Гауса показавши, що вона містять в собі ознаки Даламбера, Раабе і Бертрана.

Приклади розв’язування задач Сформулюємо спочатку потрібну нам далі наступну ознаку.

Ознака Гауса. Якщо для ряду має місце співвідношення,

де, то:

1) при ряд збіжний;

2) — розбіжний;

3) — збіжний;

4) — розбіжний.

Користуючись ознаками Раабе і Гауса, дослідити збіжність ряду

1)

Розв’язок

.

Скористаємося ознакою Раабе:

тут ми скористалися відомою цікавою границею

.

Таким чином:

1) якщо, то ряд збіжний;

2) якщо, то ряд розбіжний;

3) якщо, то ознака Раабе відповіді не дає.

Тому дослідимо даний ряд при. Для цього застосуємо ознаку Гауса, яка сильніша за Раабе. Складемо співвідношення:

.

Використавши формулу (деяка допоміжна інформація) і властивості обмежених послідовностей, матимемо:

і за ознакою Гауса при ряд розбіжний (бо).

Отже, при ряд збіжний, а при — розбіжний.

Задачі для розв’язування Користуючись ознаками Раабе і Гауса, дослідити збіжність наступних рядів:

2) .

3) .

Задачі для домашнього розв’язування Користуючись ознаками Раабе і Гауса, дослідити збіжність наступних рядів:

1) ;

2) .

§ 7. Практичне заняття № 6

Застосування ознаки Гауса Контрольні запитання

1. Дати алгоритм використання ознаки Гауса для дослідження на збіжність знакододатних рядів.

2. Чи для будь-яких знакододатних рядів ефективна ознака Гауса?

3. Порівняйте ознаку Гауса і Бертрана.

Приклади розв’язування задач Користуючись ознакою Гауса, дослідити збіжність ряду

1)

Розв’язок. Для того, щоб застосувати ознаку Гауса для дослідження збіжності даного ряду, складемо спочатку співвідношення:

Використовуючи формулу (деяка допоміжна інформація) і властивості нескінченно малих та обмежених послідовностей, матимемо наступне:

тому що:

;

.

Отже, за ознакою Гауса, при даний ряд збіжний, а при — розбіжний.

Задачі для розв’язування Користуючись ознакою Гауса, дослідити збіжність наступних рядів:

2) ;

3) .

Задачі для домашнього розв’язування

1) ;

2) .

Задачі підвищеної складності

1) Довести, що, якщо для знакододатнього ряду при виконується умова

2) то ,

3) де довільно мале; причому,, то, ?т. е., монотонно спадає, прямує до нуля, коли .

Встановивши порядок спадання загального члена, дослідити збіжність ряду, якщо:

4) ;

5) ;

6) ;

5);6);

7) Довести, що ряд збіжний, якщо існує, таке, що при, і розбіжний, якщо при (логарифмічна ознака).

§ 8. Практичне заняття № 7

Застосування різних ознак для дослідження на збіжність знакододатних числових рядів Контрольні запитання

1. Як по зовнішньому вигляді ряду підбирати ефективну для нього ознаку збіжності?

2. Що робити, коли застосування іменних ознак зв’язано з суттєвими труднощами обчислення відповідних границь?

3. Якщо вдалось довідатись, що для якогось ряду буде ефективна ознака порівняння, то як підбирати еталонний ряд?

Приклади розв’язування задач Дослідити на збіжність ряди 1) — 3).

1)

Розв’язок. В нас

.

Перетворимо цю різницю

.

Тому Введемо такі позначення:

Тоді. Дослідимо на збіжність ряди,. Це знакододатні ряди. Порівняємо ряд з рядом (гармонічний). За граничною ознакою порівняння будемо мати:

Таким чином, оскільки ряд — розбіжний, то ряд — також розбіжний. Для дослідження на збіжність ряду дещо перетворимо, а саме

Тепер порівняємо цей ряд з рядом. Будемо мати:

Це означає, що ряд — збіжний, бо збіжним є ряд. Тоді ряд теж буде збіжний. Отже, ряд, як різниця збіжного і розбіжного рядів, є розбіжний.

2)

Розв’язок. Застосуємо границю

(№ 4,II, (1)).

З означення границі послідовності будуть справедливими такі нерівності:

Звідси Отже, матимемо таку нерівність:

(1)

1) Нехай. Тоді

(2)

бо

Ясно, що

Тоді за означенням границі (див. рис.) маємо

(3)

електронний підручник теорія ряд

Значить, з (2) і (3) маємо,

(4)

Оскільки, то звідси слідує, що ряд є збіжний. Звідси і з нерівності (4) маємо, що ряд — теж збіжний. Тоді з нерівності (1) ряд теж є збіжний (за ознакою порівняння рядів) при .

