Основні задачі математичної фізики

Основні задачі математичної фізики

Тема: Основні задачі математичної фізики.

Лекція № 1.

План.

Приклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Приклади постановок таких задач.

Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних.

Рівняння коливань струни.

Розв’язок задачі Коші методом Даламбера.

Питання для самоконтролю.

Лекція № 1.

В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики?

Від чого залежить розв’язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку?

Приклади рівнянь еліптичного типу.

Як називається і до якого типу належить рівняння:

В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни?

Записати формулу Даламбера, яка дає розв’язок одномірного однорідного хвильового рівняння.

Література:

А.Н.Тихонов, А. А. Самаровский «Уравнения математической физики», Гостехиздат, 1954.

Н.С.Пискунов «Диференциальное и интегральное исчисление», т.ч., Москва, 1972.

П.И.Чинаев, Н. А. Минин и др. «Висшая математика, специальные главы», Киев, 1981.

О.В.Мантуров та ін. «Математика в поняттях, означеннях, термінах», т.ч., Київ, 1986.

П.Е.Данко, А. Г. Попов «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч.2, Москва, 1974.

Лекція № 1.

Тема: Основні задачі математичної фізики.

В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів — диференціальні рівняння в частинних похідних.

Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.

Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:

де аij, bi, c — задані функції змінних х1, х2, …, х3 (n (2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det (|| alk|| - (E)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:

d11dy2−2a12dxdy+a22dx2=0.

Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.

Це характеристичне рівняння можна записати й так.

Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння ((х, у)=С1 і ((х, у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.

Якщо, то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

І якщо, то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д.

Найпростішим з них є хвильове рівняння, відкрите Ейлером у 1759році.

Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д.

Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур'є:

До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння (U=0 (Лапласа), (U=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: (U+kU=0, і полігармонійні рівняння.

В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:

рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид:

рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:

Тема: Рівняння коливань струни.

В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух — говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу.

Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати, що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u (x, t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).

Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x, u), то будемо припускати, що довжина елемента струни (М1М2 рівна її проекції на вісь 0Х, (М1М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий, позначимо його як Т.

Розглянемо елемент струни ММ" (рис 2).

На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути (та (+((. тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ", буде рівна Тsin ((+(()-Tsin (. Так як кут (малий, то можна покласти tg (=sin (, і ми отримаємо :

(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).

Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай (- лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде ((х. Прискорення елемента дорівнює. Отже, по принципу Даламбера будем мати:

Скорочуючи на (х і позначаючи, получаємо рівняння руху. (1).

Це і є хвильове рівняння — рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u (x, t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами.

Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:

u (0,t)=0,.

u (l, t)=0.

Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі.

В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f (x). Таким чином, має бути.

. (2).

Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією ((х).Таким чином, має бути.

. (3).

Умови (2) і (3) являються початковими умовами.

Тема: Розв’язок задачі Коші методом Даламбера.

Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння — метод Даламбера.

Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:

Знайти рішення хвильового рівняння.

Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1),.

Задовільняюче початковим умовам.

U (x, 0)=((x), ut (x, 0)=((x).

де ((х) і ((x) — задані у функції.

Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння.

A11dt2−2a12dxdt+a22dx2=0.

Прийме видa2dt2+dx2=0,.

або dx2-a2dt2=0.

Воно розпадається на два рівняння:

dx-adt=0 і dx+adt=0.

інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2.

введемо нові змінні.

(=x-at, (=x+at.

Тоді.

(х=1, (t=-a, (x=1, (t=a,.

ux=u ((x+u ((x=u (+u (,.

uxx=u (((x+u (((x+u (((x+u (((x=u ((+2u ((+u ((,.

ut=u ((t+u ((t=-au (+au (,.

utt=-au (((t-au (((t+au (((t+au (((t=a2u ((-2a2u ((+a2u ((.

Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо.

a2u ((-2a2u ((+a2u ((-a2(u ((+2u ((+u (()=0,.

— 4a2u ((=0,.

u ((=0.

Отримане рівняння можна записати як:

.

Звідси випливає, що u (не залежить від (:

u (=f*((),.

де f*(() — довільна функція (.

Інтегруючи останню рівність по (при фіксованому (, маємо.

.

де f1(() і f2(() — довільні двічі диференціюючі функції аргументів (і (.

Враховуючи, що (=х-at і (=x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді.

u (x, t)=f1(x-at)+f2(x+at).

Визначимо функції f1 і f2 так, щоб функція u (x, t) задовільняла початковим умовам:

u (x, t)=f1(x)+f2(x)=((x),.

ut (x, 0)=-af (1(x)+af (2(x)=((x).

