Математичні основи обчислення тарифних ставок

18.1. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ.

ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і процеси випадкової природи. Тому більшість величин, що розглядаються у страхуванні, є випадковими величинами. З математичного погляду випадкова величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною ймовірністю.

Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу. Функцією розподілу випадкової величини x03BE, (або інтегральною функцією) називається функція, яка кожному числу х ставить у відповідність імовірність того, що x03BE, набуде значення, меншого за х:

.

Функція Fx03BE (x) визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі властивості:

;

Fx03BE (y);

Fx03BE (+x221E) = l;

Fx03BE (+x221E) = 0;

b}=Fx03BE (b)-Fx03BE (a).

Серед випадкових величин можна виокремити два основні типи — дискретні та абсолютно неперервні.

Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати скінченної або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини: кількість позовів (страхових випадків) у поточному році кількість договорів, що їх буде укладено страховиком.

Якщо функцію розподілу Fx03BE (x) випадкової величини x03BE можна подати у вигляді.

.

де рx03BE (х) — деяка невід «ємна функція, то випадкова величина x03BE називається абсолютно неперервною, а функція рx03BE (х) — щільністю розподілу випадкової величини x03BE. Абсолютно неперервними можна вважати, наприклад, розмір майбутніх прибутків страховика, а також тривалість очікування між двома послідовними страховими випадками.

Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та дисперсія.

Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним, значенням) — це середньозважене за ймовірністю значення випадкової величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання обчислюється з формулою:

.

де хі — значення, яких набуває випадкова величина; рі — ймовірності їх реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне сподівання подається так:

.

x03BE), математичне сподівання можна обчислити за формулою:

.

Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин x03BE, x03B6 виконуються такі властивості математичного сподівання:

М[а] = а;

М[bx03BE] = bx039C[x03BE];

M[x03BE + x03B6]=x039C[x03B6]+x039C[x03BE].

Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини x03BE від її середнього значення й обчислюється як математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від й математичного сподівання:

.

Дисперсія задовольняє такі співвідношення:

;

;

;

.

де а, b — довільні сталі; x03BE, — випадкова величина. Якщо випадкова величина невід «ємна, дисперсію можна обчислити за формулою.

Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або середньоквадратичним, відхиленням називають корінь квадратний із дисперсії:

Відношення стандартного відхилення випадкової величини x03BE, до модуля математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації.

.

Для випадкової величини x03BE, квантилем рівня, а (або x03B1-квантилем) називається величина ta, яка при заданому значенні довірчої ймовірності x03B1 є коренем рівняння.

.

Незалежність випадкових величин. Випадкові величини x03BE та x03B6 називаються незалежними, якщо за відомим значенням величини x03BE, не можна зробити жодних висновків стосовно значення x03B6, і навпаки, значення x03B6 ніяк не впливає на обізнаність із величиною x03BE. Формально випадкові величини x03BE та x03B6 називаються незалежними, якщо при будь-яких значеннях, а та b імовірність події р{x03BE<�а, x03B6< b} є добутком імовірностей подій р{x03BE<�а}та Р{x03B6.

Якщо випадкові величини не задовольняють наведену щойно умову, то вони називаються залежними. Прикладом залежних випадкових величин є кількість позовів та сумарний розмір виплат. Відсутність позовів означає відсутність виплат. Нехай x03B7— кількість позовів (кількість виплат) у поточному році, x03BE — відповідна сума виплат у страховика. Нехай з імовірністю 10% протягом року виплат у страховика немає Цей факт можна записати кількома способами:.

Отже, Р{x03B7<1, x03BE<1 грн}>Р{x03BE<1 грн}Р{x03B7<1}. Це означає, що випадкові величини x03B7 і x03BE, залежні. Незалежними випадковими величинами можуть вважатись, наприклад, кількості позовів з різних видів страхування..

Наведемо дві важливі властивості. Якщо випадкові величини x03BE та x03B6 незалежні, то для них виконуються такі співвідношення:.

Статистичні оцінки. Часто ми не маємо інформації про реальний розподіл випадкової величини x03BE, але маємо деяку сукупність спостережень, у результаті яких вона набуває значень х1, х2, х3, …, хn. Ця сукупність значень називається вибіркою, а величини.