2) Нехай тепер. Розглянемо ряд. Ясно, що

(5)

Оскільки в нас ряд — розбіжний, то з (5) маємо, що ряд — теж розбіжний. Отже, з нерівності (1) отримуємо, що ряд теж є розбіжний (за тією ж ознакою порівняння рядів) при .

3)

Розв’язок

(1)

Нехай. Тоді очевидно, що ряд буде розбіжний, бо загальний член ряду не прямує до нуля.

Нехай. Справедливою буде рівність:

Тоді ряд (1) буде збіжний чи розбіжний разом з рядом

(2)

Дослідимо (2):

Ми знаємо, що існує така формула: (деяка допоміжна інформація). З’ясуємо, що являє собою величина в цій рівності.

Таким чином

де .

Тоді

;

Розглянемо ряд. Він буде збіжний при. Отже, при ряд (2) є збіжний, тому ряд (1) теж буде збіжний при .

Задачі для розв’язування Дослідити на збіжність наступні ряди:

1) ;

2) ;

3) ;4) ;5) .

Задачі для домашнього розв’язування

; 2) ;

3) ;

4); 5) .

Задачі підвищеної складності

1) ;2);

Дослідити збіжність рядів з наступними загальними членами:

3) ;4) ;

Скільки потрібно взяти членів ряду, щоб знайти його суму з точністю, якщо:

5);6);7).

§ 9. Практичне заняття № 8

Знакозмінні ряди Контрольні запитання

1. Чи будемо вважати знакозмінний ряд, в якому до якогось члена (можливо із великим номером) є члени різні за знаком, а починаючи з нього всі однакового знаку?

2. Сформулювати обидві ознаки Абеля-Діріхле і проаналізувати їхні умови.

3. Одержати ознаку Лейбніца.

4. Одержати оцінку похибки при заміні суми ряду Лейбніца його частковою сумою.

Приклади розв’язування задач

1) Подивимось наскільки суттєвими в ознаці Лейбніца є її умови. Ясно, що умова (- ряд Лейбніца) суттєва, бо в протилежному випадку загальний член ряду і значить ряд розбіжний. Крім того, ще є умова монотонності :

Розглянемо ряд

(1)

Тут Дослідимо на монотонність:

.

Таким чином, .

Тому. Отже,, і перша умова (монотонності) ознаки Лейбніца не виконується. З’ясуємо, яким є ряд (1). Запишемо його у наступному вигляді

Ряд є рядом Лейбніца, тому збіжний. Ряд гармонічний, тобто є розбіжний. Оскільки сума збіжного і розбіжного рядів є розбіжним рядом, то ряд (1) — розбіжний.

Отже, якщо ми маємо ряд, де і при, то з цього ще не слідує, що даний ряд збігається.

2) Дослідити на збіжність ряд

Розв’язок. Загальний член цього ряду можна записати таким чином:

(1)

Нехай. Скориставшись відомою формулою, (1) представимо:

В результаті перетворень ми отримали ряд:

. (2)

Чи буде він рядом Лейбніца?

1) При (монотонно спадна функція);

2)

Отже, (2) — ряд Лейбніца, тому він збіжний.

3) Довести, що знакопочережний ряд

збіжний, якщо, де .

Доведення. Справедливим є таке твердження: якщо для строго додатнього ряду при виконується умова то, де досить мале, причому, якщо, то при, тобто при, монотонно спадаючи, прямує до нуля. Звідси слідує, що при послідовність при. Тому, за ознакою Лейбніца, даний ряд збіжний, що й потрібно було довести.

Задачі для розв’язування Дослідити на збіжність знакозмінні ряди:

1)

2);

3);4)

Задачі для домашнього розв’язування

1) ;

2) ;

3);4) ;

5);6) .

Задачі підвищеної складності

1) ;

2)

Примітка: Застосувати формулу

де — стала Ейлера і .

3) Знаючи, що, знайти суми рядів, отриманих із ряду в результаті перестановки його членів.

§ 10. Практичне заняття № 9

Абсолютно та умовно збіжні ряди Контрольні запитання

1. Співвідношення між збіжністю ряду з модулів і самого ряду.

2. Які ряди називаються абсолютно та умовно збіжними?

3. Чи можна використовувати ознаки збіжності знакододатних рядів для з’ясування збіжності умовно збіжних рядів?

4. Які ознаки дозволяють встановлювати збіжність умовно збіжних рядів?

Приклади розв’язування задач

1) Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд

(1)

Розв’язок. 1) Нехай. Тоді загальний член ряду не прямує до нуля і, відповідно, ряд розбіжний.