Таким чином, для знаходження функцій f1 і f2 маємо систему рівнянь.

f1(x)+f2(x)=((x),.

— af (1(x)+af (2(x)=((x).

Інтегруючи другу рівність, отримаємо.

де х0 і С — постійні. Тоді.

f1(x)+f2(x)=((x),.

.

Звідси знаходимо.

.

і.

.

Підставивши у вираз для u (x, t) знайдені значення f1 і f2, отримаємо.

.

.

Ця рівність називається формулою Даламбера.

Раніше функцію u (x, t) ми записували як:

u (x, t)=f1(x-at)+f2(x+at),.

де перший додаток.

при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f1(x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення.

Аналогічно функція.

являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, що розповсюджуються з тією ж швидкістю, але в від (ємному напрямку вісі 0Х.

В цілому процес розповсюдження коливань, функції u (x, t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.

Лекція № 2.

План.

Рівняння теплопровідності.

Розв’язок задачі методом перетворення Фур'є.

Рівняння Пуассона.

Розв’язок задачі Діріхле в крузі методом Фур'є.

Питання до самоконтролю.

Вияснити фізичний зміст першої крайової задачі рівняння теплопровідності в однорідному стержні.

Яка кількість теплоти протікає через поверхню S в просторі?

Як називається вираз в дужках у рівнянні.

Що це за рівняння?

В чому полягає задача Коші для випадку стержня, обмежаного з однієї сторони?

Записати інтеграл імовірностей.

Яку умову повинні задовільняти частинні розв’язки задачі Діріхле в крузі?

Література:

А.Н.Тихонов, А. А. Самаровский «Уравнения математической физики», Гостехиздат, 1954.

Н.С.Пискунов «Диференциальное и интегральное исчисление», т.ч., Москва, 1972.

П.И.Чинаев, Н. А. Минин и др. «Висшая математика, специальные главы», Киев, 1981.

О.В.Мантуров та ін. «Математика в поняттях, означеннях, термінах», т.ч., Київ, 1986.

П.Е.Данко, А. Г. Попов «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч.2, Москва, 1974.

Лекція № 2.

Тема: Рівняння теплопровідності.

Розглянемо однорідний стержень довжини l. Будемо вважати, що бічна сторона стержня теплопроникна та що в усіх точках поперечного січення стержня температура однакова. Дослідимо процес розповсюдження тепла в стержні.

Розмістимо вісь 0Х так, що один кінець стержня буде співпадати з точкою х=0, а другий — з точкою х=l (див. рис.). Нехай u (x, t) — температура в січній стержня з абсцисой х в момент t. Дослідним шляхом визначимо, що швидкість розповсюдження тепла пролягаючого через січну з абсцисой х за одиницю часу, визначається формулою.

(1).

розглянем елемент стержня, заключений між січними з абсцисами х1 і х2 (х2-х1=(х). Кількість тепла, що пройшло через січну з абсцисою х1 за час (t, буде рівно.

(2).

те ж саме для січної з абсцисою х2.

(3).

Прилив тепла (Q1-(Q2 в елемент стержня за час (t буде рівний:

(4).

(Ми використали теорему Лагранжа до рівності).

Цей прилив тепла за час (t пішов на підвищення температури елемента стержня на величину (U:

(Q1-(Q2=cq (xS (U.

(5).

де с — теплоємність речовини стержня, q — щільність речовини стержня (q (xS — маса елемента стержня).

Прирівнюючи вирази (4) і (5) одної і тої ж кількості тепла (Q1-(Q2, вийде:

або.

.

Позначаючи k/cq=a2, ми одержуєм:

(6).

Це і є рівняння теплопровідності в однорідному стержні.

Щоб рішення рівняння (6) було повністю визначено, функція u (x, t) має задовільняти крайові умови. Крайові умови для рішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званій першій крайовій задачі для 0(t (T, слідуючі:

u (x, t)=((x) (7).

u (x, t)=(1(t) (8).

u (x, t)=(2(t) (9).

Фізичні умови (7) (початкові умови) відповідають тому, що при t=0 в різних січних стержня задана температура, рівна ((х). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають тому, що на кінцях стержня при х=0 і при х=l підтримується температура, рівна (1(t) і (2(t) відповідно.

Тема: Розв’язок задачі методом перетворення Фур'є.

Нехай в початковий момент задана температура в різних січних необмежаного стержня. Потрібно визначити розподіл температури в стержні в наступні моменти часу.