і.

відповідно вибірковим (емпіричним) середнім та незсуненою вибірковою (емпіричною) дисперсією. Вибіркове середнє використовують для оцінювання математичного сподівання:.

,.

незсунена вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії випадкової.

величини:.

Принципи обчислення тарифних ставок. В актуарній практиці використовуються найрізноманітніші методи обчислення тарифних ставок. Усі вони базуються на принципі еквівалентності фінансових зобов «язань страхувальника і страховика. Але парадокс полягає в тому, що не існує єдиного погляду на те, як тлумачити цей загальновизнаний принцип страхування. Розглянемо найпоширеніші підходи до трактування принципу еквівалентності..

Еквівалентність фінансових зобов «язань як еквівалентність сподіваних значень. Зобов «язання страхувальників полягають у сплаті страхових премій. Зобов «язання страховика оплачувати позови страхувальника. Нехай р означає суму зібраних страховиком премій, Х—сумарні виплати страховика. Природно вважати, що справедливою платою за ризик страховика є сподіване (середнє) значення випадкової величини X:.

У такому вигляді принцип еквівалентності доволі часто використовується у страхуванні життя та деяких інших галузях масового страхування..

Еквівалентність зобов «язань з погляду теорії розорення..

Зобов «язання страхувальників мають безумовний характер. Купуючи поліс, страхувальник звільняє себе від ризику несподіваних витрат. Витрати страховика, навпаки, непередбачувані. Страховик бере на себе ризик, який полягає в тому, що його виплати будуть значно більші за М[Х]. Тому страховик вправі вимагати додаткової плати за можливі збитки — ризикову надбавку L, із цього погляду справджується співвідношення:.

Постає запитання: якими мають бути розміри ризикової надбавки L та страхової премії р? Щоб відповісти на нього, доцільно звернутися до теорії розорення..

Факт розорення страховика описується співвідношенням U + р < X, де U — розмір власних коштів страховика. Відповідно ймовірність розорення дорівнює Р{U + р < X}..

Отже, якщо страховик намагається досягнути ймовірності розорення x03B1, то він має забезпечити розмір страхових премій р таким, щоб виконувалося співвідношення: Р{U + р < X}= x03B1..

Таке розуміння принципу еквівалентності є найпоширенішим у сьогоденній практиці. Основним недоліком цього підходу є досить висока абстрактність поняття «ймовірність розорення». Яка ймовірність розорення страховика вважається достатньою — 10, 1 чи 0,1%? На це запитання дуже важко дати аргументовану відповідь. Зменшення ймовірності розорення з 2 до 0,2% для страховика не має принципового значення, хоча може призвести до необхідності збільшити ризикову надбавку в півтора раза..

Принцип еквівалентності зобов «язань у термінах теорії розорення має математично обгрунтовану форму, але застосування його в актуарній практиці може призводити до значних коливань розрахункових значень..

Еквівалентність зобов «язань з погляду теорії корисності. Нині дедалі популярнішим стає підхід до формалізації принципу еквівалентності фінансових зобов «язань страхувальника і страховика, що грунтується на теорії корисності..

Основним поняттям цієї теорії є функція корисності. Функцією корисності називають функцію u (х), яка має такі властивості:.

функція й зростаюча — u (х) > u (у) при х > у;.

функція й задовольняє нерівність Єнсена М[u (х)].

функція й задовольняє умову нульової корисності u (о)=0..

Функція корисності визначає ступінь важливості для страховика певних грошових сум. Вона має суб «єктивний характер, включаючи психологічний компонент..

За допомогою функції корисності принцип еквівалентності можна записати так:.

Отже, сподівана корисність капіталу страховика після прийняття ризиків не повинна зменшитися порівняно з корисністю початкового капіталу. На практиці часто застосовують експоненціальну u (х)=1-е-ах та квадратичну u (х) = ах-х2 функції корисності..

Головна проблема при практичному використанні принципу еквівалентності в термінах теорії корисності — відшукання адекватної функції корисності..