2) Нехай. Утворимо ряд з модулів

(2)

Порівняємо ряд (2) з рядом. За граничною ознакою порівняння будемо мати:

Таким чином, поскільки ряд збіжний при і розбіжний при, то ряд (2) теж буде збіжний при і розбіжний при. Тобто при ряд (1) абсолютно збіжний.

Розглянемо ряд (1). Скориставшись формулою () (деяка допоміжна інформація) матимемо:

(3)

Ряд при є рядом Лейбніца, тому він збіжний. Ряд збіжний при і розбіжний при, тому, за ознакою порівняння в граничній формі, ряд збіжний при і розбіжний при інших р. Значить, як випливає з рівності (3), ряд (1) умовно збіжний при .

Отже, при ряд (1) абсолютно збіжний, а при — умовно збіжний.

Задачі для розв’язування Дослідити на абсолютну (крім V.4) і умовну збіжність наступні ряди:

1) ;2);3);4).

Задачі для домашнього розв’язування

1) ;2);3);

4) ;5).

Задачі підвищеної складності

1) ;2);

3);4);5);

Примітка: Довести, що .

6) Дослідити на збіжність ряд .

§ 11. Практичне заняття № 10

Абсолютно та умовно збіжні ряди Контрольні запитання

1. Чи можна для знакозмінних рядів використовувати ознаку порівняння?

2. Члени яких рядів можна довільно міняти місцями, що не впливатиме на суму цих рядів?

3. Чи можна члени збіжного ряду поміняти місцями так, щоб новоутворений ряд став розбіжним?

4. Чи добуток двох збіжних рядів зобов’язаний бути збіжним до числа що дорівнює добутку сум цих рядів?

5. Де в доведені теореми Мертенса суттєво використовується абсолютна збіжність одного з рядів?

Приклади розв’язування задач

1) Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд

(1)

Розв’язок. При загальний член ряду не прямує до нуля, тому ряд буде розбіжний.

Розглянемо випадок, коли. Утворимо ряд з модулів:

Він буде збіжний при і розбіжний при (№ 5, ІІ, 1)). Розглянемо ряд (1). Для його дослідження скористаємось № 8,ІІ, 3), властивостями обмежених послідовностей і формулою (деяка допоміжна інформація). Складемо співвідношення:

Таким чином, ряд (1) збіжний при. Отже, при ряд (1) абсолютно збіжний, при — умовно збіжний, при — розбіжний.

2) Для ряду

(1)

визначити для сукупності параметрів: а) область абсолютної збіжності; б) область умовної збіжності.

Розв’язок. Для дослідження ряду cкористаємось ознакою Абеля-Діріхле:

1) Послідовність, де — обмежена, бо

, (деяка допоміжна інформація).

2) монотонно спадає до нуля, при. Отже, цей ряд буде збіжний.

Утворимо ряд з модулів

(2)

Будемо мати,, тому

(3)

Розглянемо ряд

(4)

.

Ряд збіжний при і розбіжний при

Дослідимо ряд. Використаємо знову ознаку Абеля-Діріхле. Покладемо. Тоді, як і вище,

і ,

для всіх .

тому цей ряд є збіжним. Значить ряд (4) при є збіжним (як сума двох збіжних рядів) і при є розбіжним (як сума розбіжного і збіжного рядів).

Таким чином, із нерівності (3), за ознакою порівняння рядів, маємо, що при ряд (2) є розбіжним. Звідси слідує, що при ряд (1) — умовно збіжний, — область умовної збіжності.

Має місце нерівність

(5)

Враховуючи те, що ряд збіжний при і розбіжний при та нерівність (5), матимемо, що при ряд (2) є збіжним. Тоді при ряд (1) — абсолютно збіжний, — область абсолютної збіжності.

Отже, при ряд (1) — абсолютно збіжний, (- область абсолютної збіжності), а при ряд (1) — умовно збіжний, (- область умовної збіжності).

Задачі для розв’язування

1) Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд

;

2)Для ряду визначити для сукупності параметрів :

а) область абсолютної збіжності; б) область неабсолютної збіжності.

3)Перевірити, що добуток двох розбіжних рядів і є абсолютно збіжний ряд.

4)Знайти суму ряду .

Задачі для домашнього розв’язування

1) Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд .

2) Довести, що ряди а); б) не абсолютно збіжні в інтервалі .

3) Дослідити на збіжність ряд

де .

4) Якщо ряд збіжний і, чи можна говорити, що ряд також збігається? Розглянути приклади:

і .

Задачі підвищеної складності

1) Дослідити збіжність рядів:

а); б); в).

2) Для ряду визначити: а) область абсолютної збіжності; б) область умовної збіжності.