Гіпербола

Гіпербола.

.

.

Визначення 1. Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною величиною, називається гіперболою.

.

Досліджуємо форму гіперболи.

1. Знайдемо точки перетинання з осями.

OX: y = 0, .

OY: x = 0, .

Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.

2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і початку координат.

3. .

Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.

Побудуємо дану криву.

.

Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а параметр b називається мнимою піввіссю.

Визначення 4. Прямі .

При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.

Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі називається ексцентриситетом.

.

Визначення 6. Криві елліпс, гіпербола, окружность називаються кривими другого порядку з ексцентриситетом, причому для окружності .

Задачі з гіперболою Задача 1. Знайти канонічне рівняння гіперболи.

1 крок. Будуємо креслення відповідно до умов задачі. По визначенню маємо дві точки — фокуси. Відзначимо ці точки на одній горизонталі, назвемо їх .

.

2 крок. Візьмемо поточну точку .

3 крок. Робимо необхідні геометричні побудови: з'єднуємо відрізками прямих точку М с фокусами.

4 крок. Зв’яжемо алгебраїчним вираженням координати поточної точки М (x;y) з даними по визначенню гіперболи. Позначимо відстань.

.

Розпишемо відстань .

.

Підставивши ці вираження в рівність (17), одержимо:

.

Цим рівнянням зв’язані координати поточної точки М (х;у) з даними задачі. Отже, воно є рівнянням гіперболи.

5 крок. Спростимо отримане вираження, двічі звівши його в квадрат і позначивши через.

.

Через громіздкість викладень приводити їхній не будемо. Одержимо:

.

Ми одержали канонічне рівняння гіперболи. Для неї як і для еліпса існує поняття ексцентриситету, що позначається буквою (епсилон) і характеризує ступінь сплющеності гіперболи. Ексцентриситет обчислюється по формулі:

.

.

Побудова гіперболи.

Будуємо прямокутну систему координат. На осі ОХ від початку координат відкладаємо вліво і вправо відрізки, а (довільної довжини). А на осі OY — відрізки b. Через точки на осях проводимо прямі, рівнобіжні осям координат. Одержали прямокутник зі сторонами 2а і 2b. Проведемо діагоналі прямокутника. Вони називаються асимптотами гіперболи. Галузі гіперболи як завгодно близько наближаються до асимптотам, але не перетинають їх. Вершини гіперболи знаходяться на відстані а від початку координат вліво і вправо.

.

Побудуємо галузі гіперболи. Відстань АВ = 2а — називається дійсною віссю гіперболи, CD = 2b — мнимою віссю гіперболи. З рівності (11) випливає, що .

.

2. Побудувати гіперболу .

Рішення: Щоб побудувати гіперболу, треба знати параметри, а і b, а для цього рівняння гіперболи треба привести до канонічного виду, тобто.

Отже ,.

Будуємо прямокутну систему координат, на осі ОХ відкладаємо вліво і вправо від початку координат відрізки 4,2, на осі OY нагору і вниз — відрізки 2,1. Проводимо прямі, рівнобіжні осям координат, одержуємо прямокутник зі сторонами .

Знайдемо фокуси. Координати фокусів .

.

Координати фокусів: .

Знайдемо ексцентриситет гіперболи:

.

Використана література:

Математика. Підручник. — К., 2000.

Математичний словник-довідник. — К., 2001.

.

.

_.

.