Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла.
Подвійний інтеграл, його властивості
План Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Доведення властивостей 30 і 40 аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла. Що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що. Про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються. Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці. Властивості подвійних… Читати ще >
Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Пошукова робота на тему:
Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.
План Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла.
Означення подвійного інтеграла.
Теорема існування.
Властивості подвійного інтеграла.
ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ.
1. Означення.
.
.
неперервна в області.
.
— ступінчастого тіла:
(11.1)
.
).
:
Рис. 11.1.
. (11.2).
і позначається так:
.
Отже, об'єм циліндричного тіла.
. (11.3).
(по аналогії із об'ємом циліндричного тіла) дорівнює.
Рис. 11.2 Рис. 11.3
(11.4).
.
Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом 1)), а її результат — визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:
Отже,.
(11.5).
До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об'єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.
вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.
вимірної міри цих частин.
1) Б. Ріман (1826−1866) — німецький математик.
яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана. При цьому виконуються такі властивості:
то.
Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.
В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.
Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці.
можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою, якщо її можна.
розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.
, що задовольняє таким властивостям:
то.
то.
1) К. Жордан (1838−1922) — французький математик.
Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.
Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.
і складемо суму.
що відповідає даному розбиттю.
). Отже,.
. (11.6).
.
2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування.
із кусково-гладкими границями.
10. Справедлива рівність.
(11.7).
розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини.
що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що.
Але тоді.
про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.
20. Справедлива рівність.
(11.8).
константи.
то.
(11.9).
40. Якщо.
то має місце нерівність.
(11.10).
Доведення властивостей 30 і 40 аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла.
50. Справедлива нерівність.
(11.11).
) і (4.10).
тобто (11.11).
то.
(11.12).
константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:
, що виконується рівність.
(11.13).
Тому.
і використовуючи властивості 10, 40, одержимо.
. (11.14).
Із нерівностей (12.11) випливає.
.
Функція.
.
має місце рівність.
що й доводить теорему.
.
і.
(11.15).