Якщо стержень співпадає з віссю 0Х, то математично задача формулюється слідуючим образом. Знайти рішення рівняння.

(1).

в області -(0, задовільняюче початковій умові.

u (x, 0)=((x) (2).

будемо шукати частинне рішення рівняння (1) у вигляді добутку двух функцій:

u (x, 0)=-X (X)T (t). (3).

Підставляючи в рівняння (1), будем мати: X (x)T ((t)=a2X (((x)T (t) або.

. (4).

Кожне з цих відношень не може залежати ні від х, ні від t, і тому ми їх прирівняємо постійній -(2. З формули (4) отримаємо два рівняння:

T (+a2(2T=0, (5).

X ((+(2X=0. (6).

Рішаючи їх знайдем:

X=Acos (x+Bsin (x.

Підставляючи в (3), отримаємо:

(7).

постійна С включається в А (() і В (().

Для кожного значення (ми торимаєм рішення виду (7). Произвольные постійні А і В для кожного значення (мають визначені значення. Виходячі з цього можна рахувати, А і В функціями від (. Сума рішень виду (7) також є рішенням:

.

Інтегруючи вираз (7) по параметру (в границях від 0 до (також отримаємо рішення.

(8).

якщо А (() і В (() такі, що цей інтеграл, його похідна по t і друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А (() і В (() так, щоб рішення u (x, t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:

. (9).

Припустимо, що функція ((х) такова, що вона представіма інтегралом Фур'є:

або.

. (10).

зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:

(11).

підставляючи знайдені вирази А (() і В (() у формулу (8) отримаємо:

або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо.

. (12).

Це і є рішення поставленої задачі.

Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:

. (13).

Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки.

. (14).

Позначимо.

. (15).

Диференціюючи, отримаємо:

.

Інтегруючи по частинах, знайдем:

або.

Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:

. (16).

Знайдем постійну С. З (15) слідує:

Отже, в рівності (16) має бути.

.

Тоді,.

. (17).

Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13).

.

Підставляючи замість (його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):

. (18).

Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:

. (19).

Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.

Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію.

0 при -(.

(*(х)= ((x) при x0(x (x0+(x, (20).

0 при x0+(x.

Тоді функція.

(21).

є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення (*(х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:

.

Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:

. (22).

Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u*=0, крім відрізка [x0,x0+(x], де вона рівна ((х). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо (- лінійна густина стержня, с — темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x0,x0+(x] при t=0 буде.

(Q (((()(x (c. (23).

Розглянемо далі функцію.

. (24).

зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній (було миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=c (.

Тема: Рішення задачі Діріхле для кола.

Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f ((), де (- полярний кут. Потрібно знайти функцію u (r,(), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа.

. (1).

і на окружності кола що приймає задані значення.

. (2).

Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:

(1().

Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи.

U=Ф (()R®. (3).

Підставляючи в ріність (1'), вийде:

r2Ф (()R ((®+rФ (()R (®+Ф (((()R®=0.

або.

. (4).

Так як ліва частина цієї рівності не залежить від r, а права від (, отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через -k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:

Ф (((()+k2Ф (()=0, (5).

r2R ((®+rR (®-k2R®=0 (5().

Загальне рішення рівності (5) буде.

Ф=Аcosk (+Bsink (. (6).

Рішення рівняння (5() будем шукати у формі R®=rm. Підставляючи R®=rm у (5(), дістанемо:

r2m (m-1)rm-1-k2rm=0.

або.

m2-k2=0.

Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5() буде.

R=Crk+Dr-k. (7).

Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):

Uk=(Akcosk (+Bksink ()(Ckrk+Dkr-k). (8).

Функція (8) буде рішенням рівняння (1() при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5() приймають вид:

Ф ((=0, rR®+R (®=0,.

отже,.

U0=(A0+B0()(C0+D0lnr). (8().

Рішення має бути періодичною функцією від (, так як при одному і тому ж значенні r при (і (+2(ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8() має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8() має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.

Таким чином, права частина (8() перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,.

. (8(().

Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від (. Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями.

K=1, 2, …, n, …,.

так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від'ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,.

(9).

(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні An і Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:

. (10).

Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f (() розкладалась в ряд Фур'є в інтервалі (-(,(), та щоб AnRn і BnRn були її коефіцієнтами Фур'є. Отже, An і Bn мали визначатись по формулам:

. (11).

Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і (. Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:

. (12).

Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:

. (13).

Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:

. (14).

Формула (14) називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f (() неперервна, то функція U (r,(), визначена інтегралом (14), задовільняє рівність (1() і при r (R буде U (r,()(f ((), тобто U (r,() являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.