Аналітична геометрія на площині

Реферат на тему:

Аналітична геометрія на площині.

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння.

y = k (x + b (2.3).

де k=tg (- нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на рис. 2.3б-г.

y y y y.

b.

b.

x 1350 x x x.

a.

а б в г.

Рис. 2.3.

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд.

Ax + By + C = 0 (2.2).

Якщо B (0, то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).

Приклади. Побудувати графіки прямих y=1-x та 2x-y+2=0. У першому прикладі k=tg (= -1, отже (=1350 (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y=2x+2, отже, k=tg (=2 (рис. 2.4,б).

y y.

2x-y+2=0.

y=1-x 2.

(=1350.

1 x -1 x.

а б.

Рис. 2.4.

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x1;y1) та (x2;y2):

(2.3).

або, що те саме,.

. (2.3().

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) паралельно до заданої прямої y=ax+b :

y-y1=a (x-x1) (2.4).

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :

(2.5).

Рівняння прямої у відрізках.

(2.6).

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.

Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y+2=0.

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

— 2x+y=2,.

.

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

y=2x+2.

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x1;y1)=(-1;0) та (x2;y2)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:

.

Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.

Кут між прямими y=a1x+b1 та y=a2x+b2 обчислюється за формулою.

Прямі y=a1x+b1 та y=a2x+b2 отже, є паралельними, якщо a1=a2, та перпендикулярними, якщо a1(a2 = -1.

Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь.

.

Відстань від точки M (x1;y1) до прямої Ax+By+C=0 визначають за формулою.

.

Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p (Q)=500−10Q. Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p=p (Q)=50+5Q.

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.

Маємо такий графік (рис. 2.5).

p.

Пропозиція.

p*.

Попит.

Q* Q.

Рис. 2.5.

Ціну рівноваги p* (а також рівноважний випуск Q*) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь.

.

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p*=200 та Q*=30 .

Приклад. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p=10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, Vc=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять Fc=40. Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю.

Tc = Fc + Q (Vc = 40+5Q .

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить.

TR = p (Q =10Q .

Визначимо такий випуск Q*, за якого доход фірми збігається з її витратами:

TR = TC ,.

10Q = 40+5Q ,.

Q* = 8 .

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q*>8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).

Tc, TR.

TR (доход)=10Q.

Tc (витрати)=40+5Q.

Q*=8 Q.

Рис. 2.6.

Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x2 і/або y2.

Рівняння кола з центром у точці (a;b) та радіусом r має вигляд.

(x-a)2+(y-b)2=r2 .

У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:

x2+y2=r2 .

Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):

A (x;y).

c.

F1 F2.

Рис. 2.7.

Точки F1(-c;0) та F2(c;0) називаються при цьому фокусами.

Виконуються такі властивості:

;

c2=a2-b2.

Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y), для яких різниця відстаней до фокусів F1 та F2 є сталою) має вигляд (рис. 2.8):

Для гіперболи виконуються такі властивості:

;

c2=a2+b2.

y.

A (x;y).

x.

F1(-c;0) F2(c;0).

Рис. 2.8.

) є таким (рис. 2.9):

y = 2px.

B A (x;y).

p/2 p/2.

F.

Рис. 2.9.

.