Метод зведення визначника до трикутного вигляду

Реферат на тему:

Метод зведення визначника до трикутного вигляду.

Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку елементів його головної діагоналі.

= a11a22… ann.

де n — порядок визначника.

a1na2,n-1…an1.

Метод зведення визначника до трикутного вигляду полягає в тому, що, користуючись властивостями визначників, даний визначник перетворюється так, щоб одержати визначник трикутного вигляду відносно головної або побічної діагоналі, і далі одержується результат.

Нехай задано визначник n-го порядку загального вигляду.

Згідно з властивостями визначників, ці перетворення не змінюють величини визначника (. Одержуємо визначник.

. Всі ці перетворення не змінюють величини визначника. В результаті одержуємо визначник.

.

Продовжуючи цей процес одержання нулів нижче головної діагоналі, через скінчене число кроків або переконаємось в тому, що (= 0, або зведемо визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. В цьому випадку.

.

причому x11= a11(0, x22= b22(0, x33= c33 (0,…, xnn (0. Отже,.

(= x11×22×33…xnn.

Методом зведення до трикутного вигляду можна обчислювати визначники малих порядків.

Приклад 1. Обчислити визначник.

Розв’язування. Перший стовпчик визначника ненульовий, і в ньому на першому місці стоїть ненульовий елемент. Тому можна в першому стовпчику одержати нулі на всіх місцях, починаючи з другого. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

.

Далі від третього рядка віднімаємо перший, помножений на 3:

.

Від четвертого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

.

Нарешті від п’ятого рядка віднімемо перший:

.

У другому стовпчику одержаного визначника на другом місці знаходиться ненульовий елемент. Тому одержуємо нулі у другому стовпчику на всіх місцях, починаючи з третього. Для цього від третього рядка віднімемо другий, від четвертого віднімемо другий, помножений на 11, і до п’ятого рядка додамо другий, помножений на 2.

.

У третьому стовпчику одержаного визначника на другому місці знаходиться ненульовий елемент. Одержуємо нулі у третьому стовпчику, починаючи з четвертого місця. Для цього до четвертого рядка додамо третій помножений на 10, а від п’ятого віднімемо третій, помножений на 4.

.

і одержати визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

.

= 52.

На практиці рекомендується при обчисленні визначників з цілими елементами на кожному кроці одержувати визначники також з цілими елементами. У нашому випадку перед виконанням останнього кроку перетворень можна було, наприклад, перейти від визначника.

до визначника.

відніманням від п’ятого рядка четвертого, помноженого на 2. Далі переставимо четвертий і п’ятий рядки. Як відомо, при цьому змінюється знак визначника:

.

Нарешті до п’ятого рядка додамо четвертий, помножений на 3:

.

Таким чином, (= - (1((-1)(1(1(52) = 52.

Розглянемо тепер деякі приклади обчислення визначників n-го порядку методом зведення до трикутного вигляду. При обчисленні визначників n-го порядку будемо суттєво користуватись закономірностями в будові цих визначників.

Приклад 2. Обчислити визначник.

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у першому рядку елементами є всі натуральні числа від 1 до n, кількість їх дорівнює n). Кожен рядок визначника, починаючи з другого, відрізняється від першого рядка лише єдиним елементом, а саме елементом, який стоїть на головній діагоналі. Тому можна від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо.

.

Всі елементи одержаного визначника, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому.

(= 1(1(2(…((n-2)((n-1) = (n-1)!

Приклад 3. Обчислити визначник порядку n.

.

Розв’язування. В цьому визначнику всі елементи, яки знаходяться вище головної діагоналі, а також всі елементи головної діагоналі однакові. Визначник можна звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі, одержуючи нулі вище діагоналі. Віднімемо від першого рядка визначника другий. Одержуємо.

.

Далі, аналогічно від другого рядка віднімемо 3-й, від 3-го — 4-й і нарешті, від (n -1)-го — n-й.

.

Порядок визначника дорівнює n, а тому.

(= x ((x-y)n-1.

Приклад 4. Обчислити визначник.

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n (елементи першого рядка — всі натуральні числа від 1 до n, тобто кількість їх дорівнює n). Всі елементи визначника на побічній діагоналі і нижче побічної діагоналі однакові. Тому визначник можна звести до трикутного вигляду відносно побічної діагоналі. Для цього віднімемо від n-го стовпчика визначника (n-1)-й стовпчик.

.

В останньому стовпчику залишається лише один ненульовий елемент. Далі аналогічно від (n-1)-го стовпчика віднімемо (n-2)-й, від (n-2)-го — (n-3)-й і, нарешті, від 2-го стовпчика віднімемо 1-й. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі.

.

Порядок визначника дорівнює n, а тому.

Приклад 5. Обчислити визначник.

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку елементами є степеня змінної x від 0 до n). Будемо зводити визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Неважко переконатись в тому, що елементи першого рядка, починаючи з другого, можна одержати помноженням відповідних елементів другого рядка на x. Тому, віднімаючи від першого рядка другий рядок, помножений на x, одержимо на місці цих елементів нулі. Тобто,.

