Послідовності та їхні границі

Реферат на тему:

Послідовності та їхні границі.

Означення. Послідовністю називається множина чисел {xn} =.

= x1, x2,…, xn,…, яка підпорядковується певному закону.

Числова послідовість може бути як скінченною, так і нескінченною.

Приклади послідовностей.

1. {xn} = 0, 1, 4, 9, 16, …

Тут загальний член послідовності {xn} заданий формулою xn = n2.

xn — n-е за порядком просте число, тобто.

x1=1; x2=2; x3=3; x4=5; x5=7; x6=11;…

Означення. Число A називається границею послідовності {xn}, якщо для довільного числа (>0 знайдеться такий номер N, починаючи з якого всі члени послідовності потрапляють у (-окіл числа A .

.

За допомогою кванторів x2203 («існує») та x2200 («для всіх») останнє означення можна записати так:

x2261 (x2200(>0)(x2203N)(x2200n)[n>N (|A-xn| < (].

. Її границею є число 10. Зокрема, для (=0,1 номер N дорівнюватиме 10, оскільки.

|A-x11|=|10−10−1/11|<0,1=(; |A-x12|=|10−10−1/12|<0,1=(;.. .

Для (=0,02 таким номером буде N=50 і так далі.

Послідовність xn=n2 границі не має. Не має границі також послідовність 1,1; 2,1; 1,01;2,01;1,001;…

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, границею якої є число нуль, називається нескінченнно малою.

., тобто xn — нескінченно мала послідовність.

Наведена нижче теорема описує властивості границь послідовностей.

то послідовності {xn ± yn}, {xn (yn} також є збіжними, причому.

.

.

Приклади.

.

Це послідовність вигляду {xn (yn}. Згідно з теоремою.

.

.

X.

A.

>

x0161.

Z.

j.

l.

|.

~.

x017D.

c.

¤.

x00B2.

x00B4.

A.

O.

ae.

ae.

;

>

n.

p.

'.

".

-.

x0161.

E.

E.

e.

e.

j.

j.

jI.

x0324xFD6Ax2C89x0A3Dx0108×6816x7B1Dcx0855×5601×0108×486Dx0400×486Ex0400×4873Тx0875×2001ій як послідовність {xn}={n+5}, так і послідовність {yn}={4n} не є збіжними. Для того, щоб застосувати попередню теорему, потрібно спершу виконати штучний прийом: поділити як чисельник, так і знаменник на n .

.

.

.

Розглянемо дві числові послідовності спеціального вигляду.

Приклад. Задано арифметичну прогресію:

{an} = a1, a1+d, a2+d, a1+3d,…

.

Наприклад, для прогресії {xn} =2; 12; 32; 42;.. .

an = 2+10(n-1) = 10n-8.

Очевидно, що будь-яка арифметична прогресія є розбіжною послідовністю.

Приклад. Задано геометричну прогресію.

b1; b1q; b1q2; b1q3;.. .

. (3.1).

зокрема, S2=3/2.

При |q| < 1 послідовність b1; b1q; b1q2; b1q3; … є нескінченно малою. Така послідовність називається нескінченою геометричною прогресією.

Сума всіх членів нескінченної (нескінченно спадної) геометричної прогресії.

(3.2).

Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; ½; ¼; 1/8;.. .

.

Приклад. Сума всіх членів прогресії 1; -½; ¼; -1/8;.. .

(тут q = - ½).