.

Далі, аналогічно, від другого рядка віднімемо 3-й, помножений на x, від 3-го рядка віднімемо 4-й, помножений на x, і нарешті від (n-1)-го рядка віднімемо n-й, помножений на x:

.

Всі елементи визначника, що знаходяться вище головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі і.

Приклад 6. Обчислити визначник порядку n.

.

Розв’язування. У визначниках такого вигляду зручно на першому кроці від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо визначник.

.

Далі визначник неважко звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього можна, наприклад, додати до першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків. Згідно з властивостями визначника, його величина при цьому не змінюється. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

.

Порядок визначника дорівнює n, а тому.

(= (n-1)(x ((-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.

Визначник можна зводити до трикутного вигляду різними способами. Наприклад, для даного визначника можна запропонувати ще один спосіб зведення. Неважко бачити, що у початковому визначнику сума елементів кожного рядка і кожного стовпчика однакова. Тому додамо до першого рядка початкового визначника суму всіх інших рядків. При цьому величина визначника не змінюється.

.

Перший рядок визначника складається з однакових елементів, а тому з цього рядка можна винести множник за знак визначника.

.

Далі одержуємо нулі нижче головної діагоналі. Для цього достатньо відняти від всіх рядків визначника, починаючи з другого, перший рядок, помножений на x.

.

Одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

(= (n-1)(x ((-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.

Приклад 7. Обчислити визначник порядку n.

.

Розв’язування. Помножимо перший рядок визначника на x. З властивостей визначників випливає, що при цьому визначник помножається на x, тобто.

.

Далі аналогічно помножуємо перший стовпчик визначника на x. Визначник помножається на x ще один раз.

.

Одержуємо визначник, який співпадає з визначником з попереднього прикладу. У цьому визначнику від всіх рядків, починаючи з другого, віднімаємо перший рядок:

.

Далі до першого стовпчика додамо суму всіх інших стовпчиків.

.

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому.

(-1)n-1(n-1)xn = (-1)n-1(n-1)xn-2.

Приклад 8. Обчислити визначник.

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (на головній діагоналі n елементів). Будемо перетворювати визначник таким чином, щоб одержати визначник, всі елементи головної діагоналі якого дорівнюють 1. Для цього з другого стовпчика визначника винесемо множник — число 2, з третього — множник 3, і нарешті з останнього — множник n. Одержуємо.

В одержаному визначнику всі елементи першого стовпчика, починаючи з другого, співпадають з відповідними елементами головної діагоналі. Тому, віднімаючи від першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків, одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

.

Таким чином,.

).

Приклад 9. Обчислити визначник.

.

.

Звертаємо увагу на те, що всі елементи першого стовпчика одержаного визначника, починаючи з 2-го дорівнюють -1. Тому перетворюємо визначник так, щоб діагональні елементи, починаючи з 2-го, були рівними 1. Для цього з другого стовпчика виносимо множник — число 2, з третього — число 3, і нарешті з n-го — число n:

В одержаному визначнику до першого стовпчика додаємо суму інших стовпчиків:

.

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому.

).

Приклад 10. Обчислити визначник.

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (число елементів на побічній діагоналі дорівнює n). Віднімемо перший рядок від всіх інших рядків.

.

У цьому визначнику всі елементи n-го стовпчика, починаючи з другого, дорівнює x-a1. Будемо перетворювати визначник так, щоб всі елементи побічної діагоналі, починаючи з другого, були рівними 1. Для цього з першого стовпчика винесемо множник (an-x), з другого — (an-1-x), нарешті з (n-1)-го — множник (a2-x).

.

Далі з останнього стовпчика визначника віднімемо суму всіх інших стовпчиків, помножених на (x-a1). Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі.

.

Оскільки порядок визначника дорівнює n,.

=.

=.

.

Приклад 11. Обчислити визначник.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку (n+1) елементів). Будемо зводити визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього будемо перетворювати визначник таким чином, щоб одержати визначник, всі елементи якого, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють 0. Зрозуміло, якщо до першого стовпчика визначника додати другий, то на другому місці у першому стовпчику з’являється 0, але на третьому місці замість 0 з’являється -x. Таким чином, слід додати ще третій стовпчик. Тобто, для того, щоб у першому стовпчику всі елементи, починаючи з другого, були рівними нулю, слід додати до першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків. Одержуємо.

.

Далі, аналогічно, до 2-го стовпчика додаємо всі стовпчики, починаючи з 3-го, до 3-го — всі стовпчики, починаючи з 4-го, і нарешті до n-го стовпчика додамо останній. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

.

Оскільки порядок визначника дорівнює n+1, одержуємо:

(= (a0+a1+a2+…+an)xn.

Задачі для самостійного розв’язування.

Обчислити визначники методом зведення до трикутного вигляду.

(порядок визначника дорівнює n).

(порядок визначника дорівнює n).